AB

On a donc

Cr^VAB,

le signe \ embrassant tous les produits AB qui répondent aux — '-^ systèmes de valeurs que

Ton peut attribuer aux indices X, |ui, v, ....

Remarque. — Si, au lieu de définir les quantités c/^j^ comme nous Tavons fait, on pose

le déterminant des li^ quantités Ci^k est égal à zéro quand m est inférieur à n. Lorsqu'on a /w = /i, ce déterminant est égal au produit des déterminants formés, l'un avec les quantités a, l'autre avec les quantités b. Enfin, lorsque m est > rij le déterminant des quantités c/,^ est égal à la somme des produits obtenus en multipliant le déterminant formé avec n lignes horizontales quelconques du tableau (a) par celui qui est composé des lignes correspondantes du tableau [b).

Effectivement, on fera rentrer cet énoncé dans celui du théorème que nous venons d'établir, si l'on dispose les tableaux (a) et (&) de manière que les lignes horizontales deviennent les colonnes verticales, et qu'on change les lettres m et /z l'une dans l'autre.

Corollaire. — Soient mn quantités ai^x» l'indice i

"variant de i à n et l' indice k de i à m. 6i l'on a m<Cou := n et que Von fasse

le déterminant des quanlités c sera égal à la somme dtfs carrés de tous les .déterminants que l'on peut former avec m^ quantités a composant m colonnes ^verticales du tableau formé auec les quantités a, c'est-à-dire que l'a:? aura

le signe S se rapportant à toutes les combinaisons r\ /■", . . . , /-t^J des nombres 1,2, . . . , n, pris m à m.

Pour démontrer ce corollaire, il suffit de remarquer que les déterminants représentés par A et B dans le théorème précédent deviennent ici égaux entre eux.

245. Le théorème que nous venons d'établir conduit à de nombreuses conséquences dont on verra le développement dans ce qui va suivre. Mais nous ne pouvons nous dispenser ici de remarquer qu'on en déduit immédiatement ce théorème d'Euler.

Théorème. — Le produit de deux sommes de quatre ccu^rés est lui-même la somme de quatre carrés.

On a, en effet, d'après le théorème du n° 244, («1,1 «i.î — ^i.i «i.i ) ( ^u\ ^»*î — ^M ^î.l )

— («i.i ^j,i -f'^a.i ^\a] («i,j ^1.1 ■+■ «j.t *«.i)» Cette égalité ayant lieu identiquement, soient a, b, c, d, p, q. r, s S. — Âlg' sup,, 1. 35

huit quantités quelconques et posons

ai,i=-h a -^ b ^ — I, h^,x^=i-\- p ^q sj — i, «,,, = -ha — b ^— I, ftj,2 =4-/?— <7 y-"'» «1,1 = 4- c ^d^—î, ^1,, =-f-r4- v V ""■'♦

notre identité deviendra

(aî-h /^»4- c«-H ^) (y:>*-+- 9»4- /^4- J*)

=:{ap — bq -^^ rr — ds)* -f- (a^ -h bp — es — dr]^ -+- ( «r — bs — cp -\- dqY -\- [as -h br -h cq -h dp)' ,

ce qui démontre le théorème énoncé.

1 1 convient die remarquer que régalité précédente peut être écrite de plusieurs manières différentes, car on a le droit de changer de signe de Tune quelconque des huit quantités a, i, c, d, p, ^, /*, s.

Des fonctions entières et homogènes du deuxième degré.

246. Nous avons fait connaître au n** 192 une propriété importante des fonctions homogènes du deuxième degré ; cette propriété et les notions que nous venons de présenter forment la base sur laquelle repose l'analyse que nous nous proposons de développer ici. On reconnaîtra toute l'importance de cette analyse, en étudiant les conséquences que Ton en tire pour la théorie des équations

Soit y une fonction entière et homogène du deuxième degré des //* variables

Nous représenterons indifféremment par laij on ^aj^£ le coefficient du produit des deux variables distinctes

XijXj; quant au coefficient du carré de Tune des variables JCi, nous le désignerons par ai^£. D'après cette notation, l'expression de y sera

1=1» /=in

avec la condition

Ainsi, dans le cas de deux variable s , on aura

Désignons par m nouvelles variables, et posons

^i = «1,1 Xj -h a,,i X, -h ... -4- a;„., X,

(^i = «1,1 Xj -h a,,i X, , -"^î = «i.ï Xt •+- a,,j X,

les quantités a/j étant des constantes arbitraires. Si Ton substitue ces valeurs dans l'expression (i) de y, celle-ci se changera en une fonction F des nouvelles variables qu'on peut représenter par la formule

(3) F=:^ ^A,,jX,Xj;

les coefficients Aij sont des fonctions entières des coefficients aij de/ et des coefficients a/j; on a, en outre,

048 COLnS d' ALGÈBRE SUPÉRlJSUKÏ^

Le détermmaDl

sera dit le déterminant de la substitution linéaire. (5). Si ce déterminant n'est pas nul, on pourra résoudre les équations (2) par rapport aii\ variables X qui seront ainsi des foiictinns linéaires des variables x. Alors chacunc des formiiles (i) et (3) pourra se déduire de Taulrc pnr le moyen d'une substilutioû linéaire.

