B'B"-AB —>J7\I
BB'' -A'B' =v^v^^,
BB' - A^B''^ v^â V?;
donc la fonction adjointe ùF se réduit, dans la même hypothèse, au carré de la fonction linéaire
X V a -+- Y ^? -4- Z sjV\
liemarque sur la réduction à une somme de carrés.
253. Nous terminerons ces considérations générales par une remarque importante relative à la réduction d'une
fonction entière et homogène du deuxième degré à une somme de carrés.
Soit
une fonction entière et homogène du deuxième degré des m variables
^11 *S» • • • I ^mj
dans laquelle les coefGcients ont des valeurs indéterminées. En appliquant ici le procédé indiqué au n^ i9% on pourra exprimer la fonction^ par une somme de carrés, de la manière suivante :
/ = «1 (-^1 ■+- «t,! ^t + «8,1 ara + ... 4- a^A ^m)* ■+- «a (:r, -f- a,,,X, -h . . . + dm.i^m)*
en sorte que la fonction
F = fiXî-f.f,xî+...-f.«^x;;,
se changera en y*, par la substitution
Xi = x^ 4- a,,i X, H- . . . -f- cCmA -^m^ Xj = JTj -f- aj,,a:8 4- ... -h ctm.f^m^ • •••, ....,
dont le déterminant est égal à i. Les fonctions Fet^ont dès lors le même invariant; or l'invariant de F est évidemment Cl €2* • • ^m- si donc on désigne par ùm celui dey*, on aura
Si Ton pose
564 covRS d'algèbre supérieure.
f se réduira à une fonction des m — i variables
et nous désignerons par ^m-i Tinvariant de cette fonction. Il est évident, par ce qui précède, que Ton aura
^m—i = tj g j . . . €„^ ;
nous admettrons que cette formule subsiste pour i= m — I , ce qui revient à poser
A| := fj.
On aura, d'après cela,
d'où l'on tire
«i = Al» ««=^7-' «3= --5- -M «m— T •
il résulte de là que la fonction y* peut être représentée par la formule
X|, X2, ..., Xm étant des fonctions linéaires des variables Xj, X2, ..., Xm- M. Hermite a tiré de cette formule, comme on le verra plus loin, des conséquences de la plus haute importance.
Nous avons supposé que les coefficients de la fonction J^ étaient des constantes indéterminées ; mais il est évident que tous les résultats qui précèdent subsisteront quand on donnera à ces coefficients des valeurs particulières quelconques, pourvu cependant qu'aucun des invariants
Al, A„ ..., A„
ne se réduise à zéro.
Théorème relatif aux fonctions entières et homogènes du deuxième degré à coefficients réels.
234. Dans Tétude que nous venons défaire, nous n'avons fait aucune hypothèse sur la nature des coefficients des fonctions que nous avons considérées. Nous supposerons ici que ces coefficients soient des quantités réelles ; alors, en appliquant le procédé du n® 192 à une fonction entière et homogène du deuxième degré, f pour la réduire à une somme de carrés de fonctions linéaires, il pourra arriver que quelques-unes de celles-ci contiennent le facteur^ — i. En d'autres termes, la fonction /* sera exprimée par une somme de carrés de fonctions linéaires réelles, multipliés par certains coefficients positifs ou négatifs.
On peut dire, avec M. Hermite, que deux fonctions entières et homogènes du deuxième degré sont de même espèce, lorsque, ces fonctions étant exprimées par des sommes de carrés, le nombre de ces carrés dont le coefficient a un signe donné, est le même dans l'une et dan« Vautre fonction.
Cela posé, nous présenterons ici une proposition fort importante avec la démonstration qu'en a donnée M. Hermite.
Théorème. — De quelque manière qu'on transforme un polynôme homogène du deuxième degré à coefficients réels et dont l'inuariant nest pas nuly en une somme de carrés de fonctions linéaires réelles, ces carrés étant affectés de coefficients numériques également réels, le nombre de ces coefficients qui auront un signe donné sera toujours le même.
Soit
une fonction entière et homogène du deuxième degré des m variables
et dont l'invariant A ne soit pas nul. Dans cette liypothèse, toute réduction de y* à une somme de carrés pourra, comme on sait, être réalisée par le moyen d'une substitution linéaire et réelle dont le déterminant n'est pas nul. Supposons donc que, par la substitution réelle,
on obtienne
|ji = in
B^ étant un coefficient réel positif ou négatif; et qu'une autre substitution réelle.
