La théorie des fractions continues nous a révélé
P l'existence d'une infinité de fractions -^ susceptibles d'ex-
Qn
primer la valeur d'une irrationnelle donnée x^kj^ près»
Ce fait si remarquable peut être établi directement par un procédé ingénieux dû à l'illustre géomètre allemand Lejeune-Dirichlet.
Le théorème que nous nous proposons d'établir peut être énoncé dans les termes suivants :
Théorème. — Dans la série des fractions qui ont pour dénominateurs les nombres i , 2, 3, . • . , /i, i7 e/i existe an moins une de dénominateur v qui diffère d'une quantité
moindre que — > par défaut ou par excès j d'une irrationnelle donnée x.
Représentons par m^ le nombre entier immédiatement supérieur à vor, et considérons la suite des quantités
qui seront toutes moindres que l'unité. Si l'on était assuré que l'un au moins des produits
«[/n,— -ar), /»(/w, — 2x), n[m^ — 3a:), ..., ii(/n„ — nx] eût pour partie entière zéro^ le théorème serait démontré,
20 COURS d'àLGÈBEE SGPÉRIECRE.
car on aurait, par exemple, .
d'où
/Wv — vx < - et x<^ — ;
n V uv
mais, s'il n'en est pas ainsi, comme ces parties entières ne peuvent être que
l'exclusion du nombre zéro exige que l'une d'elles soit la même dans deux produits différents. Soient donc
/i(/?2v-- voj) = E -+- e, n[m^ — px)=:E-+-iî,
E désignant un entier, e et n étant des quantités positives inférieures à i . Si l'on retranche ces égalités l'une de l'autre, il vient
d'où
On peut supposer que v soit le plus grand des nombres v et fx; la différence v — fx de deux nombres inférieurs à n est elle-même moindre que n ; enfin la valeur absolue de 6 — m est inférieure à i. Le théorème énoncé résulte donc de la formule précédente, puisque celle-ci montre que la valeur absolue de la différence
nt^ — //i»
est inférieure à ■—, r •
Dans ce qu'on vient d'établir, le nombre n est quelconque. En le faisant croître indéfiniment on voit la pos-
SECTION I. — CHAPITBE I. 27
sibilité d'obtenir une suite infinie de fractions convergentes vers la valeur de a:, telles que Terreur par défaut ou par excès relative à chacune d'elles soit moindre que Tunité divisée par le carré du dénominateur; car, dans
Texpression — indiquée par l'énoncé du théorème, v est
au plus égal à n ; cette limite sera donc en général
moindre que — •
Résolution d'une équation du premier degré à deux inconnues, en nombres entiers, par la méthode des fractions continues.
