C = AB

Enfin, si m est inférieur an, et que l'on désigne par A le déterminant formé en prenant m colonnes verticales du tableau (a), par B le déterminant formé avec les colonnes correspondantes du tableau (i), de manière que B se déduise de A par la transposition des lettres a et b, on aura

c^Vab,

lesigne\ embrassant autant de produits AB que Ton

peut former de combinaisons avec n choses prises m à m.

54a COURS d'algèbre supérieure.

En effet, si Ton représente, pour abréger, par

la valeur dec,-,*, le terme principal du déterminant C

sera

chacun des m nombres X, (ut, y, ... devant recevoir les valeurs i, 2, . . ., 7i; on peut écrire aussi

Cela posé, pour avoir le déterminant C, il faut ajouter à ce terme principal, avec un signe convenable, tous ceux qu'on en déduit quand on échange entre eux, de toutes les manières possibles, les seconds indices des lettres c, en laissant invariables les premiers indices. D'ailleurs, par ces substitutions, les deux indices de chaque lettre a restent invariables dans l'expression de c/,;^, et les seconds des indices des lettres b changent seuls. On a donc, par la formule précédente,

C = y ( <^^i ^i*.« «v,î . . . y^ ±: h.i V« ^v,5 . . . j » ou

c = \ iJl)«x,i û|*.j ^.j • • • »

en posant

Dans cette dernière formule les m indices X, ^ut, v, ... sont invariables, et comme chacun d'eux doit avoir l'une des n valeurs i, 2, ..., n, on voit que, si m est supérieur à 71, deux au moins des indices X, ^, v, ... seront égaux

SCCTION II. CHAPITHE IV. 543

entre eux ; il y aura donc deux colonnes verticales identiques dans le déterminant ifb et Ton aura lib = o, d*où

Si Ton a m = n, le déterminant itb sera encore nul, à moins qu'on ne prenne pour la suite

celle des m nombres

dans ce cas, soit s le nombre des transpositions qu'il faut effectuer dans cette dernière suite pour la faire coïncider avec la précédente, on aura évidemment

tJÎ,:=: — i)*B, et, par suite,

C = bV ( — I )*ax,i ûp,,, ûv,5

Or il est évident que la somme contenue dans le second membre de cette formule est égal au déterminant A des quantités [a); donc