(3) tt^=\Ax,piXx donne
E^ étant encore un coefficient réel. Il s'agit de prouver que dans les deux suites
Ej, Ej, . . . , E,;i,
il y a un même nombre de termes ayant un signe donné. Supposons négatives les quantités ei, e^y ...> e/ et po-
sitives les suivantes e/^.! . . . . > Cm ; supposons aussi que E|, E2, . . . , Ea soient négatives et que E^^.^ . . . , E^ soient positives; dans le cas où toutes les quantités e ou E sont positives, on aura i = o ouÂr= o. Nous allons démontrer qu'il est impossible que les nombres i et k soient inégaux; par exemple, qu'on ne peut pas avoir A^-i. Admettons effectivement cette hypothèse dek'^i et examinons les conséquences qui vont en résulter. On a l'identité
(5) ^.,x;=.Je,xî,
les variables x étant liées aux variables X par m équations qui se déduisent de la suivante :
lis: m X=m
(6) \ rt^,^.r^=: \ Ax,^Xx,
en donnant à /ijiles valeurs i, a, ..., m. Le déterminant de la substitution (1) n'étant pas nul, il est évident que les équations (6) pourront être résolues par rapport aux variables x, et la même chose aura lieu encore si l'on écrit partout
au lieu de x^ et X^, d:e^ et ±E^ désignant les valeurs absolues de î^ et de E^^. Alors l'équation (5) devient
( =-[xî+xî+...+xijH-[xi^.+xî,..+...+x;;.],
et cette équation (7) doit se réduire à une identité, parle
568 cotJiis d'algèbre supériextue.
moyen d'une substitution linéaire telle que
Xrrm
(8) jr^=r \ ax,^Xi.
Cela posé, soit cp un angle indéterminé; la formule (7) ne changera pas si l'on remplace Xj et Xa respectivement par
Xicosy -1- X, siny, Xtsin^ — X^cos^,
lorsque le nombre k sera supérieur à i . Mais alors l'indéterminée ^s'introduit dansles équations (8), et l'on peut 'en disposer pour faire disparaître X{ deTexpression jti. On a effectivement
X\=^ (aj,iCos^-f-a,,isin^)Xi ■+- (aj^isinç — «t,iCosy)Xj-f-. . .,
et, pour remplir l'objet demandé, il suffira de déterminer (f par la relation
ai,iCOSy + aj,isin ç=r o.
Ainsi, par un changement de notation qui ne change ni l'équation (7) ni la forme delà substitution (8), on peut faire disparaître X| del'expressiono:! ; en d'autres termes, on peut supposer
Pareillement, lorsque /r est > 2, l'équation (7) ne change pas, si l'on remplace Xa et X3 respectivement par
XsCOSf -h X, sin<p, Xj sin^ — Xjcosf ,
et Ton peut disposer de la nouvelle indéterminée o pour faire disparaître Xa de l'expression de x< . Il suffira, en effet, de déterminer cet angle ç par la formule
et il est évident qu'on peut continuer la même série d'opérations sans changer l'équation (7), ni la forme réelle delà substitution (8 )y jusqu'à ce qu'on ait fait successivement disparaître les variables
de l'expression de x^ .
Cela étant établi, on voit que, par une série d'opérations toutes semblables, on pourra faire disparaître les variables
de l'expression de X2' Comme nous nous arrêtons ici à X-A^a et que la dernière opération consiste à remplacer Xa 2 et Xa j respectivement par
Xx 2 cosç 4- Xjt i sinç, Xjt— , sin^ — X;t-i ces y,
on ne verra reparaître dans x^ aucune des variables que l'on a d'abord fait disparaître de soji expression.
On peut opérer de la même manière à l'égard des variables X3, x^, . . . , xa.i ; l'expression de Xz ne contiendra plus les variables X 0X2, ..., Xa 3, la dernière variable x/t^i ne renfermera plus Xj . Ainsi l'on aura
iai,i =0, «4,1 =0, ..., aA^i,t=0, ai,*-i= o.
Le nombre A étant supérieur à i, si l'on substitue les valeurs (8) des variables x dans l'équation (7), et qu'on égale de part et d'autre les coefficients de X*, on aura
et cette équation ne peut être évidemment satisfaite par des valeurs réelles des quantités a. On ne peut donc ad-
mettre Tinégalité des nombres i et Ar, ce qui démontre la proposition énoncée.
Théorème de M. Syl\>ester relatif aux fonctions aux^ quelles conduit l'application du théorème deSturm.
255. Le théorème dont il s'agit ici a pour objet de faire connaître l'expression algébrique des fonctions qui interviennent dans l'application du théorème de Sturm à une équation donnée. M. Sylvester l'a publié sans démonstration dans le Philosophical Magazine (décembre 1839); et Sturm l'a établi ensuite dans un article qui fait partie du tome VII du Journal de Mathématiques pures et appliquées. Nous présenterons la démonstration de Sturm en y apportant quelques simplifications dont l'illustre géomètre a d'ailleurs indiqué la principale en terminant son Mémoire.
