Soit/{-z) une fonction bien déterminée de la variable

z=z p(cosû) -4- isin w) z= pe^\

i désignant ici Timaginaire ^ — i. Si Ton attribue au module p une valeur déterminée, la fonction f(z) ne dépendra plus que de l'argument (ù] donnons alors à o) les n valeurs

27r 27r 2jr

et désignons par ^09 ^19* • '9 ^n~i I^s valeurs de z qui répondent à ces arguments, 1? moyenne arithmétique des valeurs correspondantes àef[z)^ savoir

tendra vers une certaine limite quand le nombre n tendra vers l'infini 5 cette limite sera dite la valeur moyenne de f{z) correspondante au module p.

Considérons^ par exemple, la fonction

m étant un entier positif ou négatif; la valeur de

n est

dès que le nombre variable n sera supérieur à m, le dé-

Dominateur de cette, expression ne pourra s'annuler, car m est, par hypothèse, différent de zéro; d'ailleurs le numérateur est nul, puisque m est un entier; donc la moyenne arithmétique des n valeurs de z"" considérées, est nulle dès que n surpasse m. Il s'ensuit que la valeur moyenne de la fonction z"^ est égale à zéro. Quand le nombre m est zéro, la fonction y(^) se réduit à l'unité et dans ce cas sa valeur moyenne est elle-même égale à i. On peut conclure de ce qui précède la proposition suivante qui nous sera utile :

Théorème. — «Sï, pour une valeur déterminée p du module de la variable Zy la fonction/ [z) est dés^etoppable en une série com^ergente ordonnée par rapport aux puissances entières positives et négatii^es de z, le coefficient d*une puissance entière quelconque z^y dans Je déi^eloppement, est égal à la valeur moyenne du

/(«) quotient — jp^ •

En effet, supposons que pour une valeur p du module de z on ait, quel que soit l'argument o),

on pourra écrire

m = H- GO

OU, si l'on veut,

£ désignant une quantité qui tend vers zéro quand I en-

lier M tend vers rinfini. Prenons les valeurs moyennes des deux membres de celle égalité •, lous les termes compris

sous le signe ^donneront des valeurs moyennes nulles, à

Texceplion de celui qui répond à m = A: el qui aura A* pour valeur moyenne. Si donc on désigne par m la valeur

moyenne de e, et qu'on représente par 3ïb — —^ celle de

— T-^) on aura z*

mais il est évident que k=o, car.» est la limite que

prend, pour w = oo , la moyenne arithmétique

Sq "*T~ £| ~T~ ... "T" Sji — I

des n i^aleurs de e^ le module de m est donc inférieur à la moyenne des modules des quantités £, et, par suite, inférieur au plus grand des modules de ces quantités. D'ailleurs celui-ci s'annule pour M = oo et, en conséquence, le module de n se réduit en même temps à zéro« On a donc

OK, l^^ = A,.

206. Lorsqu'on attribue une valeur détermin^ée au module p de la variable Zj et que l'on donne à l'argumeut û) toutes les valeurs comprises entre o et a tu, le mo-p dule de la fonction /*(^) prend diverses valeurs. La plus grande de ces valeurs a reçu de Cauchy la dénomination de module maximum^ le module maximum de J*(z) est donc une fonction du module de la variable z.

Par exemple, soit

4<S6 COURS d'algèbre SUPÉRIEORB.

ae^^ dësignant une constante et m un nombre entier; le module dey(z) sera la racine carrée de TeiLpression

ou

et il est évident que le maximum de cette expression répond à Cl) = a ^ il s ensuit .que le module maximum de la fonction/ (z) a ici pour valeur

Gela posé, on a la proposition suivante :

TaÉORÉire. — Le module de la valeur moyenme d^une fonction f[ z ) est inféfieur au module maximum, de cekU fonction.

En efTet, la valeur moyenne t(ïL^f{z) de la foncliou/(«) est la limite vers laquelle tend Texpression

quand n tend vers Tinfini \ le module de la somme qui figure au numérateur est inférieur à la somme des modules des parties, et en conséquence il est inférieur, qael que soit n^kn fois le module maximum. Donc le module de îf(Lf[z) est moindre que le module maximum.

Corollaire. — lorsque, pour une valeur donnée du module p de la variable imaginaire z, une fonction f{z) est déi^eloppable en une série convergente ordonnée suii^ant les puissances entières positives et négatives de z,

SECTION II. CHAPITRE lï. , 4^7

le module du coej^cieut de -y dans le développement ^

est inférieur au module maximum du produit zj [z).

En effet, d'après le théorème du n" 205, le coefficient

de- dans le développement de y (-g) est ëgal à la valeur

nioyet^ne du produit -f(z)^ et, d'après le précédent théorème, le module de ce coefficient est iuférieurau module maximum de zf[z),

207. Ces nolionsi préliminaires étant établies, considérons une équation de la forme

dans laquelle f et a: désignent deux constantes quelconques réellea ou imaginaires, et où q> représente une fonction bien déterminée qui reste continue pour toutes les valeurs de z dont le module est inférieur a une certaine limite R, Nous établirons d'abord^ d'après M. Rouché, le théorème suivant :

Théorème I. — Si la fonction y (x-f- 2) est bien déterminée et continue pour toutes les valeurs de z dont le module est inféneur à^^et si la constante t est telle, que le module maximum de la Jonction

tf^{x -\r z] Z

soit moindre que Vanité pour une valeur r du module p de z inférieure à R, V équation

aura Htw mcine unique de module inférieur à r.

En effet, soit m le nombre des racines jz^j, ^2,..., z„, de cette équation, dont les modules sont inférieurs à r^ on aura

il) z — e(f{x -f-s) — (2 — z, )(2 — Z,)...(3 — z,„)^{z)y

en désignant par 4* (^) une fonction bien déterminée, qui reste continue et qui ne s'annule pour aucune valeur de 2 dont le module est inférieur à r; on tire de là

-f.|og(z — »«) — logî, et, en différentiant,

'^L z J rfiog,Kz) I ^ I I

Hz dz z — z, z — Zn z

Donnons maintenant à la variable z le module r\ le

module de — étant alors moindre que l'unité, par

hypothèse, on a

^o^ r, Mfjtil'l = ^y(^-^-») 1 py(-g+»)T