247, Nous avons démontré du n" 192 que la fonclionf peut être exprimée par une somme de carrés de fonctions linéaires» et que, dans le cas général, le nombic de ces carrés es^t égal au nombre ni des variables, (^ette déeom position de la fo ne lion y* en carrés peut se faire de plusieurs miiuières difTçrcntcs; cela résulte évidemment du procédé dont nous avons fait usage pour reflecluer et on le reconnaît immédiatement aussi, quand on emploie, pour le mémo objet, la niélliode des coefficients indéterminés. EfTeclivementj si Ton pose

que Ton effectue les opérations indiquées dans le second

membre, et qu'on égale entre eux de part et d'autre les coefficients des termes semblables, on formera seulement

— - ~^ '■ équations de condition, tandis que le nombre

des indéterminées Ax^^, est égal à m?.

Considérons Tun quelconque des systèmes de valeurs

des indéterminées A^,^ telles, que l'équation (i) ait lieu identiquement. Posons

Xj =Ai,,j:i -+-A,,iX, -h. . .-f-A,„,,.rj

= A,,toJ^,-4-A,,^x,-+-. . .-f-A;,

t^/nt

on aura

/=x;4-xî + ...-^xj..

Si le déterminant

■A^l.l -^1,1 • • • "^mA Ai,j Aj^j . . . Am,i

Al, m A].!!, . . . Affi,m

n'est pas nul, on pourra tirer des équations (a) des valeurs déterminées des variables x, savoir

[ ^1 = «1.1 X, -\- aj.i X, -h .

1 X, — a,,,X4 -f- a,,, Xj -T- .

\ .r^=ai,;„Xi-+-a2,,„X,-h. . .

et, en conséquence, la réduction de la fonction f à une somme de carrés pourra être réalisée par le moyen de la substitution linéaire (3); il importe d'examiner ce cas avec attention.

La dérivée - — de la fonction

par rapport à Xk est égale à la somme des dérivées de ses termes ; orladérivée de aijXiXj par rapport à x^v estnulle à moins que l'on n'ait i = k ou j = k; dans le premier

55o COURS d'algèbre supériedris.

cas, la dérivée est a^jX], elle est ai^k^i dans le second cas; enfin, si i=jz=kf cette dérivée est aa^^^XA ou ûA,A ^A-H ûA^A ^A> d'où il suit que Ton a

Si Ton multiplie par nx/t cette équation (4), qu'on donne ensuite à k les valeurs i, a, . . . , m, et qu'on ajoute tous les résultats, on obtiendra la formule

qui exprime, dans un cas particulier, une propriété des fonctions homogènes.

Comme on a aussi, par hypothèse,

il viendra, en prenant les dérivées des deux membres par rapport à ota et divisant par a,

■ UL = m 11=1

La comparaison des formules (4) et (6) donne

c'est-à-dire

^i.A = A/.i Ajfc,i -I- A^,, Aa,î 4- ... -h A/.;„ Aa.!»»

pour toutes les valeurs des indices i et h. Si donc on pose

on aura (n° 244, Remarque)

Il résulte de là que le déterminant de la substitution (2) ne peut être nul que dans le cas où Ton a A = o.

Ce déterminant A, formé avec les coeflicients des fonctions linéaires

1 ()/ i df i df

2 ÔX^ 2 dx^ 1 ÔT.^

joue un rôle considérable dans la théorie qui^ nous occupe. M . Sylvester lui a donné le nom àHns^ariani, qui est adopté aujourd'hui par les géomètres.

D'après cela, nous pouvons énoncer la proposition suivante :

Si V invariant d'une fonction homogène du deuxième degré n'est pas nul, toute réduction de la fonction à une somme de carrés pourra être obtenue parle moyen ' d'une substitution linéaire,

248. La dénomination d'invariant, donnée au déterminant A, se trouve justifiée par la proposition suivante:

Théorème. — Lorsque, dans une fonction entière et homogène du deuxième degré, on substitue aux m variables des fonctions linéaires de m noui^elles variables^ l'inv^ariant de la transformée est égal à Vini^ariant de la proposée, multiplié par le carré du déterminant de la

55a COURS D^LGÈBBK SUPÉItlEURE.

substitution ; en sorte que, si ce dernier déterminant est égal à I, l'inv^ariant n' est pas altéré par la substitution.

