XX

C'est la série dans laquelle u se développe, quand on se borne aux deux premiers termes ; - est le reste correspondant.

On peut déterminer la linjiite du produit ^x de la même manière que celle du produit tx. Si, en effet, on porte dans l'équation (7) la valeur de 6, tirée de (10), qu'on multiplie ensuite par x, et qu'on ait égard à l'é-

SECTION II, — CHAPITHE V. 6i3

quation (8), il vient

en désignant par Eune somme de termes qui s'annulent avec -; faisant donc x = oo , et désignant par en" la limite de e'x, on a

équation qui détermine la valeur de a". '

Connaissant la limite a" du produit e'o:, on pourra poser

d'où

tiZ) ,'=! + ',

JT. a:

t" étant une nouvelle quantité qui s'évanouit avec - • D'après cela, la valeur de (11) de u devient

c^est la série qui exprime la valeur de u quand on se borne aux trois premiers termes ; — est le reste correspondant.

On pourra obtenir ainsi autant de termes que Ton voudra du développement de m, et, comme^ = Mar, on aura, par suite, autant de termes que Ton voudra du développement de^; on a, en particulier,

/ y 7Z.1 OLiK -^ f JT,

y - z CLX -\- cl' -\- i\

6l4 COURS D'ALGiBRB SUPÉRIEURB.

La deuxième de ces trois formules comprend toute la théorie des asymptotes rectilignes ; la courbe représentée par Téquation (i), où x et j^ désignent alors des coordonnées rectilignes, a pour asymptote réelle ou imaginaire la droite représentée par Téquation

(16) ^'=ra.r-i-a.

La diCFérence e' qui existe entre les coordonnées de la courbe et de Tasymptote est généralement un infiniment

petit du premier ordre ^ en considérant - lui-même

comme un infiniment petit du premier ordre.

La courbe représentée par Téquation (i) admet aussi pour asymptote Thyperbole que représente l'équation

mais dans ce cas la diflercnce - desordonnées des deux

courbes est un infiniment petit du deuxième ordre au moins. La courbe (17) pourrait être appelée asymptote du deuxième ordre de la courbe proposée ; et, comme on peut pousser aussi loin que Ton veut le développement dey en série ordonnée suivant les puissances décroissantes de X, il en résulte une infinité de courbes des degrés respectifs 3, 4» • • • » et qui auront, avec la courbe proposée, un asymptotisme de plus en plus intime.

On voit aisément, sans qu'il soit nécessaire d'insister sur ce sujet, comment il faudrait modifier la méthode, si Téquation

avait des racines égales, contrairement à Thypothèse que nous avons faite.

SECTION II. — CHAPITRE ¥• 6l5

Formation de l'équation finale qui résulte de l'éUmi" nation d 'une inconnue entre deux équations à deux inconnues. Nouvelle démonstration du théorème de BézouU Somme des racines de V équation finale.

269. La méthode que nous venons d'exposer permet de former autant de termes que Ton veut de Téquation finale qui résulte de Télimination d'une inconnue entre deux équations. Soient les deux équations générales

des degrés m et n respectivement; en réunissant les termes de même degré, on pourra les écrire de la manière suivante :

J\ fiy yi, . . . sont des polynômes respectivement des degrés m, m — i, m — a, .. .; F, F«, F2, . . ., des polynômes des degrés n, n — i,/i — 2, ..•.

Soient j^i, j^2, ..., y m l^s valeurs de y tirées de la première des équations (i); portons-les dans le premier membre de la seconde, et désignons par V le produit des résultats ainsi obtenus, de manière que Ton ait

Téquation finale qui résulte de Télimination dej^ sera

On calculera aisément la fonction V, en développant en série, suivant les puissances décroissantes de x, chacun

6x6 COVKS D*AL6EBKE SUPÉRIEURE.

de ses facteurs, dont rexpression générale est N ( x, y ). Je dis même que, si Ton ne veut connaître que le premier terme de V, il suffit de borner les séries dont nous parlons à leur premier terme ; que, si Ton ne veut que les deux premiers termes de V, il suffit de connaître les deux premiers termes des séries, et ainsi de -suite.

