Soît

/(*)=.(j;-a)(4r-*)...(-lr-/),

a, &,..., / étant des quantités différentes) %\ F [x) désigne un polynôme quelconque, on aura, par ce qui précède,

A, B, . » • , L étant de» coii»uuite» dëteriliiiiée» et £ ( «r) une fonction entière*

Ainsi que nous l'ftToils déjà dil^ le^pol^nôme E^jt) peut être obtenu en effectuant la division de F (x) par f{x) \ il restô à déterminer les constantes A, B, . • • , L. L'équation (i) devient, en multipliant pary*(x),

F(.)=A/(f)^!£MH....-HÎl^H-E(x)/(.).

Cette égalité a lieu identiquement; si Ton y fait jt =: a, tous les termes du second membre s'évanouiront à l'exception du premier qui se, réduira à hf^ (a), ain» qu'on le reconnaît sur la formula

On a, en conséquence,

F{«) = A/'{«), d-où A=Jr7fîi

d'ailleurs a est l'une quelcoûqué des racines de l'écjuationy(x) = 05 donc

488 GOVRS o'àLGkBRB SDPÉRIEIIKB,

et la formule (i) devient

W /(x.)i-/'(«)(*-«)V(A)(*-A)"^-VW(*-') ^'

Si le degré de F (x) esi inférieur au degré mde/(j:),la partie entière E (or) se réduit à zéro, et on a simplement

Soit

F (ar) = P,4:-«-' 4- P, «^' -h . • . -h Pi»,« -+- Pm-i.

Si Ton multiplie la formule (4) par f(x) et qu'on otdonne le second membre par rapport aux puissances dé« croissantes de X^le coefficient de xf^"^ sera évidemiaent

et cette somme sera

égale à Po *,

on a donc

le signe V indiquant qu^il faut remplacer x par chacune

des m racines de Téqnation f(x) = o, et faire la somme des résultats. Si la fonction F (x) est au plus du degré m-^2j la quantité Po est nulle et on a dans ce cas

formule qui est utile dans plusieurs circonstances.

Méthodes pour effectuer la décomposition d'une fraction rationnelle, dans le cas général.

218. Le théorème I du n^ 215, par lequel on démontre la possibilité de la décomposition, donne aussi le moyen

de l'effectuer. En effet, si Ton fait

/(x)=(x-a)V.{x), nous avons vu que l'on a

/(x) (x - «)^- (x - «)«- V. (-^y en posant

on a ainsi Tune des fractions simples demandées, et, pour trouver les autres, il suffira d'appliquer le même lliéorème à la fraction complémentaire

Dans le cas où l'équation y* (x) = o n'a que des racines simples, on retrouve facilement de cette manière la formule établie au numéro précédent^ mais, ce cas excepté, l'emploi du procédé dont il vient d'être question exige des calculs assez pénibles.

219. On peut aussi employer la méthode des coefficients indéterminés dont nous avons déjà fait usage au n^217. Soit la fraction rationnelle

que nous supposons irréductible et dont le dénominateur est divisible par la puissance a**"*' du binôme x — «, mais ne l'est pas par une puissance supérieure. Pour trouver les fractions simples qui répondent à la racine a, on posera

(I) -rr, — r= 1 -(-... -I ' 1 ' -z- — .- *

49^ COUKS n'ALGkBIlE SUPÉEIEURE.

conformément au théorème I. Si Ton multiplie cette formule par /( x) et qu*oii remplace x par a -+- A, on aura

F(</-h/i =A<^ -' -hA. ^ -I-...-K. A,, /-^-j — i+/i*F 'fl+fc

or on a

et en portant ces yaleurs dans la formule précédente, on obtient

F(fl) -f-A

^^■^•^•«^•^^•-•^■•i^— ^'te

Cette formule a lieu quel que soit h, et si on égale de part et d^autre les coefficients des mêmes puissances de h, jusqu'à celles de degré a — i , on aura