En effet, la fonction proposée y pouvant, dans tous les cas, être réduite à une somme de carrés, posons

et considérons la substitution définie par la formule

OÙ [t. doit recevoir toutes les valeurs i, 2, ..., /7i. Si l'on exécute cette substitution, ^ se changera en une fonction F, telle que

k-=tn

et l'on aura évidemment

pour toutes les valeurs de i et de A", ce qui montre que le déterminant des quantités C/,* est égal au déterminant de Ci^k multiplie par celui des a/^j^. Mais, si l'on nomme A rinvariant de y, ù! celui de F, et D le déterminant de la substitution (2), les déterminants des quantités C/^a, c/^* seront respectivement égaux {n°247) à yfù! 9 \Jùi\àonc on a v^Â'=Dv^Â; d'où

ce qui démontre la proposition énoncée*

SEGTIOKI U. CHAPITRE IV. 563

De la fonction adjointe.

249. C'est ici Toccasion de présenter la notion de la fonction adjointe que Gauss a le premier introduite dans l'Analyse.

Reprenons la fonction homogène du deuxième degré

OÙ l'on suppose Posons

ou

et rappelons que l'on a

Nous nous proposons de résoudre les équations (3) ou ( 4 ) par rapport aux variables x et de trouver la fonction F dans laquelle se change^, lorsqu'on y remplace les variables x par leurs valeurs en fonction des nouvelles variables X.

Si l'on résout les équations (4) par rapport aux variables Xf le dénominateur commun des expressions que

554 COURS d'algèbue supérieure.

l'on obtiendra sera précisément Tinvariant A de la fonction y*. Mais je supposerai que l'on calcule A sans faire les réductions auxquelles donnent lieu les équations de condition exprimées par la formule (2), et que Ton opère comme si les coeflicients aij étaient des indéterminées n'ayant entre elles aucune dépendance. On aura alors, pour l'inconnue xi, la valeur suivante :

ou

en représentant par

la dérivée partielle de A prise, par rapport à ay^ô dans rhypothèse où les quantités a sont indépendantes.

La fonction cherchée F est égale à la valeur que prend le second membre de la formule (5) quand on substitue aux variables x les valeurs tirées de la formule (6); on a donc

Il est permis, à cause des relations (2), de transposer les deux indices de chaque lettre a dans les équations (4) y et, en faisant cette transposition, on aura, au lieu de la formule (6),

''=îî(^,)''^-

La comparaison de cette valeur de Xi avec celle déjà trouvée montre que Ton a

en vertu des relations (6); alors la formule (7) donne

;=> et, en conséquence, les formules (6) se réduisent à , . I dF

(9) "=i-diL;

Désignons maintenant par -r — la dérivée de A prise

par rapport à a/^y, en ayant égard aux relations (2). On aura, à cause de la formule (8), si i et jf sont inégaux.

et, siy = i,

J \àai,jl \àaj,ij \dajjj

•Il

la formule (7) peut alors être écrite de la manière suivante :

ou

l AF = ^ XÎ4-T— XJ-i-...-!-;^ X»,

IdA àùL âà -h;r-— XjX, -f- ,- — XjXa-f-. . . -f-T- X;„iX„

556 COURS d'algèbre supérieuke.

Le produit AF de la fonction F par Tinvariant A est ce que Gauss a nommé Injonction adjointe de la fonction/.

Soit ù! rinvariant de F ; comme la fonction f se déduit de F, en exécutant dans celle-ci la substitution (3), dont le déterminant est A, on a (n** 248) A = A' A*, et, par conséqnonL

il résulte de là que Tinvariant de la fonction adjointe AF est égal à A"»~*.

250. Pour trouver la fonction F, on peut suivre une autre marche que nous devons indiquer, parce qu'elle nous conduira à une conséquence importante. Il est évident qu'on atteindra le but proposé, en éliminant les m variables x entre les m équations (4), savoir :

ÔJCj'

ou

et l'équation

XîXj

Pour faire cette élimination, multiplions les équations (4) pstr l'équation (12), nous obtiendrons m équations qui se déduiront de la suivante :

izzzm

en donnant à 7 les valeurs i , 2, . . . , /w. Les m équations (i3) sont homogènes par rapport aux variables x;

SECTION II. CHAPITRE IV. 5 S'y

donc, pour éliminer ces variables, il suffit d*égaler à zéro le déterminant des m^ quantités

(l4) Fû,-,y-X,Xy.

