On doit remarquer que, si l'on a

pour toutes les valeurs de i inférieures à jf, le déterminant (a) se réduit à son terme principal. En effet, quelles que soient les quantités (i), on a (n^ 238)

dans notre hypothèse, les déterminants partiels de cette expression s'évanouissent tous, à l'exception du premier, car chacun des termes dont ils sont formés renferme un facteur égal à zéro. On a donc

^=ûl,l\±^î,J«8.3.-.«i

SECTION II. CHAPITHB IV. SSp

par le même raisonnemenV, on trouvera

et Ton a, par conséquent,

243. Soient D le déterminant de m^ quantités aij et D'ce qu*il devient quand on donne à chaque élément aij l'accroissement a/j; il est facile de trouver l'expression de D' ordonnée par rapport aux. accroissements a.

Le déterminant D étant une fonction linéaire et homogèiie des quand lés

si Ton donne à ces quantités les accroissements respectifs

(2) *l.li ««,1» • • •» «m.li

D deviendra

D -+- Di,

en désignant par D| ce que devient D quand on y remplace les quantités (i) par les quantités (2).

SI, dans cette dernière expression, on donne aux quantités

(3) «1.1» ^î.ïi "'y «m.l

les accroissements

et que l'on désigne par Da et D<,2 ce que deviennent D et D< par la substitution des quantités (4) aux quantités (3), on obtiendra pour résultat

D-+-(Di-hD,) + Di,,;

54o COURS d'algèbre SUPÉRIEURB.

en poursuivant cette série de substitutions, on parviendra à Texpression de D' qui sera évidemment

D' rrr D f Si -+- S, -<- . . . H- S;„;

dans cette formule S^^ désigne généralement la somme

j m(m — i). . .{m — |*-hi) i, • i» u

des — ^ '- —^ ' déterminants que ion ob-

tient, quand on remplace la lettre a par a dans jca lignes horizontales du déterminant D.

Nous pouvons tirer de ce résultat une conséquence qui nous sera utile. Si les quantités a/j sont telles que

soient proportionnelles à

pour toutes les valeurs des indices ^ et v, chacun des déterminants contenus dans les sommes S2, S3, ..., Sm s'évanouira; car, dans chacun d'eux, deux lignes horizontales seront formées de quantités proportionnelles. La formule précédente se réduira donc à

D'=:D-4-Si,

ou à

D' ~ D H- Dj 4- Dj -4- . . . 4- D;„,

D|, Da, . . . , Dm étant les valeurs que prend D quand on remplace a par a dans chacune des lignes horizontales successivement.

244. Nous compléterons ces notions sur les déterminants en démontrant un théorème qu'on doit regarder comme fondamental et auquel Binct et Cauchy sont parvenus Tun et Tautre, en généralisant des résultats obtenus précédemment par Lagrange et par Gauss.

Théorème. — Etant donnés deux systèmes de mn quantités, savoir :

posons

Ci.k = «1,1 ^uk + «1,1 ^«.* 4- ... H- «n./ ^».*»

et formons le déterminant de m^ quantités, sai^oir :

cui

Si m est supérieur à /i, on aura

Si m est égal à ti, et que Von désigne par A et B les déterminants formés avec les quantités [à) et [b) respectivement, on aura