rt dx

rt—rl

La forme que M. Rouché a donnée à la formule de Lagrange (n**208) est souvent préférable dans les applications h celle que nous venons de présenter; au reste, on passe de Tune à Tautre forme par un simple changement de variable (*). ,

applications de la formule de Lagrange, 211. Considérons l'équation trinôme

Pour que cetle équation ait deux racines égales, .il faut qu'elle ait une racine commune avec sa dérivée

L'élimination de t entre ces deux équations donne

injn Il = .

et Véquation (a) donne, pour t, la valeur correspondante

ffjmj^^x

DonC) pour toutes les valeurs de t dont le module est inférieur au module de ? celle des racines de

m"^ af*~^

l'équation (i) qui a le plus petit module est développable en série convergente ordonnée par rapport aux puissances entières de t. Le développement sera^ d'après

(*) Dans son Mémoire sur la série de Lagrange, M. Roaché a établi aussi une autre formule plus générale, et de laquelle il a tiré une démonstration très-simple de la formule par laquelle Waring a exprimé la somme des puissances semblables des racines d'une équation algébrique. Je renverrai pour ces développements au Mémoire de Tauteur.

4yi COURS d'algèbre SUPéniEUIlE.

la foroBulc de Lagrange,

nttt (rini — i ) . . . (nm — « -♦- 2 ) H — ^ ^ X*"-'»-*-' /» -f-

Le terme général i/„ de cette série a pour Taleur nminm — i )...(«//? — «-4- a)

et Ton en déduit

Un^x I {fini -h tn)(nin -4- /// — i). . .(«/» -f- 1) ^,

«^ « -h i [nm — /? -♦- 2 ) . . . (/îw — «-+-/«)

La limite de ce rapport, pour /i = oo , est

et Ton vériiie de celle matiière que la série est convergente, si le module de / esl inféiieur au module de

m'njjn-i

212. L^emploi de la formule de Lagrangc est souvent avantageux pour obtenir le développement en série des fonclîousexpUcîles 5 j'en présenterai ici deux exemples.

Supposons d'abord qu'on demande de développer en série ordonnée suivant les puissances entières de t la fonction

V^l — 2tX -+-

dans laquelle x désigne une quanlilc réelle donnée dont le module esl inférieur n Funilé.

SBCflON II. — CHAPlTllB II. 479

Je considérerai à cet effet réqualion du deuxième degré

(1) U^JC-^t y

dont les racines sont données par la formule

, , i±:\/i — itx -+-^2

^^our que l'équation (i) ait deux racines égales, il faut que

Ton ait

I — ifxH- /'m o, d'où Ton tire

X étant réelle et comprise entre — i et + i, le module de ces deux valeurs de t est égal à l'unité \ donc, pour toutes les valeurs de t dont le module est inférieur à i , celle des racines de 1 équation (i) qui a le plus polit module est développable en série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de t. Si nous supposons que la quantité t soit réelle el comprise entre — i et 4- i , on aura, d'après la formule de Lagrange,

1 =z:XH 1 ^ ; ^- h...

t 2 1 Owr I . 2

dx'*~^ \ .%, , ,n

et, si Ton dilTérenlie par rapport à x les deux membres de celte formule, il viendra ^

en posant, pour abréger,

" I.2...W2'» dx'' '

48o couBQ d'algèbee supéaieuiœ.

on voit que cette fonction X„ est précisément celle dont nous nous sommes occupés aux n^* 124 et 134.