Considérons Téquation

dans laquelle P, Q, H sont des nombres entiers positifs ou négatifs. Comme on peut supposer que ces trois nombres n ont aucun diviseur commun, l'équation proposée ne pourra évidemment être satisfaite par des valeurs entières de X et de j^ que si les coefficients P et Q sont premiers entre eux. Supposons que cette condition soit remplie ; ré-

duisons la fraction ziz — en fraction continue, et calculons

les réduites successives. Si ^ désigne l'avant-dernière réduite, on aura

±(PQ'-QP')r=:i;

d'où

P(zhQ'H)-f-Q(q=P'R)=H,

ce qui montre que l'équation proposée sera satisfaite en posant

^z=:dlQ'H, j = =pP'H.

Désignons par jtq 6t j^o ces valeurs des indéterminées x

a8 COURS d'algèbre supérieure.

et y, l'équation proposée pourra se mettre sous la forme

Pa:-f-Qj=P*oH-Qro OU

et, comme les nombres P et Q sont premiers entre eux, les quantités a: et j' ne seront entières que si a: — x© esi divisible par Q. On aura donc, en désignant par 6 le quotient de cette division,

c'est-à-dire

x^rbQ'H + ÔQ, j=qnP'H — OP;

ces valeurs satisfont à Téquation proposée, quel que soit l'entier positif ou négatif 6.

Il faut remarquer que la valeur absolue de x sera inférieure à Q si Ton prend pour Q l'un des deux entiers consécutifs entre lesquels est comprise la fraction positive ou

négative i^z-^^— j on peut même ajouter que Tune de ces deux valeurs de B donnera à x une valeur absolue inférieure à - Q. Il résulte delà qu'il existe une valeur unique

de X entre les limites zéro et Q ou Q et H — Q, pour

laquelle l'expression

Par — H

se réduit à un nombre entier.

L'équation dont nous venons de nous occuper peut s'écrire de la manière suivante :