c/a 1.2.3 du
série dans laquelle le terme général est
et où il faut retenir seulement les termes qui contiennenta en dénominateur. Cherchons à quoi se réduit l'exprès* sion (4)*
Conformément h Tusage adopté par plusieurs géomètres, nous conviendrons que le symbole F (fx + 1) représentera le produit des [x premiers nombres entiers dans le cas de (x entier positif, et que le môme symbole se réduira à Tunité dans le cas de fx = o ; ainsi Ton aura
r(f* + 1) =zz 1 ,2.3. . . fx et r(i) = i.
Cela posé, on a
\Pi Pi Pi I
et, en élevant à la puissance /,
le signe sommatoire \^ s'étend à toutes les valeurs entières positives ou nulles des exposants Ij, ig,. . ., A«, assujettis seulement à vérifier Féquation de condition
Si l'on multiplie celte valeur de [/(«)]* par —p p >
et qu'on détermine le nombre ^t par la condition
(6) >, -h 2>i-t- 3>3. . .-4- wX/„=r «,
il viendra
et comme nous n'avons à tenir compte, dans le second membre, que des termes qui contiennent u en dénominateur, on voit que le nombre X^ ne devra recevoir aucune valeur négative. Si l'on prend les dérivées d'ordre/ — i, par rapport à m, des deux membres de l'égalité précédente, il viendra, en ayant égard à la condition (5),
Le second membre de cette égalité (7) exprime la somme des termes du premier membre qui contiennent u eu dénominateur; ces termes sont les seuls qu'il faille retenir*, le signe ^ s'étend à toutes les valeurs enlicics nulles ou positives des exposants ^j, ^2,. . ., ^„. suscep-
dbles de vérifier les équations de condition (5) et (6). En faisant successivement
réquation (7) fei^ connaître la partie à conserver daDs les différents termes du second membre de réquation (3), à partir du troisième. Mais je dis, de plus, que le second membre de l'équation (7) exprimera^ pour i = i, la partie à conserver dans le deuxième terme de la valeur de5„, et que, pour i = o, ce même second membre se réduira au
premier terme — de la valeur de 5„. En effet, pour i = i,
les exposants Xg, Aj,. . ., X,„ sont nuls, à rexceplion de l'un d'eux, qui est égal à i ; si c^est Xp qui est égal à i, ^1 est égal k n — p d'après la condition (6)", le second membre de l'équation (7) se réduit alors à
où le signe \^ s étend aux valeurs de p depuis p = a jusqu'à p = m si w est moindre que w, et jusqu'à p = n si m est plus grand que «.On voit que l'expression précédente représente la somme des termes de — n -^/(w)»
qui contiennent u en dénominateur.
Enfin, pour 1 = 0, les exposants Ag^ X3,. .r . , X,„ sont tous nuls; l^ se réduit à n à cause de la relation (6), et, à cause de nT (n) = T (n -^ 1)^ le second membre de
l'équation (7) se réduit au terme unique —^j qui est le
premier terme du second membre de l'équation (3).
Le secon4 membre de l'équation (7) ne renferme pas explicitement l'indice i\ donc, d'après ce qui précède, ce second membre exprimera la partie à conserver dans les
difTércnls termes qui composent le second membre de Téquation (3), pourvu que Ton fasse abstraction de la condition (5) et qu'on n'ait égard qu'à la condition (6). Ainsi Ton a
__ ^ nr {X, 4- X, -*- . . . -*- X™)/?^'. "P^'
y^nl ^A, -t- A, -t
ou, en remettant au lieu de ^l,
Pi
le signe ^ s'étendant, nous le répétons, à toutes les valeurs entières nulles et positives des exposants X|, X,,..., X,„ susceptibles de vérifier la condition
La formule (8) fait ainsi connaître immédiatement, en fonction des coeflScients, la somme des puissances /i'^'"" des racines d'une équation ; elle a été donnée par Waring, dans ses Meditationes algebraicœ (*). Waring ne fait pas connaître la méthode qui Ta conduit à sa formule, et il se borne à en vérifier l'exactitude.
Application à V équation du deuxième degré.
