CHAPITRE IV

habituellement

Co . . . /o

bx

Cl . . . /i

Les substitutions nécessaires pour former les termes de D au moyen du terme principal peuvent porter indifféremment, soit sur les lettres a^b, ..., l, soit sur les indices o, 1, ..., (m — i), d'où Ton peut conclure celte proposition :

Un déterminant ne change pas de valeur lorsqu'on remplace les colonnes verticales par les lignes horizontales, de manière que le terme principal reste le même.

Le déterminant D est une fonction linéaire et homogène des m quantités

et si Ton pose

(4) D = Aoao + Ai^i +A,a, +.. . + A;„ia„t„

la formule ( a ) montre que A^ n'est autre chose que le déterminant

Ao =^\ it ^, c, . . . A^^^ /^„

ou

Ao =

^m-\ Cm-i

dans lequel le terme principal est i^ Ca... /m- 1» Si, dans la partie Ao«o du déterminant D, on transpose les indices o et I, on obtiendra les termes en a^ changés de signe,

coxiRS d'algèbre supérieurs.

mais les signes seront rétablis si Ton fait ensuite la transposition des indices o et m — i ; on a donc

et, en continuant ainsi , on voit facilement qu'on obtiendra, quel que soit /x,

Cm-l

Im-x

^pi^l ^Y^\

Il résulte de là que/sachant former le déterminant relatif à [m — i)^ quantités, on saura former également le déterminant qui se rapporte à m* quantités.

Comme la fonction P change de signe quand on transpose deux des lettres a, b, ..., ou deux des exposants o, I, 2, ..., il est évident que le second membre de la formule ( 1 ) changera également de signe si Ton transpose soit deux lettres, soit deux indices ; on a par conséquent cette proposition :

Un déterminant change de signe en conservant la même valeur absolue quand on échange entre elles soit deux lignes horizontales y soit deux colonnes verticales.

Et il en résulte cette conséquence :

Un déterminant s'és^anouit lorsque deux lignes horizontales ou deux colonnes verticales sont composées des

SEGTIOir H. — CHAPITRE IV. 535

mêmes termes, ou lorsque les termes de l'une sont proportionnels aux termes de l'autre»

Ainsi la formule (4) donnera

) o = AoCo + AiCi-f-. ..-4- A;„4C;„.i,

l o = Ao /o + Aj /, + . . .

239. Remarquons encore que les fonctions P et D deviendront identiques si Ton a, quel que soit fif

a^ = a«*, b^z=ib^y . . . , d'où il résulte que la fonction

X(c— «)(c— é) yc,[d-a){d—b){d-c)

:^{l^a)(l-b){l-c)...[l-i) est égale à Tun ou à l'autre des déterminants

D'ailleurs

, si Ton pose

on a

536 COURS d'algèbre supériettrb*

et l'on conclut de là

240. Résolution de m équations du premier degré ▲ m INCONNUES. — Les formules du n° 238 donnent immédiatement la résolution d'un système d'équations du premier degré entre un pareil nombre d'inconnues. Car soient les m équations

OqX -h b^y 4- CqZ -+- . . . -h /o " — Jo» a,x+ hijr-hciz -f- . . . H- /itt = Ji,

entre les m inconnues a:, j-, z, ..., w. Conservons les notations du n^ 238, et ajoutons les équations proposées, après les avoir multipliées respectivement par les facteurs

Aq, Al, Af, . . ., A^j;

on aura, par les formules (4) et (6) du n** 238,

Dar r= Ao Jo + Al Ji -h . . . -hA^^ J«-„ ou

en désignant parX ce quedevientle déterminant D quand on remplace la lettre a par s, en conservant l'indice. Si donc on représente par

les valeurs que prend D, quand on remplace par la lettre s chacune des lettres

rt, h, c, ...,/,

successivement, les valeurs des inconnues seront repré-

SECTION II, — CHAPITRE IV. BSj

sentées par les expressioDS suivantes :

dans lesquelles le dénominateur commun est précisément égal au déterminant D.

241 . II n'entre pas dans nos vues de présenter une étude complète des déterminants, et, pour ce qui regarde les détails de cette théorie, nous renverrons le lecteur au Mémoire de Jacobi publié dans le tome XXII du Journal de d'elle. Mémoire dans lequel l'illustre géomètre a présenté une exposition d'ensemble qui ne laisse rien à désirer. Nous nous bornerons ici à établir les propositions qui sont indispensables pour l'objet que nous nous proposons.

Il convient, dans ce qui va suivre, de faire une légère modification aux notations dont nous avons fait usage jusqu'à présent. Au lieu d'introduire plusieurs lettres affectées d'un indice, pour représenter les quantités données, je n'emploierai désormais qu'une seule lettre affectée de deux indices.

D'après cela, un système de m* quantités données sera représenté par

' . ] -^l,!' «1.1 ^m,ii

l'expression générale de ces quantités sera ainsi

chacun des indices i et y pouvant prendre les m valeurs I, 2 (/w — i), m,

538 covns d'algèbre supérieijrb.

et le déterminant sera

quant au terme principal, il sera toujours

et tous les autres s'en déduiront en conservant la série des premiers indices dans Tordre naturel, et en exécutant sur la série des seconds indices toutes les substitutions possibles. Chacun de ces termes sera d'ailleurs pris avec le signe H-ou avec le signe — , suivant que la substitution qui Ta fourni équivaut à un nombre pair ou à un nombre impair de transpositions.

Il est évident qu'au lieu de faire porter les substitutions sur les seconds indices, on peut, si on le juge à propos, les exécuter sur les premiers indices.