CHAPITRE m
DIGRESSION SUR LA DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES ET SUR LES SÉRIES RÉCURRENTES.
Théorie de la décomposition des fractions rationnelles
en fractions simples,
214. La théorie de la décomposition des fractions ra^ tionnelles est si importante, et ses applicatîoDS dans l'analyse mathématique sont tellement variées, que je crois utile de la présenter ici avec tous les développements qu'elle comporte.
Nous commencerons par établir qu'une fraction ra-
F(x) tionnelle j- — - y dont les deux termes sont des polynômes
quelconques premiers entre eux, est décomposable en une partie entière (qui peut être nulle), et en plusieurs fractions simples à numérateurs constants, ayant pour dénominateurs les diverses puissances des facteurs linéaires qui divisent le polynôme f(x). Nous démontrerons ensuite qu'une fraction rationnelle n'est décomposable ainsi que d'une seule manière, et nous indiquerons enfin le moyen d'effectuer la décomposition.
215. Théorème I. — Si a désigne une t^icine de Vé^ quationf[x) = o, a son degré de multiplicité^ en sorte que Von ait
fx (^) étant un polynôme non divisible par x — a, la L 3i
482 COURS D* ALGEBRE SVPfimiBVRB.
fraction rationnelle -^-—rj supposée irréductible y pourra
tpujours être décomposée en deux parties de la manière suivante :
 e'/ant u/ie constante, et F, [x) un polynôme entier. En effet, on a identiquement, quel que soit A,
¥{x) V{x) A . V(œ)-kMx)
et pour que le deuxième terme du second membre ne contienne â son dénominateur que la puissance çt — i du facteur ar<— a, il faut et il suffit que le numérateur F{x) — A/i (x) s* annule pour x = a. Posons doue
on aura
cette valeur de A sera finie et différente de zéro, puisque f (a) et F (a) ne sont pas nuls : si Ton fait alors
F(x\-^kMx)^(x^a)F,{x),
on 9XLV9i
ce qu'il fallait démontrer.
Corollaire. — Si Von a
a , //,... ^ l étant des quantités diitinctes «^ ce , S , . • • > ^
8ECTIO» II. — C&àPITRE III. 483
des entiers positifs, la fraction rationnelle — ^ pourra être décomposée de la manière suii^ante : Ff.r) A A. K^i
B . B, Bg,
A , A 1 5 . . . , B, Bj , . . . , L, Li , . • . , étant des constantes finies^ et E(a:) une fonction entière.
En effet, en posant comme précédemment
f{x)={.T^arf(x),
on a, par notre théorème,
A , Al , . . . , A^ , étant des constantes 6nies et détèrmi-^
nées, et Fi (a:) , F, (jc) , . . . , F^ (a:) des fonctions entières.
Il faut remarquer que la constante A n'est jamais égale à zéro, mais les quantités Ai, A,,, . ., A^, peuvent être
nulles, car l'un des polynômes Fi{j:), F,(j:),. . . peut être divisible par x — a\ en ajoutant les égalités qui pré-
484 COtJllS D'àLGàBRB SUPélilEVRE.
cèdenl, il vient
FM F(x) ^. A ^ A. ^ , ^«-' , ^^^y
Si l'on pose
F (x) et que l'on opère sur la fraction j*. ,■ comme nous ?e-
nons de le faire sur -7^9 on obtiendra une expression de la forme
FaW P«(*) B B, Bg, F„^gW
/(x) {x—bff,[x) (x-^bf [x—bf" "* J^-^ /U') et, par suite, F(x) A . A, . . A^,
f[x) [x — aY (x — fl)*"' '" ^ — «
B . B.- . . Bg, F^^gW
(;f — ft)^ (a.-«fc)6-» ' x-^b f,(x)
B, B|,... étant des constantes déterminées et F^^g (j^) une fonction entière.
En continuant ainsi, on obtiendra évidemment la for^
mule qu'il s'agissait d'établir.
216. Théorème II. — Une fraction rationnelle nest décomposable que d'une seule manière en une partie entière et en fractions simples.
Supposons qu'on ait trouvé ces deux valeurs d'une
F (x) même fraction rationnelle -rr-4 î
et*
on aura
-h. . .-f-E(jp)= • > -h. . .-hE'(jc).
Cela posé^ a. et a' élant respeclivement les exposants des plus hautes puissances de x — a, dans les deux membres^ je dîs que at=z(x! et A = A'. Supposons, en effet, que a et o! soient inégaux et que a. soit ]> a^ ; tirons de
Téquation précédente la valeur de ? et réduisons
tous les autres termes au même dénominateur^ on aura
(jr— af (x — «)«— ' 4/(j») OU
^ et <{f désignant des polynômes dont le second n'est pas divisible par x — a. D'ailleurs, A est une constante; il faut donc qu'elle soit nulle, car l'équation précédente donne A = o pour a: = a. Si donc A n'est pas nul. on ne peut supposer a ]> a', et l'on ferait voir de même que, si A' n'est pas nul, on ne peut supposer non plus a < a' ; on a donc « =: a'.
Je dis maintenant que A = A' *, en effet, de la for-
mule qui exprime l'égalité des deux valeurs de -77--T » on tirera, a' étant égal a a,
(x — û)« (x — «)«-'4(-ir)
48tf COVmS D* ALGEBRE SUPÉAIBURB.
OU
^ et (p ëtanl, comme précédemment, des polynômes dont le second n'est pas divisible par x — a^ la différence A — A' est donc nulle, car pour jr = a, le second membre de la formule précédente se réduit à zéro.
Les termes qui renferment la plus haute puissance de X — a en dénominateur, dans les deux valeurs de la fraction rationnelle, étant égaux entre eux^ on pourra les supprimer et les deux restes seront égaux. En raisonnant de même sur ces deux restes^ on voit que les termes qui contiennent en dénominateur la plus haute puissance da même binôme x — a, ou d'un autre binôme^ sont aussi égaux entre eux^ et en continuant ainsi, on reconnaît
que les fractions simples des deux valeurs de ■ . , sont
égales chacune à chacune : il en résulte, par conséquent, l'égalité des parties entières E [x) et E*{x).
CoROLLàiRE. — La partie entière qui figure dans la
valeur cCune fraction rationnelle ^ décomposée en
fractions simples est égale au quotient entier de la dÀtàsion de F (x) par f(x).
Car si Ton désigne par E [x) le quotient et par f (x) le reste de cette division, on aura
le numérateur de la fraction 77-^ étant de deirré inférieur
au dénominateur, cette fraction s'annule pour a: = 00 , et en conséquence elle ne peut renfermer de parlie entière.
»ECXI02t 1I« -^ ClfAPITRE Ul* 4^7
Cas d'une fraction rationnelle dont le dénominateur
n^a que deà facteurs simples.