Supposons, par exemple, qu'on ne veuille connaître que le premier terme de V ; on a, en faisant comme pré-

cédemment u = -»

.r N(.r, j z=xT[u] -h:r»-ïFi(w) -*-....

Posons aussi, comme plus haut, tf = a H- «,

e étant une quantitéqui s'annule avec -» et a une racine quelconque de Tcquation

on aura

— --- =*";« -î-ej -î- - Fi a-hel -h. ..,

et, pour a* =oc ,

OU

K désignant une quantité qui s'annule avec ~ • D'après cela, en représentant par

les m valeurs de a, on aura

K ( X, r„, .i:« F ;:«,„ ; -H .r« E^, , Ef, E«, ..., E,„ désignant (les quantités qui s'évanouissent avec - • Si Ton multiplie ces équations et que Ton ait égard àFéquation (3), il viendra (5) V=ar'^'»F;a,)F(a,)... F(a;„ ; -f- a:'«« H,

H désignant une quantité qui s^annule avec -• Le premier terme de V est donc

on pourra l'exprimer en fonction rationnelle des coefficients de F etfy puisque F(ai) F(a2). . .F [ocm) est une fonction symétrique et entière des racines de Téquation

II suit de là que l'équation finale qui résulte de l'élimination de ^ entre les équations ■ i) et (2) est d'un degré égal au produit des degrés de ces équations.

Remarque. — Si les coefficients des équations (i) ont des valeurs déterminées, et que ces équations contiennent la plus haute puissance de j-, l'équation finale résultant de l'élimination de j^ sera toujours V=o, et l'on voit que le degré de cette équation finale sera encore égal au produit des degrés des équations proposées, à moins que les équations

6l8 COUKS d'alGLBBV SUPÊBTEUmV.

niaient une ou plusieurs racines communes, auquel cas ce degré s^abaissera nécessairement.

270. Pour avoir les deux premiers termes de l'équation finale V = o, il faut connaître les deux premiers termes du développement de îi[Xfj) en série. Pour cela, dans l'équation

N(J7, 7)=Jî«F(£l)-*-X«-»F,(£/)-h...,

nous poserons

«'désignant toujours une quantité qui s'évanouit avec - • a une racine de

et a' une quantité que nous avons calculée, et qui est déterminée par l'équation

on aura alors

E désignant une quantité qui s'annule avec - • Cette formule donne le développement de N(x,j'), bornée aux deux premiers termes ; en y remplaçant a par chacune de ses m valeurs, on aura

N(:ro',)=.r»F(a,)-hx»'»[a;r(«0-4-Ft(aO] + ^r»-'E,. N(x, X,) =x»F(«,) -4- a:--'[a\ r(a,) -+- F, (a,)] +x— ^E„

N(x,j.J = x''F(a^J-ha:'-«[al,r(«J-HF,(a^)]H-x-«E«.

Dans ces équations, E|, E2, . . . sont des quantités qui s'évanouissent avec-» et a',, a\j ... sont les valeurs

de o! qui correspondent aux valeurs cti, a^, ... de a. Multipliant toutes ces équations et désignant simplement par x*"""* H l'ensemble des termes dont le quotient par

j;»wi/i-f s'annule avec -? on aura

+*«»-«F(a.)F(a,)...F(a„)^î^^î|±!if»U.r-— 'H.

Dans cette dernière formule, la quantité H, qui est infiniment petite avec -? contient un nombre limité de termes,

et Ton voit que le deuxième terme de V aura pour coefficient

F(,)F(«o...F(..)5;«-:fi'^^^-rL(fi),

le signe \ s'étcndant à toutes les racines « de l'équation

D'après cela, si Ton désigne par \ x la somme des racines de Féquation finale en j?, on aura

f (a] ou, en mettant au lieu de «' sa valeur — ~ — r»

On pourrait calculer ainsi autant de termes que Ton voudrait de Téquation finale V = o, par suite celle équation tout entière : seulement les calculs deviennent de plus en plus compliqués, et nous devons nous borner à ce qui précède.

