CHAPITRE IV

DES FONCTIONS ALTERNÉES ET DES DÉTERMINANTS. APPLICATION A LA THÉORIE DES ÉQUATIONS.

Des fonctions alternées.

235. On jxoiavoiQ fonction alternée de plusieurs quantités toute fonction qui change de signe, mais en conservant au signe près la même valeur, lorsqu'on échange deux quelconques de ces quantités entre elles. Nous ne nous occuperons ici que des fonctions alternées rationnelles.

Il résulte de la définition précédente que le carré d'une fonction alternée est une fonction symétrique.

Quand on échange plusieurs quantités entre elles, d'une manière quelconque, on dit que Ton a exécuté sur ces quantités une substitution : la substitution qui a pour objet de remplacer deux quantités Tune par Tautre se nomme transposition. Nous reviendrons avec détails, dans la suite de cet Ouvrage, sur ces importantes notions; pour le moment, il nous suffît de remarquer que toute substitution qui ne se réduit pas aune transposition peut être exécutée par le moyen de plusieurs transpositions successives ; car, si, parla substitution dont il s'agît, une certaine quantité a doit venir prendre la place occupée par la quantité i, on pourra produire ce premier effet par la simple transposition des lettres a et b; la. quantité a occupera ainsi la place qu'on veut lui assigner, et il restera à exécuter une certaine substitution sur les

528 GOtTES d'algèbre SUPÉaiECRB.

quantités restantes. On peut appliquer à celle-ci le raisonnement que nous venons de faire et, en continuant ainsi, il est évident qu^on aura exécuté la substitutioo proposée au moyen de plusieurs transpositions.

Cela posé, soit V une fonction alternée. Une première transposition changera V en — V, une deuxième transposition reproduira la valeur primitive V, et ainsi de suite ; on peut donc énoncer la* proposition suivante :

Une substitution qui équivaut à un nombre pair de transpositions ne change pas la valeur d' une fonction alternéeY ] au contraire, toute substitution qui équivaut à un nombre impair de transpositions change Y en — V.

236. Il est facile de former l'expression générale des fonctions alternées de m quantités

Désignons, en effet, par P le produit des •

différences

(•c— a), [c'-b], [o,] { {d^a), (d^b), (rf-c),

je dis que P est une fonction alternée. En effet, soient a et S deux quelconques des quantités (i), dont nous écrirons la suite de cette manière :

la différence

fera partie des facteurs (2) qui composent le produit P;

écrivons ceux des autres facteurs de P où la quantité a figure en regard des facteurs qui dépendent de S :

Les facteurs qui composent Tune quelconque des trois lignes de ce tableau peuvent être groupés deux à deux, de manière que le produit des différences d*un même groupe, tel que

(a__û)(6--«) ou {g^a){^^g) ou (y— a) (y — 6),

ne change pas quand on transpose a et 6 ; d^ailleurs, par cette transposition, 6 — a se change en a — S; donc aussi P se change en — P, et, en conséquence, le produit P est une fonction alternée.

Soit maintenant V une fonction rationnelle et alternée quelconque des quantités (i); le rapport

ne changera par aucune transposition ; donc ce rapport est une fonction symétrique S et, par conséquent