I .?.... (a — i) d'où résulte ce théorème général

Théorème. — Si Von a

f(x} = {x-a)'{x-bf ..{x-l)\

que F (x) désigne une fonction entière de jr, dont le quotient par f(x) soit E(a:), et que Von fasse ^ pour abréger^

on aura la valeur suivante de la fraction rationnelle ■;r— :

Ff r^

(x— 6)^ {x—bf"' i.^Çr-^bf"'^ ' ' l.2...(6— i)(j:— ^) o(/l cr'(/) cr^(/) cy^""'(0

Forme nouvelle de l'expression d^une fonction rationnelle décomposée en fractions simples*

222. Le résultat qui précède est susceptible d'une autre forme très-simple et très-élégante que nous allons faire connaître. Désignons par F (x) une fonction rationnelle quelconque, par

les racines de l'équation

494 COURS o'algIibre SirrÉtIEtJKK.

et par

les j]egrés de mulliplicité respectifs de ces racines. Soit aussi, pour abréger,

ç(jr)=r(x-j:,)-F(:t),

9 (x) désignant une fonction qui a une valeur finie différente de zéro pour ar = Xi •

Si Ton imagine que la fonction rationnelle F(x) soit décomposée en fractions simples^ la somme des fractions relatives à la racine Xt sera

I.2...(/7I, — f — ly(.r — Jr,)*"**' "* r.:2...(y77, — i)(j? — -r,)

ainsi qu'on Ta vu plus haut. Par suite, cette somme s'obtiendra en faisant ^ = o dans Texpression

Or ?'(j^i4-Ç)j 9''(j^i^"Ç)> ®lc., peuvent être considérées comme les dérivées de ç (xi -f- (^) par rapport à la variable f , et alors il est aisé de voir que l'expression précédente se réduit à

r(j3) désigne, comme au n** 196, le produit des p — i premiers nombres si p est plus grand que i , et il doit se réduire à l'unité pour p = t ,

SBCTIOir II. — CHAPITRE III. 49^

Comme on a

la somme des fractions simples relatives à la racine x^ sera égale à la valeur que prend, pour Ç = o, l'expression anivante :

r(i?ï,) rfç»'-'

Si donc la fonction rationnelle F (x) ne contient pas de partie entière, on aura

n^) = yz^.

ÛC — — a2P t ~

Dans cette formule, il faut faire ^= o, après les diSe-

rentiations ; le signe sommaioire \^ s'étend à toutes les

racines Xj, Xj,. . . , x . II est presque superflu d'ajouler que si le degré de multiplicité dSine racine, de x^ par

exemple, est égal à i, la dérivée '- — — doit

être réduite à — — -*

or — JT, — C

Si la fonction F (j?) contient une partie entière E (x), on a

il est aisé de trouver la valeur de E (x). Désignons par n Texcès du degré du numérateur de F [pc] sur celui du dénominateur ; n sera le degré de E (x). Cela posé, si Ton

change x en - dans l'équation précédente et qu'on mul-

496 conas d'algèbre supérieurs."

tiplie ensuite, de part et d'autre, par 2", on aura

rfÇ

Il s'ensuit que si l'on développe 2" F [ - 1 en série ordonnée suivant les puissances croissantes de 2, la somme des termes dont le degré ne surpasse pas n sera z" E I - ] •

Or, ^désignant toujours un infiniment petit, on a, par la formule de Maclaurin,

dK"F[^] , ^'Ç^FI^Î-

donc on a

et, par suite,

E(j:) z^jr^ÇT (^) -f-x

dtrF

ik)

X, dX,

On peut trouver une autre expression plus simple du polynôme E(x). En effet, le coefficient de Ç"~' dans le

développement de ^"F ( - j> suivant les puissances croissantes de Ç, est égal au coefficient de (^" dans le développement de (^"+' F ( - 1 ; d'ailleurs, ces coefficients sont les

valeurs que prennent, pour Ç = o, les deux quantités donc on a, pour ^ = o,

et il faut remarquer que le premier membre doit être réduit à Ç" F ( - j dans le cas de i = n. D'après cela, la valeur précédente de E [x) devient

enfin, comme on a évidemment, pour Ç=o, et pour i> n,

on peut aussi écrire ou

On a donc la formule suivante qui donne la valeur d*une

fonction rationnelle quelconque F (x) décomposée en

498 COURS D^ALGEBBE SUPÉillEUB.E.

une partie entière et en fractions simples, savoir :

d" ^ ' rf"» • r»

^"^'"^ r(/i-h 1) dV ^ 2dT(m,) dxr'-"

]a quantité ^ devant être égalée à zéro après les différentiations.

Mode particulier de décomposition pour les fractions rationnelles et réelles dont le dénominateur a des facteurs linéaires imaginaires.