La formule (3) suppose que les i indices
sont inégaux. Supposons maintenant que parmi ces indices il y en ait fXi égaux à «i, fx, égaux à a,,. • ., enfin f/.i égaux k a^'^ il est évident que le second membre de la formule (3) devra être divisé par
r{p, -4- 1) r (fi, -4- 1). . .r (fi* -4- 1),
ainsi que nous Tavons déjà dit au n^ 173.
Supposons, en particulier, que les i indices soient égaux à un même nombre a : on devra diviser le second membre de Téquation (3) par F (i -h 1)5 d^ ailleurs, chacun des N termes de
se réduit à
donc cette fonction a pour valeur
'(2)^.r(3)\..r{i-+.i)^ir(>.-4-i)r(V-4-i)...r(X..-4-i) " ^"'"' '*'
ou
la formule (3) donne alors
le signe ^V du second membre s'étendant, comme précédemment, aux valeurs nulles ou positives des entiers Xi, A,, .*, . , X, susceptibles de vérifier la condition
456 €OURS D'ALofeBUE SUPÉRIEURE.
DéternUnaUon des coefficients (Tune équation en fonction des sommes de puissances semblables des racines,
201. L'analyse précédente donne immédiatement Texpression des coefficients d*une équation en fonction des sommes de puissances semblables des racines.
Soit Féquation
et représentons, comme précédemment, par
ses m racines. On a
Pi = (— i)' 2 ^.a?, . . . X,-;
par suite, la formule (5) du n^ 200 donnera, en y faisant
^^ r^.2\y»...i^iT (>, -4- 1) r [U -f- i)...;r(>,- -+- 1)
le signe "V s' étendant toujours aiix valeurs nulles et positives des exposants X qui vérifient la condition -
^1 -4- aXa -4- ...-+- iXf = i.
En faisant 1= i, 2^ 3, 4) etc., on trouve
Pi=—Si,
11 est aisé de vérifier ces résultats au moyen des formules de Newton.
Méthode nouvelle pour former le dernier terme de Véquation aux carrée des différences.
202.. Le produit des carrés des différences des racines d^une équation prises deux à deux, ou, ce qui revient au même, le dernier tenue de Véquation aux carrés des différences^ est une fonction entière des coefficients de l'équation proposée^ qui possède plusieurs propriétés remarquables et qu'on a occasion de considérer dans diverses questions d'analyse supérieure. Nous avons fait connaître au n° 179 le procédé de Cauchy, par lequel on peut calculer la fonction dont il s'agit, pour une équation de degré m, lorsqu'on connaît la valeur de cette même fonction pour une équation de degré m — i • Je me propose ici d'indiquer un procédé nouveau et d'une grande simplicité pour résoudre la même question.
Soit Téquation de degré m
et désignons par Y,» le dernier terme de l'équation aux carrés des différences des racines. Il résulte de la théorie des fonctions symétriques, que N^ est une fonction entière des coefficients pi, ps,. . ., p,^y et que chacun des termes de cette fonction renfermera m [m — i) dimensions, si l'on considère chaque coefficient p comme ayant autant de dimensions que son indice contient d'unités. D'après cela, la valeur de V^ ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de p„ aura la forme
A|, Al,. .., A,n étant des fonctions entières de pi , f^s,.. , Pm^u dont la première est une simple constante.
équaiion semUal
initncdialemc ^^mtîfMi CQ for
l, pa
'i^im . . .r
^■*âQOd
<'• rzr -1
■ cNjuation . on effet, on "1 (1) et qu'on (*s partielles, que i é({uation transfor-
Tt.
déformer..
I0 la
'tn
égalant à
Désignons par y„i le dernier terme de rëquation aux carrés des différences des racines de l'équation
Lorsque p^ est nul, la fonction V« se réduit à A,») d'un autre côté, l'équation (i) se déduit alors de Téquation (3) en multipliant celle-ci par x, c'est-à-dire en y introduisant une racine nulle. Il s'ensuit évidemment que Ton a
Cela posé) il est évident que la fonction N^ ne changera! pas, si l'on augmente chaque racine de l'équation (i) d'une mènie quantité h\ or, par ce changement^ les coefficients px^ p^j . . . , ^M prennent des accroissements
A/?|, A/?],..., ^Pn^\<, àpm
qui s'évanouissent avec /i, et dont les termes qui contiennent A à la première puissance sont respectivement
L'accroissement correspondant A V„ de V„, savoir :
AV«, = -T — A/7, -4- -z — ^pi-h. . .+ -j — A/?«-4-... api dp^ dp^
est nul, quel que soit A, et, par conséquent, le coefficient de la première puissance de h est identiquement nul ; on a donc
On peut obtenir, d'une autre manière, cette équation qui va nous conduire à la valeur de V„. Si, en effet, on fait disparaître le second terme de l'équation (i) et qu'on exprime, par le moyen des différentielles partielles, que V^ est une fonction des coefficients de l'équation transfor-
8BCTI0N II. CBiPlTHE II. 4^9
mée, on retrouvera Téquation que nous venons de former.. Nous écrirons, pour abréger, cette équation de la manière suivante :
dX,
en feignant que pi, pa, * > ^^Pm soient des fonctions d'une variable f , qui aient respectivement pour dérivées
En différentiant Téquatiou (2) par rapport à la variable fictive ^, se rappelant que Ai est une constante dont la dérivée est nulle, il vient
dki m-.2 . dA^ «,—5 . . dKm—1 1 . d km—x dkm
de, '^"* d^ *" d^ '^ «Ç «Ç '
Or, — ^ est identiquement nul ; on a donc, en égalant à zéro les coefficients des puissances de p^ ,
Pm-i A«i H -7-- = O,
dAm~i
2pm-t A„2 H -J— - = o,
o * , d Ant-~2
[m — i /iflt-, A, + -^ = o.
46o COURS D'ALciEBIIB SUP6llICt)1IE.
' Si l'on connaît Vm.i) 1& yalenr de A^ s'en dédait iminëdiatement, comme on Ta vu plus haut, et les équations précédentes donneront ensuite successivement Âm i, A«f , etc. ; en sorte que la valeur de V^ se déduit de celle de V,„i par de simples diflTércntiations.
