La théorie que nous venons d^exposer s^ applique

à toutes les fractions rationnelles -77—75 et les coefficients

peuvent avoir des valeurs quelconques réelles ou imagi* naires. Mais lorsque ces coefficients sont réels et que parmi les racines de Téquation f(x) = o il s'en trouve

quelques-unes qui sont imaginaires, Texpression de la

F (x) fonction réelle ^ est elle-même compliquée d'imaginaires. On a cherché à 'modifier, dans ce cas, la manière d'eflectuer la décomposition, et on y est parvenu comme nous allons l'indiquer.

224. La possibilité du nouveau mode de décomposition que nous avons en vue résulte du théorème suivant :

Théorème I. — Six* -h px H- ç est le produit de deux facteurs imaginaires conjugués du polynôme réelf(x)^ n la plus haute puissance de ce trinôme qui divise J(x)^ en sorte quon ait

Ffx) la fraction réelle et rationnelle •' .^ pourra être dé*

composée en deux parties, de la manière suivante :

F(x) Pjt+Q F,(jr)

/(«) ~" (x*-hpx H- q)" (x^-h px H- qf-'fx (x)'

P et Q étant des constantes réelles, et Fi [x) un poly^ nôme réel.

En effet, on a identiquement

/(x) {x^ -h px -^ q)'* f, (x)

Px-hQ ^ F(x)-(Px-4-Q)/Jx)^

"" (x' -hpx-\- qY (x2 -hpx-h qffx (x) '

et l'on peut déterminer P et Q de manière que le numérateur de la deuxième partie du second membre soit divisible par X* H- px -f- 7, c'est-à-dire de manière que ce numérateur s'annule en remplaçant x par chacune des racines de Téquation

Soient A -H Ar y — * et A — h si — i ces deux racines, et posons

on tirera de là

p (A ± A n/=T) + Q = li^^AQ = (M ± N v^,

M et N étant des quantités réelles dont les valeurs sont finies et déterminées, puisque, par hypothèse, /i [x\ n'est pas divisible par x* -i- px-h g* L'équation précédente se décompose dans les deux suivantes :