II— I
x^-hpx-hq f\[^)
P, Q, Pj, Q,, efc, désignant des constantes réelles ^ et F„ ( Jc) tt« polynôme réel aussi,
S25. En combinant le théorème précédent avec le théorème analogue démontré au n^ 215, on obtient celui-ci :
Théorème II. — Si Von décompose le polynôme f[x) en facteurs réels du premier et du deuxième degré ^ en sorte quon ait
on pouira décomposer la fraction rationnelle -jr^ ^ '^
SECTION II. — CHAPITRE III. 5oi
manière suwante :
* R-g 4- S Ri j: 4- Si R,w-,i 3? 4~ Sw~t
(.r' 4- ra: 4- j)^ (:»* 4- r,r 4- .v)""-* *** a:* 4- rr 4- J
E (x) désignant une partie entière qui peut être nulle^ et
des constantes réelles.
226. Théorème IIL — Une fraction rationnelle nest décomposable que d^uno seule manière en fractions simples de la forme qu^on vient de considérer.
Soient deux valeurs d'une même fraction rationnelle
•77— 7- On démontrera, comme au n^ 216, rëfi'alité des
fractions simples qui correspondent aux facteurs du premier degré du dénominateur, et quant k celle des fractions simples qui correspondent aux facteurs du second degré, elle peut se démontrer d*une manière analogue,
Vx 4- O comme nous allons voir. Soient 7—; -^^ — r le terme
(or^ -hpx 4- qf
dont le dénominateur contient la plus haute puissance
de x^ + px-^q dans la première valeur de ^, ,? et
F' ;r 4- 0' r— , ; le terme aualos^e dans la seconde va-
[x'-\-px-^qY
leur. Je dis d'abord que n'=n. Supposons, en eftet,
502 COURS D^ALGÈBRB SUPÉRIEURE.
que cela ne soit pas, et que Ton ait n^n! : de Tëg^alité qui a lieu entre les deux valeurs de }, { 9 tirons la valeur
de : ^ — rî cette valeur sera exprimée par une
somme de quantités dont aucune n'a en dénominateur une puissance de a:* -4- poc -hq supérieure à ]a (n — i)***^. En réduisant donc toutes ces quantités au même dénominateur, on aura une égalité de la forme
(jp'-h^a: -h y)» [x* -^px-h ^)'^^'^(^)
ou
P*^Q = (j:»H-/>x-hç)f54»
<ip(x) et ^(x) désignant des polynômes, dont le second ^ (x) n'est pas divisible par x* -h pJO-+- q. Or Tégalité précédente est impossible; car, autrement, l'équation Vx 4- Q =31 o devrait admettre les deux racines de Féquation X* 4- px -f- y = o, ce qui ne peut arriver, à moins que P et Q ne soient nuls en même temps, contrairement à r hypothèse. On ne peut donc supposer n^n' m n'^n^ pour une raison semblable; par conséquent, on a n! z=z n.
Je dis maintenant que Ton a aussi P'=P, Q'=Q. Reprenons, en effet, l'égalité qui a lieu par hypothèse entre
Y{x\ les deux valeurs de ■>, ■» mettons dans un même membre
les deux termes -— -^^ — - et r-i ^^^ — r » et dans
(x* -h px -^ qf ( J?' H- px H- 9 )"
le second membre tous les autres termes dont les dénominateurs ne contiendront aucune puissance de x*+px+^ supérieure à la (fi — jj«*««. réduisant tous ces derniers termes au même dénominateur, on aura une égalité de
SECTION 11. — ^HAPITKE TTT. 5o3
cette forme
OU
(P - F) x 4- (Q - Q') = [x^-^px -h q) |i^,
9 [x) et ^ (x) désignant, comme précédemment, des polynômes dont le second n'est pas divisible par x*-\* px + q^ et l'on fera voir aussi, comme plus haut, que cette égalité exige
Il suit de là que dans les deux valeurs de -~~ ^ les termes
qui contiennent en dénominateur la plus haute puissance d'un facteur du second degré sont égaux; en supprimant ces deux termes, les deux restes auront encore, pour la même raison, deux termes égaux \ et, en continuant ainsi, on voit que les deux valeurs de la fraction considérée ne sont formées que de fractions simples égales chacune à chacune : il en résulte en même temps Tégalité des parties entières, s'il y en a.
