Ecrivons l'équation du deuxième degré sous la
forme
x^ — px 4- y = o.
Pour avoir la somme des puissances w'*'"" des racines, il faudra faire, dans la formule (8) du numéro précédent,
Pi=—P9 p„,=p2=q;
(*) Editio tertia, p. 1.
si l'on pose, en outre, Xt = jx, on aura X, = n — ajx. On trouve alors cette valeur de s„^
^Tin
(n — 2fA4-i)r(fA-*-i)
le signe V s étendant aux valeurs de fx
Vl« If 2y*a(
jusqu'au plus grand entier contenu dans -• En rcmplaçant les F par leurs valeurs, il vient
On déduit immédiatement de ce résultat la valeur du polynôme que nous avons désigné par V„ au n** 109. En effet, V„ est une fonction entière de x définie par les deux équations
Il s'ensuit que V;, est la somme des puissances n*^'«" des racines de l'équation
ou t"^ — xf 4- I = o ;
par conséquent la valeur de V„ se déduira de celle de 5, écrite plus haut, en faisant p = x et ^ = i ^ il vient ainsi
, I . 2 . . . fA
formule qui coïncide avec celle que nous avons obtenue au n° 109 par une analyse différente.
Sur r expression dhinc fonction symétrique d^ ordre quelconque des racines d^une équation, en fonction des sommes de puissances semblables des racines,
198. Waring a donné, dans sc§i Meditationes alge^ hraicœ (*), une formule qui fait connaître Fexpression d'une fonction symétrique d'ordre quelconque des racines d'une équation, en fonction des sommes de puissances semblables des racines. Nous allons établir ici celte formule remarquable.
Soient
1rs ni racines d'une équation de degré m, et
des entiers positifs ou négatifs.
Nous conserverons les notations dont nous avons fait usage dans le Chapitre précédent, en sorte que s^ représentera la somme des puissances de degré ai de toutes les racines et que le symbole
désignera la fonction symétrique d'ordre i, dont tous les
termes se déduisent de x, * a:/ . . . jr, *, en faisant toutes les permutations possibles des racines. Nous supposerons d'abord que les exposants a soient inégaux, et alors on
fit
) Editio îertia, p. 8.
44^ COURS d'algèbre supêrisure.
aura
Cette formule permet de calculer les fonctions symétriques d'ordre i quand on sait former celles de Tordre i — I 5 on en déduit
> X?» Jf?« = *« S^ — *«, u ^ » ^^ I * a, a, a, -+- a, '
jp"' X?« JC?" r= j f 5 •* I "^a '•3 a, a, a,
"^ 'V, ^a, ^a, -Ha,"*" *a, ^a, ^a, -H a, "^ *a, -^a, ^a,4- a,. ■^ai *a, -h a, H- a^ "*" "^a, ^a, -h ocj -h oc,
"*^ *«, *ai -h a, 4- a, "*" ^a, '^ -h «,-+- «, , ("^at-ha, ^a,"Ha< "^ ^aj + a, *a,H- a, "*" *a, -+- a, *a,-i-a,) "^ • ^ "^a, -t- a, -H a,H- a,'
Oh peut écrire ces formules d'une manière plus abrégée et découvrir la loi de leur formation en faisant usage de Ja notation suivante : partageons les i indices
en divers groupes. Soient "k^ le nombre des groupes qui contiennent un seul indice, Aj le nombre des groupes qm
SECTION ir. — CHAPITRE 11. 449
contiennent deux indices,..., A^- le nombre des groupes contiennent i indices \ on aura
on voit que \ doit être égal à zéro ou a l'unité, et si ^,= i , tous les autres X sont nuls. Cela posé, ajoutons entre eux les indices a de chaque groupe et désignons par
6,, 6,, . , . , ^^ les sommes obtenues^ enfin considérons le produit
faisons toutes les permutations des indices ai^at,.*-) ^* qui font acquérir à ce produit toutes les valeurs distinctes dont il est susceptible, ajoutons tous les résultats et désignons par
t (X| , A], . . . , Xf)
la somme obtenue qui sera une fonction symétrique des indices a.
D'après cette notation, les formules écrites plus haut deviennent
2) ^V <' •^?' -^î* = T (4, o, o, o) - T (2, I , o, o ) (2) { 4- 3tT(ï,o, 1,0) — 2.3T(o,o,o, 1),
2<'j:««j;««jcî*xî«r=:T(5,o,o,o,o)—T(3, 1,0,0,0)
45o COURS d'algèbre supérieure.
et il est aisé de vérifier qu'on a généralement
^ x«» ^?. x?» . . . xf (3) .
= 2^-0''"'^'~'^''"'**~'^'r(2)^»r(3)^....r(ifiT{X„V..A-),
le signe ^ du second membre s'étendaut à toutes les valeurs de X], ^8,..., X,- qui satisfont à la condition
et le symbole F (fx) désignant, comme au n° 196, le produit des yi — I premiers nombres entiers.
Au moyen des formules (2) on vérifie Texactilude de la formule (3) pour i = 2, 3, 4» 5 ; donc, pour établir la généralité de celle-ci, il suffit de prouver que si elle a lieu pour i = /f , elle a lieu aussi pour 1 = /r -h i . Âdmettoos que Ton ait
xf ^ *ï« . . . x^t
le signe ^ du second membre s'étendant à toutes les valeurs des entiers X, pour lesquelles on a
>, -f- 2^2 -f- 3X3 -i- . . . -4- k'kk = ^.
