Si Ton pose z=s u — x, Téquation

Z — tff(x H- z) =z O

se transformera dans la suivante,

it = X -h /y («),

et, d'après les développements qui précèdent, on peat énoncer la proposition suivante :

Théorème. — Soient ^(u) une fonction bien déterminée qui reste continue, et T le plus petit des modules qu il J'aille attribuer à f, pour que V équation

ait deux racines égales. Tant que le module de t restera inférieur à T, celle des racines u île la même équation qui a le plus petit module sera développable en série conyergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de t'^ la même chose aura lieu aussi pour toute fonction continue de la même racine u.

On a (n*' 208), si F (u) est une fonction, continue,

t t^ ^F'{xU*f*)l'

1 \ ^ ï V / 12 dx

rf^'r'{*)[?(^)]'

ce qui est précisément la formule de Lagrange, sous la forme que cet illustre géomètre a adoptée. Si la fonction F(u) se réduit à li, il vient

uz=zX'\-'-o{x)A LLl— ii H-...

I ^ ^ ' 1.2 dx