620 codus d'algèbre supéhieuke.

271. Au lieu de porter dans réquation N = o les valeurs de j^ tirées de M =: o, afin d'avoîr Téquation finale V = o, on aurait pu faire l'inverse, porter dans l'équation M = o les valeurs de j tirées de N = o ; mais alors

on aurait eu une autre expression de la somine \x des

racines de l'équation finale, que Ton peut écrire sans faire de nouveaux calculs. Il est évident, en effet, que Ton aura

E^Vi''.(e)A'e) y/. (6)

les sommes du second membre s'étendant à toutes les racines S de l'équation

En égalant entre elles ces deux valeurs de \ x, on obtient

les sommes du premier membre étant relatives aux racines a dey(a) = o, celles du second aux racines o do F(S) = o. Dans cette formule, qui exprime un théorème d'Analyse, yet F désignent des polynômes quelconques, qui n'ont pas de racines égales, ni de racines communes; j\ et Ff désignent aussi des polynômes quelconques, mais de degrés respectivement moindres que^ et F.

Supposons que le polynôme F soit égal à/l, et que F, soit identiquement nul ; l'équation précédente se réduit à

SF'(a] Y LUI

ou même à

puisque chaque terme du second membre est nul, le signe N étant relatif aux racines de F(ê)=o.Dans

Téquation précédente, le signe \ s'étend aux racines

ce de J*[a) = Oj et ï^ désigne la dérivée d'un polynôme quelconque F de degré inférieur à y*; par conséquent, F' est un polynôme quelconque de degré inférieur à f\ La formule précédente résulte aussi, comme nous Tavons vu, de celle qui donne la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.

Développements, en séries ordonnées siiwanl les puissances décroissantes de la variable, de plusieurs fonctions algébriques définies par autant d^ équations.

272. L'analyse que nous venons de développer peut être aisément généralisée, et étendue au cas d'un nombre quelconque d'équations.

Soient

(i) M(jr, r, 2)— o, ^[x, X, z) = Q

deux équations généralesdes degfés m et /i respectivement entre les trois variables x, y, z; la première x étant considérée comme indépendante, les deux autres j^ et z en seront des fonctions. En réunissant les termes de môme degré, les équations (i) pourront s'écrire de la manière suivante :

62ia couns d'algèbre supérieuub.

OU, en posant - =: m, - =:^ i',

I ^« F ( w, p ) -f- «»-> Fi ;>, t» ) -4- . . . = o ;

/et F sont des polynômes des degrés m et n respectivement, entre les variables m et ^'; ^i et F« sont respectivement des degrés m — i et n — i, et ainsi des autres.

En vertu des résultats précédemment obtenus, le nombre des solutions communes {u, i^) aux équations (3) est m/i, ainsi que le nombre des solutions communes (a, S) aux équations

et les mn systèmes de solutions communes des équations (3) se réduiront, pour x = qo, aux mn systèmes de solutions communes des équations (4). On pourra donc poser généralement

( 5 ) // =r a H- I, ff =r 6 H- u,

e et yj désignant des quantités qui s^annulentavec -• Ces

quantités sont d'ailleurs les restes des séries dans lesquelles u eiu se développent quand on borne ces séries à leur premier terme. Pour calculer les limites des produits tXf mXy nous suivrons la même marche qu*aa n^268. En portant dans les équations (3) les valeurs de u et V, tirées de (5), etayant égard aux équations (4), on a

En divisant ces équations respectivement par jc"*"* ot

SECTION II. CHAPITHE V, 6a3

x""*, faisant ensuite x = 00 , et posant on obtient

d'où Ton lire les valeurs suivantes de a' et 6' F ^^ / ^^'

il)

" ""(VdF^d/dF* di d?" d'^ d«

;brdF__d/dt'' da do dô da

En désignant par e' etr/ de nouvelles quantités infiniment on pourra poser

petites avec -» on pourra poser

et, par suite,

B=aH h~» P=:6H h-: