AY - BX
en substituant ces valeurs dans l'expression de /, on obtient la fonction adjointe AF, savoir :
aF = ex* - 2BXY -+- AT».
On vérifie immédiatement, dans ce cas simple, la proposition démontrée à la fin du numéro précédent ; car, si A= o, la fonction proposée y et la fonction adjointe AF sont évidemment des carrés parfaits.
Considérons en deuxième lieu la fonction homogène
/= Ax« -h k'x* -H A" s* 4- 2Bjz + 2B'xz -f- 2B"xr des trois variables Xy y, z. On a ici
l^z=zAx H- BV -+- B'z = X,
1 ^ = B'^x -+- A'r -f- Bz = Y, L^=:B'x -hBr 4-A''2=3Z,
el
/=XxH-Yj--i-Zz.
L^invariant A a pour valeur
ou
A = AA' A^ -*- 2BB'B'' - AB» — A' B'* - A'^B"», S. — ^ig' sup., I. 36
562 couns d'algèbrk supériedrc.
et Ton a
x=-[(A'A"-B*)X4-(BB'-'A^B^)Yh-(BB" — A'B')Z], r r=i[(BB'-A''B'')X + (AA*'-B'*)Y-f (B'B"-AB)Z], 5=r:l[(BB''-A'B')X-f-(B'B''-AB)Y-+-(AA'-B^«)Z].
La substitution de ces valeurs dans l'expression dey donne la fonction adjointe AF, savoir :
AF = (A'A"~B»)X»+(AA* — B'*)Y*-4-(AA'-B'^»)Z* -h 2 (B'B" - AB) YZ -f- 2(BB''- A'B' )XZ 4-2(BB' — A'^B'^jXY.
Posons
A'A"- B*:=a, AA''- B'*= a', AA' - B''^z=cc% on aura
(B'B''-AB)* =:a'a"-AA,
(BB" — A'B' y = aa" — A' A.
(BB' -A''B")* = aa' ~ A'^A,
et quand l'invariant A est nul, ces formules se réduisent à