Le théorème de M. Sylvester peut être énoncé comme il suit :
Théorème. — Soit V= o une équation quelconque du degré m à une inconnue x, dans laquelle, pour plus de simplicité, le coefficient dex^ sera pris égal à l'unité^ et dont les racines supposées inégales seront désignées par afbfC,,,.,k,l, Soit V< la dérii^ée de V. Concevons qu'on cherche j par le procédé ordinaire, le plus grand commun diviseur de V e^ Vj , en ayant soin de n'introduire et de ne supprimer aucun facteur indépendant de x, et en changeant toujours les signes des restes ayant- de les prendre pour di\^iseurs. Désignons par V2, V», ..., V« ces restes pris a\^ec des signes contraires dont les degrés, par rapporta x^ sont respectivement m — 2, m — i, ... lyOf dans le cas général. Les polynômes
V, Vi, Vj, . . ., V,u
s^ exprimeront en fonction dexet des racines a,b,Cf ,.,^ ky l de V équation Y = Oy de la manière suivante :
V„= ^ {a-by{a-c]r ..(«-/)» (b-c)*. . .(*-/)'.
les quantités X2, ^3, ..., X^ eYa/tt déterminées par les formules
--ês)'
Pi
;,. = ^ (a-é)«(a-c)'(a-rf)'(6-c)«{*-rf)'(c- J)»,
p„={a-b]*{a-cY. ..{a-l]*[b-cj*. . .[i-l)\
Sya GOTTus d'algèbre supérieurs.
et chaque somme \ représentant une fonction symétrique des racines dont tous les termes se déduisent^ par les substitutions, de celui qui est écrit sous le signe.
La première des formules (i) exprime la composition de Téquation proposée, et la deuxième a lieu par un théorème connu. Il reste à établir les suivantes.
Soient
les quotients que fournit la recherche du plus grand commun diviseur; ces quotients seront du premier degré en Xf dans le cas général, et Ton aura
Au moyen de ces formules, on peut exprimer successivement
en fonction des polynômes V, V< et des quotients Q; on trouve ainsi
.5. ; V3 = Vi(Q,Q,-i)-VQ„
et il est évident que Ton aura généralement
(6) V^=ViS^-VT^,
Sp, etT^ éUnt des polynômes des degrés fx — i et f*— 2 respectivement.
Si Ton écrit y (x) au lieu de V, /'(x) au lieu de Vo la relation (6) prendra la forme
(7) Z? = /'(.)-IVH;
il résulte de là que^ si Ton donne successivement à x
les m valeurs
la fraction rationnelle
prendra les m valeurs correspondantes
/'{«)./'(*)./'(«) /'(Oî
d^ailleurs les degrés des polynômes V^, S^ sont respectivement m — /^, fx — I et la somme de ces degrés est m — I. On pourra donc déterminer la fonction ( 8 ) par la méthode qui a été exposée au n^ 232.
Supposons que h occupe le ^**"* rang dans la suite des m racines
d'après la formule générale du n°232, les polynômes Vj^ et Sj^ seront égaux respectivement, à un facteur constant près, savoir : le premier, V^, à la fonction symétrique des racines (9), dont l'un des termes a pour valeur
et le second, S^y à la fonction symétrique des mêmes racines dont l'un des termes est
5^4 couKS d'algèbue supérieure.
Or on a
/'{h]=[{h-a)...{h-g)][(h-i)...{A-l}], et il résulte de ces formules que les produits
/'(a)/'(6).../(A). f'(a)r{b)...f{g] ont respectivement pour valeurs
(,) ' [{a-bY(a-c)K..{g-AY][{a-i)...{a-l]]...[{h-i]...{h-r,
alors on aura^ en désignant par \ un facteur indépendant de X,
il est évident (n<' 232) que, dans le cas de(* = m, ces formules doivent être réduites à
il faut remarquer aussi que, pourfi= i, les formules (lo) se réduisent à
et que l'on doit faire en conséquence X| =i.
SECTION II. CHAPITRE IV. 5yS
On voît, par la première des formules (lo), qu'il ne nous reste plus qu'à déterminer la constante X^,. A cet effet, substituons, dans Tégalité
les valeurs de V^ et de V^«< tirées de la formule (6) et de celle qu'on en déduit par le changement de (x enjùi — i , on aura
d'où il suit que l'on a, par la notation convenue, {i4) Sn+| = S^Qy,— S^,.
Les formules (i3) et (i4) donnent
d'où, par la multiplication,
et l'on conclut de là, pour x = qo ,
Ainsi les fonctions
S^^iV,fc S.^Vpi i SjVi
SjiVji t Sji,tV^j SiV
se réduisent à l'unité pour a: = oo , et il en. sera de même du produit de ces fonctions ; en sorte que l'on aura
Hm%îjî = i (pourar = oo).
