Problème. — Etant donnée une fraction — dont
la différence ai^ec une quantité quelconque x estzhjr^i 0 étant plus petit que l'unité, on demande la condition pour que -rr soit l'une des réduites fournies par le développement de X en fraction continue.
Réduisons — en fraction continue et formons les ré-
duites -pî fT' "*'fi^ ^^^^ ^* dernière n'est autre que -.
Si cette fraction est Tune des réduites fournies par le développement de x, et que Ton désigne par x« le (n-hi)**"* quotient complet, on aura
Il faut remarquer que Ton peut toujours s'arranger
de manière que le signe du second membre de cette
formule soit le même que celui de la différence donnée
X — ri ^^ ~ ôî' ^^ d'autres termes, dans la fraction con-
tinue égale à — > on peut toujours faire en sorte que -~
ou ~ soit à volonté une réduite de rang impair ou de
rang pair. En effet, soient a^^a, an^\ les deux derniers
P quotients incomplets de la fraction continue égale à —:
diaprés la manière dont on opère habituellement, le dernier quotient n'est pas égal à i, car, si cela avait lieu, on pourrait supprimer ce quotient en augmentant d'une unité le quotient précédent qui deviendrait alors a/,«2-l- 1 • Donc, puisque a„.i est au moins égal à 2, on peut le
remplacer par (a«i — 1)-+--, c'est-à-dire qu*on peul
introduire un quotient de plus égal à i, en ayant soin
de retrancher une unité du quotient qui était le dernier.
On peut donc faire en sorte que le nombre ti, qui in-
P P dique le rang de la réduite --- = -, soit à volonté pair ou
impair; ce nombre n étant ainsi choisi de manière que le
signe de ( — i)"-^' soit celui delà difierence donnée ± — >
on aura
Or Xn est positif et supérieur à i : donc on a
Je dis que réciproquement, si cette condition est satis-
P faite, la fraction — sera Tune des réduites de x. En effet,
Xn étant alors définie par la formule (i), l'équation (2 donnera pour cette quantité une valeur positive et supérieure à l'unité; d'ailleurs, d'après la formule (i) la valeur de x sera évidemment de la forme
X ^::i tl -\
d'où il résulte que la fraction ~ est l'une des réduites qui
convergent vers x.
II faut remarquer que la condition (3) sera toujours
satisfaite si 0 est inférieur à -> car le rapport -zr — -^^~ —
est supérieur à -; donc la fraction rr- sera nécessaire- ^ a' Q
ment l'une des réduites de la quantité x si la différence
X — — est, en valeur absolue inférieure à -rrr • Q 2Q«
Des fractions con\^ergentes intermédiaires.
9. On a vu que les réduites de rang pair et celles de rang impair forment deux suites qui sont l'une croissante, l'autre décroissante, et qui convergent toutes les deux vers la valeur de la fraction continue. Considérons deux réduites consécutives
de Tune ou de Fautre des deux suites, le nombre n pouvant être égal à i. Si an désigne le quotient incomplet do rang tï -f- i , les valeurs de ces deux réduites seront comprises dans l'expression générale
''-IÎ iLzl
et elles répondront aux valeurs k = o, k=an de Tindéterminée k.
Lorsque le quotient a« est supérieur à i , et que l'on donne à k les valeurs successives
o, I, ?., 3, . . ., (a„-— i), an,
l'expression précédente fournit, indépendamment des deux réduites considérées, an — i autres fractions dont les dénominateurs sont compris entre Qn.i et Q/i+i et auxquelles on a donné le nom de fractions convergentes intermédiaires.
Si l'on pose, pour abréger l'écriture,
R^ = kVn -4- Pn-i, Sa — a- Q„ -f- Q«-4,
on aura
Ra4-1 = R;t + P«i S;;.+i = S;t -I- Q« ;
d'où
ou
et, par conséquent,
(>es formules sont analogues à celles qui se rapportent à deux réduites consécutives quelconques, et Ton peut en conclure les propositions suivantes :
1 ° Les fractions convergentes intermédiaires, formées comme il a été indiqué, sont des fractions irréductibles.
