Exemple, -r- On a

supposons qu'on veuille avoir Vs . On posera

V» = A,/?J 4- A,pz-h As, et si Ton fait

on aura

/^aAa-+---7-- =: O, 2/?, A, H j- = O.

On a d'abord celte valeur de As, savoir,

Az — pKp' - 4p^) = P]PI - M'y on en déduit

et, par suite,

A,= i8/?,^2— 4/^?i on trouve enfin

et, par suite,

On a donc

V3 = - 2'jpI + (iSp,p2 - ^p])p. -^p]pl - 4/^^

Supposons encore qu'on veuille avoir V4 . On posera W,=zA,p] -hA,p] -f- A,/?4-f- A4,

puis

et

. dAi dkz ^ , dki

On a d'abord

A4 = ~> 27;?; -h i8p,p,pi — 4/^j/;; -H/^î/;î/?; — ^pIpU

d'où r/A

-^ = — ^Up^pI -+- 6/>>^ -h 8o7?,/^î/>J — iSp]p2pl

-^ip'plP^—^-&p\P^* et, par suite,

A3 = ^Up^pI — 6/)î;>3 — 80/?, /^J />5 -+- iSp\p,p^

— ^p'pI — ^^pU

d'où

= 384;? pI ■+- 256 />5 ^8 — 288/? J/?,/?, -1- 54//;>:Pâ,

et, par suite,

A2i=: — i92/>,/73— 128/^î 4-i44/^ÎA^3— 27/?;, d'où

et, par suite,

ce qui achève de déterminer la valeur de V4 .

Dans le cas particulier du quatrième degré^ on peut mettre sous une forme commode pour le calcul arithmétique l'expression du produit des carrés des différences des racines. Prenons l'équation proposée sous la forme

46si COURS d'algèbre supérieure.

et soient

l = ae — ibd -^ 3c%

J =z ace -4- 2 bcd — ad^ — eb* — c^ . On aura, en désignant les quatre racines par a, ë, y, d,

C'est M. Cayley qui, le premier, a trouvé cette formule.

Démonstration noiwelle de la formule de Lagrange,

204. La formule de Lagrange a fait l'objet des recherches d'un grand nombre de géomètres ; Cauchy, en particulier, est revenu à plusieurs reprises sur cette formule, et il en a donné diverses démonstrations. Mais, dans ces derniers temps, M. Eugène Rouché a fait une étude nouvelle et plus complète de la question, et il a publié dans le XXXIX" Cahier du Journal de l'École Polytechnique une démonstration qui ne laisse rien à désirer sous le double rapport de la rigueur et de la simplicité; nous croyons utile d'exposer ici l'analyse de M. Rouché.

Les développements qui vont suivre ne se rapportent pas seulement aux équations algébriques; ils s'appliquent également aux équations transcendantes. Rappelons à ce sujet que si f(z) désigne une fonction quelconque bien déterminée de la variable Zy qui s'annule pour z = ^i, et si, [JL étantun entier positif, la fonction

[z — zy

a une valeur finie différente de zéro pour ^ = Zi, la racine Zi de l'équation /(«)=:o a le degré de multiplia cité[i\ les règles du calcul différentiel montrent que dans

ce cas les (x — i premières dérivées de la fonction f(z) s'annulent pour ^ = ^1, tandis que la dérivée suivante prend une valeur différente de zéro.