V = SP

On a ainsi cette proposition :

Théorème. — Toute fonction rationnelle et alternée

de m quantités est égale au produit d^une fonction

, . j m (m — t] f.yr» T

sjîitetrique et des différences obtenues en

combinant deux à deux les m quantités données.

Si la fonction alternée V est entière, la fonction symé-

S., Alg. Slip, — 1. 34

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trique S sera aussi entière. En eflfet, V se changeant en — V par la transposition des lettres a et i, il est évident que l'on a V = o, quand on pose b = a, et, en conséquence, le polynôme V est divisible par la différence b — a ou a — b. D'ailleurs a et i désignent deux quelconques des quantités données, et il en résulte que V est divisible par P.

237. D'après ce qui précède, l'étude des fonctions alternées est ramenée à celle de la fonction P.

Si l'on effectue le produit des différences (a) et qu'on opère la réduction de termes semblables, on aura la valeur de P sous la forme d'un polynôme homogène du

degré — ^ • par rapport aux quantités a, 6, ....

L'inspection du tableau des différences (a) montre que, dans la partie de P multipliée par f""* , le coefficient de /'""* s'obtient en rejetant la dernière ligne du tableau (a) et en faisant le produit des différences restantes; pareillement, dans la partie de ce coefficient qui est multipliée par Ar'"~2, le coefficient de /r'""^ s'obtient en rejetant les deux dernières lignes du' tableau (a) et en multipliant les autres différences; en continuant ainsi, on reconnaît que la fonction P renferme le terme

avec le coefficient -h i . Nous donnerons à ce terme le nom de terme principal.

Cela posé, je dis que l'on a

Dans cette formule, le signe \ embrasse les i.a.../7z

termes qu'on peut former, par les substitutions, au moyen du terme principal. Celui-ci a le signe H-, et chacun des termes qui suivent a le signe + ou le signe — suivant qu'il se déduit du terme principal par un nombre pair ou par un nombre impair de transpositions. Pour justifier notre assertion, soit

un terme quelconque du second membre de la formule précédente, les exposants a, S, y, ..., X étant les nombres o, I, 2, ..., [m — i) pris dans un certain ordre. La même fonction renfermera aussi le terme

qui se déduit du précédent par la transposition des lettres a et b; ces deux termes ont d'ailleurs des signes contraires, car les substitutions au moyen desquelles on les déduit du terme principal équivalent Tune à un nombre pair, l'autre à un nombre impair de transpositions; enfin la somme des deux mêmes termes est divisible par i — a. Il résulte de là que la fonction considérée est divisible par le produit des différences (2), c'està-dire divisible par la fonction P ; en outre elle est du même degré que celle-ci et elle a avec cette fonction un terme commun : donc elle lui est égale.

On doit remarquer qu'au lieu d'exécuter les substitutions sur les lettres

on peut, si on le juge à propos, les faire porter sur les exposants

bu

Cx,

Ct,

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Des déterminants.