a i.2...(a-hlj l
fia) r^'{a) /'""'(a. ^ jH^
«-'TXr;^ «-■'l.2...(« + l)"^"' 1.2...{2a-i; l.2."i»-"
SECTION il. — CHAPITRE lli. 49^
Ces relalions permettent de calculer successivement A, Al,..., A„ .1 et les valeurs de ces coefficients seront
finies et déterminées, car /"(a) esl^ par hypothèse, différente de zéro. On peut obtenir par ce procédé les fractions simples qui répondent aux diverses racines de Téquation y*(a7)=o; qiiant à la partie entière, on la trouvera, comme nous l'avons déjà di(, en divisant F (j:) par/(x).
320. Enfin y on peut effectuer la décomposition par un procédé qui n^exige que la division algébrique. En effet, si Ton pose, comme nous Pavons fait plus haut,
et que Ton écrive a -h h ^n lieu de :r, la formule (i) dti numéro précédent, multipliée par h^^ deviendra
et l'on voit que le polynôme
est le quotient que l'on obtient quand on divise l'un par l'autre les polynômes F (a -h A) etyi(a-HA) ordonnés par rapport aux puissances croissantes de A, jusqu'à ce qu'on soit parvenu à un reste du degré a; on obtiendra donc, par cette division, les fractions simples qui se rapportent à la racine a.
On pourrait déterminer ainsi, indépendamment les unes des autres, les fractions qui se rapportent aux diverses racines, mais il sera plus simple d'appliquer la
même méthode à la fraction -^t Qtiî complète les termes déjà trouvés^ ou obtiendra ainsi les termes qui se rap-
49^ COURS d'algèbre SUPÉRIEtlRE.
portent à une deuxième racine, et une troisième fraction sur laquelle on continuera Topera tion.
221 . La méthode précédente a surtout Favantage de faire connaître Texpression algébrique des numérateurs des diverses fractions simples dans lesquelles se décompose la fraction rationnelle proposée. En effet, la division des polynôme^ F(a4-A)eiyi(a-f-A), que nous avons effectuée dans le but d'obtenir les coefficients Â, Ai, As,. ••7
revient évidemment à développer la fonction -—: r.
en série ordonnée suivant les puissances croissantes dei, et comme une fonction n'est développable que d'une seule manière en une série de cette espèce, on obtiendra le même résultat en faisant usage de la formule de Maclaurin. Si donc on pose
on aura
pi = ? ri -4- // z= (j, fl) -h /f <p' ^ J H- /i' ^
/(fl -t-/i) • ^ / TV ; T \ / ,2
en désignant par A" Ri le reste de le série; ici Ri est une fonction rationnelle de h qui n'est point intînie pour
/r= o, et, par conséquent, cette valeur de ^w — 'Trï identique à celle trouvée précédemment. On aura donc