Il est évident que F expression de
sera formée de lermes tels que
OÙ l'on aura
X, 4- 2>, H- 3>8 4-...-*- Ah-\- (^ + l)X*^i=;=X+iî
SECTION II. CHAPITRE H. 45l
nous allons chercher à déterminer les coefficients qui multiplient ces différents termes..
Supposons d'abord que X^ ne soit pas nul, ce qui exige que l^^i le soit ^ on aura
Cela posé, le terme en
T(>, , Xj, . . . , >*, o), que nous considérons, proviendra en partie [formule (i)]
de la multiplication de s par ^l -^^^ ^ a ' • • • ^f S ®^
comme les termes de ce produit ne peuvent évidemment se réduire avec ceux qui proviennent du changement de a, en a^ + «ji+ij on de a^ en a« -h a^^i, ou, etc., il est clair que le coefficient de
T(>,, Xj,. . . , ^jt, o) dans ]y j:*' jc^' . . , J^f Y' ^^^^ ^S^' ^^ coefficient de
r ( At — 1 9 A3 , . • . , A^ )
dans ^ x"* J?j*. . . jc"fc, c'est-à-dire égal à
ce résultat est conforme à celui qu'on déduit de la formule (3) quand on y fait i == ft -h i . Considérons maintenant le terme en
T ( o , Aj , . . . , A^ , Ag-^.1 , . . . , A^ , O j ,
dans ^ x'^'x^*, . .x'^i^x^^+k Ce terme provient tout entier [formule (i)] des résultats que l'on obtient en changeant, dans — V o^'J'* o: j • . . . a:"fr , «1 en a^ -h a^t+i? ou
4Sa COURS d'algèbkb supâRiBums.
«t en at 4- c^a+iy on, etc. Les termes de Texpression
de — y)*^"*^"** • '^t^V^^ concourent ainsi à former le terme que nous considérons sont évidemment de la forme
où g peut avoir toutes les valeurs telles, que 'k^^^ ne soit pas nul, et le coefficient correspondant sera, d'après la formule (4),
Or, chacun des termes de
contient, d'après sa définition même, un ou plusieurs facteurs de la forme .
où le nombre des indices a est égal à g] si, dans les facteurs de ce genre, on remplace successivement «i par «1 -f- «4+1, puis Œf par «t •+• «i+i, puis, etc., et qu'on réunisse ensuite tous les résultats, chaque terme sera répété g fois dans la somme. Il s'ensuit que le terme en
donnera, dans 'V j:*» x^ . . . •3:"*xJ'^+«, une partie des termes contenus dans l'expression
l^O, Àj,..., A^, A^4.1 , . . . , A/f y O j ,
et que ceux-ci auront pour coefficient ou
à cause de gT{g) = F (g -t-i). Les termes qui peuvent naître des diverses valeurs dont g est susceptible ne pouvant se réduire entre eux, le coefficient de
T(o, Xj, >3, ..,>*, o) dans \ a:"* x^* . . . x^ j:f *+• sera
Ce résultat est conforme à celui qu'on déduit de la formule (3) en y faisant i= k -\- t.
Considérons enfin le terme en
dans ^ x^' x^\ . . x** ^*^+«. H se forme au moyen du seul
terme
de — ^ x^' x*« . . . jt"*. Il faut effectivement, pour cela,
ajouter successivement a^^i à chacun des indices qui entrent dans ce terme, et réunir tous les k résultats qui sont évidemment égaux entre eux. On voit alors, à cause de tr(A) = r(/L -hi), que le terme considéré a pour
valeur
ce qui achève de démontrer l'exactitude de la formule (3),
199. Il est aisé de trouver le nombre N des termes con>tenus dans la fonction que nous avons désignée par
Effectivement chacun de ces termes correspond à une certaine distribution des indices
4^4 COURS D^ÀLGÈBBE SUPÉRIEURE.
en ^1 -h X, -4- ... -f- X, groupes, «t i* désigne généralement le nombre des groupes qui renferment k indices. Écri» vons, sur une même ligne, tous les indices a de manière que ceux qui appartiennent à un même groupe se trouvcnl placés à côté les uns des autres, en commençant par les groupes d'une seule lettre, mettant ensuite les groupes de deux . lettres, et ainsi de suite. On pourra former, de cette manière, N permutations ou arrangements des z indices qui correspondront respectivement aux N termes de T. Si maintenant on fait dans chacun de ces N arraugements toutes les permutations possibles des indices qui composent chaque groupe, sans altérer l'ordre des groupes et sans faire passer aucun indice d'un groupe à un autre, le nombre total des arrangements qu'on obtiendra sera égal à
Nr (2)^» r (3)^«. . .r (i)V« r [i -t- 1)^«
Enfin, si dans chacun des arrangements ainsi formés, on permute entre eux, de toutes les manières possibles, d'abord les Xi groupes qui contiennent chacun un indice, puis les X, groupes qui contiennent deux indices, puis, etc., sans altérer Tordre des indices qui composent un même groupe, le nombre de tous les arrangements ainsi obtenus sera
Nr (2)^» r(3)^*. . .r(« -4- i)^»r (^ -+. i)r()i, -4- 1). . .r(>/4-i).
Or il est évident qu'en opérant ainsi on a formé toutes les r (i -h i) permutations des i indices sans en omettre ou en répéter aucune. Le nombre précédent est donc égal à r(i+ 1)9 et, par suite, on a ^