Ce déterminant peut se conclure très-facilement de celui des quantités Fa/j, lequel est égal à F'" A. En effet, Tindice / étant le même pour tous les termes d'une même ligne horizontale, il est évident que deux lignes quelconques du déterminant X/Xy sont formées de quantités proportionnelles; dès lors, d*aprèsce qui a été établi au n** 243, le déterminant des quantités (i4) s'obtiendra en retranchant du déterminant des quantités Fa/^y chacun de ceux qu'on en déduit quand on y remplace successivement chaque ligne horizontale par la ligne horizontale correspondante du déterminant des quantités X/Xy. Or, en conservant les notations dont nous avons déjà fait

usage, on a

^'"'=^"'{-Ly-^-^-

et si l'on remplace

F^i.yi F«2.y» •

••. Fa„.,

par

XiXy,, XjXy, .

• • 1 X„ Xy,

on obtiendra pour résultat

donc, pour avoir le déterminant des quantités (i4)) il sullit de faire la somme des valeurs que prend l'expression (i5) quand on donne à j les valeurs i, 2, ..., m, et de retrancher ensuite celle somme de F'" A. Si enfin on égale à zéro la différence obtenue el qu'on supprime le facteur F'""^ on aura une équation qui donnera prccisé-

558 COUR5 d'algèbre supérieure.

ment pour F la valeur (7) trouvée plus haut et de laquelle nous avons conclu Texpression définitive (10).

251. Voici maintenant la conséquence que l'on tire de la méthode précédente. Si Ton pose

les équations (i3) seront évidemment

d*où il résulte que le déterminant des quantités ( i4) n'est autre chose que Tinvariant (D de f considérée comme fonction des variables Xt, Xa, ..., Xm^ Cela étant, considérons la substitution quelconque

dont nous désignerons le déterminant par d. Par cette substitution, /"se changera en une fonction y ^®^ que nous représenterons par

1=1 j=i et si Ton pose, en outre,

^1 = «1,1 Xj -+- a,,, X, + ... 4- ai,», X^, / jg\ ; X» = «1.1 X| + a,., X, + . . . -i- aj,;„ X^„,

^m = «m,lXi -h a;,i,,X, -h . . .-+-«„,,„, X,„,

la fonction (f se changera en une fonction (^^^^ ayant pour valeur

et dont rinvariant sera égal à Q$^. L'équation

qui peut servir pour calculer F, s'obtiendra donc en égalant à zéro Tinvariant de 9 ou de (f^^^ à volonté.

£n employant successivement ces deuxinvariantS; on conclura deux valeurs de F qui devront être identiques, et il en résulte ce théorème :

La fonction F reste invariable y quand on y remplace les coefficients aij par af\y poun^u qu'au lieu des variables Xj^ on mette en même temps

«ji^i Xi H- aji,i X, -h ... H- a^,;„ X,„.

Supposons que la substitution (16) soit choisie de manière à réduire y^ à une somme de carrés; Téquation (17) prendra la forme

(,9) /(«)=«,xr + .,x;^^* + ...-h«,„.r';:;>;

il est évident que l'invariant dey^**^ est égal au produit fi ^a. . . e^ et Ton a (n*» 247)

{10) «i«î... e„==AJS

ce qui montre que, si rinvariant A est différent de zéro, ainsi que le déterminant de la substitution (16), aucune des quantités e ne pourra être nulle. On tire de l'équation (19)

5tio COURS d'algèbre supérieure.

et en substi tuant, dans la même équation (19), les valeurs de xf\ xjf', ..., tirées de ces formules, il vient

F(o) ,= i xî'^' + i X^^^' -h ... -f- - X^»^^

Cela étant, pour avoir la fonction F, il suffît, d'après ce qui précède, de substituer à X^*', Xj,•^ ..., dans la formule précédente, les valeurs tirées des équations (18). On aura donc, en se servant de la formule (20) et en conservant les variables X^'^^ qui sont des fonctions linéaires des variables X,

-~ ^-...4-•ltJ...t„-,| -^J •

Supposons maintenant que Finvariant A soit nul; d'après la formule (20), Tune au moins des quantités e sera nulle, et par conséquent tous les termes du second membre de la formule (21) disparaîtront à l'exception d'un seul. Ob peut conclure de là cette proposition :

Théorème. — Si l' invariant ^ d' une Jonction homogène du deuxième degré est nul, la fonction adjointe AF est un carré parfait,

252. Exemples. — Considérons en premier lieu la fonction homogène

/= A*» 4- 2 Bar/ -h C/* des deux variables x et y. On aura

et

/=X.r-i-Tr;

l'invariant ù a ici pour valeur