Or le terme du degré le plus élevé en x dans le pro- ^ duit S^, V^ a pour coefficle/it
ou
Pi
en adoptant les notations exprimées par les formules (3); on a d'ailleurs S| =1, d'après les formules {12), et le coefficient de x^ dans V est égal à \ . L'expression précédente se réduit donc à l'unité, et l'on a
il est évident que, dans le cas de |ut = i , le second membre de cette formule doit être remplacé parm^, ce qui est conforme aux formules ( 3 ) . On a donc
d'où l'on conclut immédiatement les formules (2), ce qui achève la démonstration dé théorème énoncé.
Il faut remarquer que là quantité pm ne figure pas dans notre analyse, mais nous introduirons cette quantité dans ce qui va suivre, et c'est pourquoi nous l'avons comprise dans le tableau (3).
256. Nous allons faire connaître maintenant une conséquence importante du théorème de M. Sylvester.
Les quantités /^i, p^^ pzy ••., sont des fonctions symétriques et entières des racines de l'équation V = o, et en conséquence elles sont exprimables rationnellement par les coefficients de V. Si donc ces coefficients sont réels, Pi y Pif Pi, ... seront aussi des quantités réelles; dès lors les facteurs X2, ^3, ... X,« seront des nombres essen-
SECTI05 II. CHÀPITIIE IV. 5jy
tiellement positifs, et l'on pourra les supprimer des formules (i) lorsqu'il sera question d'employer les fonctions V, V<, Va, ..., pour la recherche du nombre des racines réelles de l'équation V = o qui sont comprises entre deux limites données.
Cela posé, si N désigne le nombre des racines réelles de l'équation V=o, N sera égal, d'après le théorème de Sturm, à l'excès du nombre ^o des variations que présente la suite V, Vo V2, ...> pour x = — 00, sur le nombre i^t des variations que présente la môme suite pour a: = + QO , et il est évident que i^o et r< expriment aussi les nombres de variations contenues respectivement dans les deux suites
ï» Pu Pî» •••. Pm*
La somme r© •+- J^i est évidemment égale à m ; on a, par conséquent,
d'où
2i^i est donc le nombre des racines imaginaires de l'équation proposée, et de là résulte ce théorème :
Le nombre des couplas de racines imaginaires de l'équation Y = 0 est égal au nombre des variations de signes que présente la suite des quantités
I> Pu P\y • • '1 Pm*
2o7. Dans un Mémoire qui fait partie du tome XII du Journal de Mathématiques pures et appliquées, Borcliardt a donné au précédent théorème une forme très élégante que nous indiquerons ici.
S. — Alg. sup,y I. 37
On a
Pi^
CODBS d'algèbre SUPiaiEUKB.
^.'^[a-bY[a-cY...{g-h)\
le nombre des racines a, i, c, ..., g', A, qui figurent dans chaque terme étant égalàju; on a vu d'ailleurs (n^239) que le produit
±[a-b)[a-c)...[s-h) est égal au déterminant formé avec les /x^ quantités
^Jl-l ^î*-l ^-1
donc p^ est la somme des carrés de tous les déterminants que Ton peut former ep prenant [x colonnes verticales du tableau
«!*-» ^J*-l ci*—!
qui renferme mjut quantités. Alors, si Ton pose
on aura (n°244)
/^i* = X ~ "'^ •* *•'* • * • ^^'^' Or «i^^f n'est autre chose que la somme des puissances de
degré X 4- p — 2 des racines de réquation V = o, et nous ferons en conséquence
•^ii+f-i;
on voit que p^ peut être représenté par un déterminant de ^* quantités, savoir :
Sx .
• 'Wi
La proposition que nous avons obtenue au numéro précédent peut alors être énoncée comme il suit :
Théorème. — Soit proposée une équation V=o du degré m. Des coefficients de cette équation déduisons les sommes des puissances semblables de ses racines, jus ru à r ordre 2m — 2 inclusii^ement, et auec ces sommes, que nous désignerons par SQy Siy S2y ..., ^2, ..., 52m-2^ formons les quantités /?j, p2, "-, pm ^^ posant
Si Jj
Pz
So
Si
Si
Si
St
Sz
Sq Si Si Si s 2 s^
Sfn^i S„t
SnfU
58o COURS d'algèbre supéribure.
V équation V=o aura autant de couples de racines imaginaires qu'il y aura de variations de signes dans la suite
Corollaire I. — llj- a au plus — variations dans
la suite i, po pzy ..^pm-
Corollaire II. — Pour que l'équation V=o ait toutes ses racines réelles, il faut et il suffit que les quantités
Pi. Pz^ " ", Pm
soient toutes positives.
^application du théorème de Sturm à une classe remar^ quable d'équations algébriques.
