HL T-J
d*ailleurs la fonction <j> (a: -H z) est développable, ainsi que chacune de ses puissances, en une série convergenie ordonnée suivant les puissances entières et positives de z\ donc la fonction
pieut être développée suivant les puissances entières positives et négatives de ^. La même chose aura lieu aussi, par un théorème connu, à Tégardde la fonction
,og[,'-il^)]
dz
et il est évident que, dans le développement de celle dernière fonction, il n'y aura pas de terme en -•
D'un autre côté, la fonction
dz \(> [z)
est évidemment développable par la formule de Maclaurin, suivant les puissances entières et positives de z, puisque le module r de z est inférieur à R; donc il n'y a
aucun terme en - dans le développement du premier
membre de la formule ( 2 ) .
Passons au second membre ; comme on a
il est évident que le coefficient de -5 dans ce second
membre, est égal à m — i ; ce coefficient doit être nul, et l'on a en conséquence
208. La démonstration de la formule de Lagrange est contenue dans le théorème suivant, qui fait connaître en même temps quelle est celle des racines dont la formule fournit le développement.
Théorème II. — Les mêmes choses étant posées que dans le tlworème /, si l'on désigne par z^ la racine de V équation
z — t^[x -\- z):=z Oy
dont le module est inférieur à r, et par ¥ [x-h z) une
4jO COURS D^ALOkBRE SOPÉRISUmC.
fonction bien fééfemiinée et continue pour les vûleun fie z dont le module nest pas supérieur à r, la quantité F (a: 4- ^i) sera dés^eloppable en séiie convergente par la formule
F(«4- 2.) =F^) -h - E'[x)ff{x) H LJlll ii-+...
En effet, rëquation
z — f ç (ar -h «) = o
n'ayant qu'une seule racine z^ de module inférieur à r, on a, par le numéro précédent,
(•) ]«g[.-^?-^^]-log^W = Iog(,-^),
et, en multipliant par la dérivée F' (a: -f- z)àe¥[x-hz)y il vient
r{x^z)\oAi— i?i^±^n — F'(a?-4-z)log)!;(z) (^)^ / '^
Donnons à z le module r, développons les deux membres suivant les puissances de z^ et égalons entre eux les
coefficients de -•
Considérons d'abord le premier membre. La partie
V {x + z) \o^^[z) ne contiendra aucun ternxe e» ^> car
log^ [z) est développable suivant les puissances entières positives de z^ comme on Ta vu au numéro précédent, et la même chose a lieu à Tégard de la fonction Y' [x-^-z] qui, en vertu de noire hypothèse, est développable par la
SSGTIOX II. — CHiPITRE II. 47<
formule d,e Maclaiirin. Quant à la première partie^ le
module de — élanl inférieur à i, elle peut être
mise sous la forme
^ r (X -h Z)^^^(X -^ Z) -h ^^[<f(x -hz)Y •^...
^[(p(:r-hz)]"-f...J.
Le coefficient de z"^' danis le développement d^
F'{x-hz)[ff{a:-i-z)Y, suivant la formule de Maclaurin, est égal à
»^— #»»<— »i» I H «III 1^ » ip II » I I I I I %
expression qu'il faut réduire à
lorsque /i = i ; d'où il résulte que, dans le développement du terme
le coefficient de - a pour valeur
en outre, d'après la proposition établie au n^ 906, le module de ce coefficient est inférieur à
pr — î n
p étant le module maximum de F' (a: -f- r) et q celm de
^-^ -• D'après cela, dans le développement du pre-
mier membre de la formule (a), le coefficient de - est la
z somme de la série
'I../-^ f^^ . '' rfF'(.r)[ç(a:)P
-[yF'WvW
