Théorème IV. — Si une fraction irréductible

P — P est comprise entre deux réduites consécutiy^es ^—-^ > -r-^ ?

le dénominateur B de la fraction est supérieur au dénominateur de chaque réduite,

En eflety la fraction — étant comprise entre j^-^ et rp»

les deux différences

A Pn-i P» P/»— 1

B Qn-l' Qn Q«-i

sont de même signe, et la valeur absolue de la première

différence est inférieure à la valeur absolue de la seconde.

s. ^ jilg. tup., I. a

i8 Gouns d'algèbre supérieure.

Or celle-ci est égale à ~ — ^ : donc on a

■-'■(i-fe)

Q«-iQ« ou

(-i)«(AQ„.,-BP„-0<|;î

le premier membre de cette inég^ité est un entier qui,

par hypothèse ne se réduit pas à zéro, et l'on a en

conséquence

Le nombre B est, à plus forte raison, supérieur à Q/ï i -

Corollaire. — Chaque réduite cV une fraction continue X approche plus de la valeur de x que toute autre fraction dont le dénominateur est moindre que celui de la réduite.

En effet, si la fraction irréductible — approche plus de x

que la réduite ^r^» elle sera, à plus forte raison, plus près

de X que la réduite précédente ^r^^—^- D'ailleurs, la quan-

lité X étant comprise entre ^^^ et t;^? la fraction - sera

nécessairement comprise entre les mêmes réduites ; donc, d'après le précédent théorème, le dénominateur B sera supérieur à Q».

Il résulte de là que, si B est inférieur à Q^, la fraction — ^

P approche moins de x que la réduite — ^ •