dx

t" £/«-'F'(x)[<p(x)]« ï . 2 . . . /ï dx^—^

et cette série est convergente, car les modules de ses termes sont ioférieurs à ceux de la série

dans laquelle ^ est <[ i, par hypothèse*, il est évident que cette dernière série est convergente et a pour somme

— /?rlog(i— ^).

Considérons maintenant le second membre de la formule {^)\ z ayant le module r, chacun des facteurs qui le composent est développable en série convergente, par la formule de Maclaurin, et Ton a

F' (* -h z)log (i-- ^) = ~ [f(x) 4- i F-(:r) H- -^ F''(:r)+...]

Dans ce produit lé coefficient de - est évidemment la somme de la série

le module de z^ étant inférieur à r, cette série est convergente et elle a pour somme, diaprés la formule de Maclaurin, la différence

-[F(a;H-zJ-F(:r)].

De tout cela nous pouvons conclure que Ton a

I I . C2 dx

comme nous l'avions annoncé.

209. Si Ton fait croître le module p de la variable z depuis o jusqu'à oo , le module maximum de la fonction

«p(xH-z)

qui est infini pour p = o, ira d^ abord en décroissant, et s'il ne redevient pas înGni pour quelques valeurs finies de p, il finira par croître au delà de toute limite, en même temps que p, à moins que © (.r -I- 2) ne soit une fonction linéaire de z. En effet, la fonction cp (a: + z) restant bien déterminée et continue pour toutes les valeurs de z^ supposons que le module maximum de 2-^— ne puisse

surpasser une quantité donnée -; le module maximum de

ry (jr-H z) Z

sera dès lors inférieur à i, quelque grand que soit le module de ^, et il s'ensuivrait (n*^ 207) que l'équation

z:=: tff[x -^ z)

n'aurait qu'une seule racine, ce qui ne peut avoir lieu que dans le cas où f (a: + z) est une fonction linéaire.

Il résulte de là que p croissant à partir de zéro, le module maximum de la fonction

474 CO0KS h'algèbae auPéaicu&E.

passera nécessairement par un minimum. Posons

le module P et Targuraent Cl seront des foiieiions continues de p et de ot) ; la valeur de o) qui répond au maximum de P, pour une valeur donnée de p, satisfera donc à l'équation

P devient alors une fonction de p seul, puisque la vtriable w qui y figure est une fonction déterminée de p,el, dans le cas du minimum de P, on doit avoir

dP flV d(ù

condition qui se réduit à

en vertu de l'équation ( 2 ) .

Cela posé, comme on a

dz ' z di

dp p dtù

si Ton diiTérentie Téquation (i) d'abord par rapport ko, et ensuite par rapport à cn), on aura

retranchant ces identités l'une de l'autre cl supprimant le

SKCTIOM