2° La différence de deux fractions com^ergentes in-termédiaires consécutii^es est égale à l'unité di irisée par le produit des dénominateurs des deux fractions»
3** Si l'on considère la suite des réduites de rang pair et celle des réduites de rang impair*, puis qu'entre chaque réduite de l'une et de l'autre suite et la réduite suivante on écrive toutes les fractions convergentes in^ termédiaires qui s y rapportent, de telle manière que les dénominateurs forment une suite croissante, on obtiendra deux nouvelles suites qui seront, la première croissante, la seconde décroissante, et qui, en conséquence, convergeront sans cesse, l'une et l'autre vers la valeur de la fraction continue,
4** Si une fraction ■— est comprise entre deux fractions
, . Rz. R/-U.1 convergentes consécutives — > ^ — -t appartenant au
groupe dont les réduites -p^ et -r^^ sont les ternies ex*
SECTIOIf I. CHAPITRE I.
trêmes, ou si elle est comprise entre la fraction — et la
réduite ^y le dénominateur B de cette fraction — sera
supérieur au dénominateur de chacune des fractions convergentes qui la comprennent.
10. Lorsque la fraction continue est limitée, les deux suites formées avec les réduites et les fractions intermédiaires se terminent d'elles-mêmes ; mais il faut remarquer que l'on peut encore considérer l'une des deux suites comme illimitée. En effet, dans le cas dont il s'agit, l'une
P des réduites -^ exprime la valeur exacte de la fraction con-
tinue; cette réduite termine l'une des deux suites, tandis
que l'autre suite s'arrête à -—-^'^ mais on peut évidem-
ment introduire dans la fraction continue un nouveau
quotient Xn égal à oo ; celle-ci sera alors représentée
par l'expression r^--^ — -^ équivalente à ^i et à ceUe
P île nos deux suites qui se termine à ;r^^ on pourra ajou-
ter les fractions intermédiaires
P»-f-P;>-l 2lVj-^P^, 3P;,-4-Pn-^|
Q«H-Q„^i' îiQ«-f-Q«-i' 3Q„-4-Q^-/ *"''
dont le nombre est illimité. La suite indéfinie que Ton formera ainsi convergera vers la fraction continue, comme si celle-ci représentait la valeur d'une quantité irrationnelle.
11 . La théorie que nous venons d'exposer nous fournit la solution de cette importante question:
Problème. — Déterminer, parmi toutes les fractions
a4 COURS d'algèbre supérieure.
dont le dénominateur ne surpasse pas une certaine limite K, celle qui approche le plus d'une irrationnelle donnée x.
Concevons que la quantité x ait été réduite en fraclion continue, puis qu'avec les réduites et les fractions intermédiaires on ait formé les deux séries, Tune croissante, l'autre décroissante, qui convergent toutes deux vers la valeur de x.
Si le dénominateur Q„ de l'une des réduites est égal à la limite donnée K, la fraction demandée sera la réduite
^\ mais je dis que, dans tous les cas, cette fraction fera
partie de Tune des deux suites formées avec les fractions convergentes. En effet, s'il en était autrement, la fraction
demandée -— tomberait entre deux termes consécutifs B
^-^> -^ de l'une de ces deux suites ; mais alors B serait
supérieur à S^t, la fraction -^ serait d'ailleurs plus appro-
chée de x que ~» et par conséquent cette dernière fraction ne satisferait pas à la condition requise.
Donc, pour résoudre le problème proposé, il suffit de réduire l'irrationnelle x en fraction continue, de forlner la série des réduites de rang pair et celle des réduites de rang impair, avec les fractions intermédiaires correspondantes ; de prendre enfin dans chaque suite la fraction qui a le plus grand dénominateur au-dessous de la limite K . Les deux fractions que l'on obtient de cette manière comprennent entre elles la quantité or, et elles fournissent les valeurs les plus approchées par défaut et par excès, de cette irrationnelle, quand on exclut les fractions dont le dénominateur est supérieur à K.
On voit que la réduction en fraction continue doit être employée toutes les fois qu'il est question d'exprimer par les fractions les plus simples et les plus approchées qu'il est possible, soit la valeur d'une irrationnelle, soit celle du rapport de deux nombres entiers très-grands.
Théorème de Lejeune^DirichleU
