PQ "" Q P
et Ton voit que toute fraction — » dont le dénominateur est le produit de deux nombres P ef Q premiers entre eux., peut se décomposer en deux autres fractions ayant respectivement pour dénominateurs les nombres P et Q.
Théorème relatif à la réduction des fractions rationnelles en fractions continues.
P 14. Considérons une fraction rationnelle — supérieure
à I, et supposons qu'en la réduisant en fraction continue on ait trouvé
la dernière des réduites successives --^5 -^» " *' rT ^^^^
('pale à --» et Tavant-dernière aura pour valeur
ifl-h
JVnn autre coté, on a P„ -^ P«-i ^n-x -^ P« -2, Q« = Qn -i «„-i -f- Q„-„
Pn-l = P«-i«rt-2-h Pn-3. Q/,-1 = Q/i-î^rt-iH- Q«-i,
= Q.«t+Qi. "
=^Qiû|-t-Q.»
puis
Pi = rt, Po = i, Qi=i, Qo = oî
3o COURS d'algèbre supérieure.
ces formules donnent
On voit que les quotients de la fraction continue (3) sont précisément ceux de la fraction (i) pris dans un ordre inverse ; la fraction (4) est Tavant-dernièrè réduite de la fraction continue (3).
Il résulte de là que, si Ton a
(5) Pn-i-Q„,
mais seulement dans ce cas, les fractions (i) et (3) seront égales entre elles et la suite des quotients
sera réciproque, c'est-à-dire que les termes extrêmes seront égaux entre eux, ainsi que deux termes quelconques pris à égale distance des extrêmes. Comme on a
la condition (5) équivaut à
(7) P»Q»-.-Qi=(-')" ou Q„-. = ^"'*'j~''", et elle exprime que Ton a
(8) — - — = un nombre entier.
SECTION I. — CHAPITRE I. 3l
Réciproquement, si les nombres entiers P et Q<;P satisfont à la condition (8), on peut être assuré que la frac-
tion ~ se réduira en une fraction continue dans laquelle
les quotients formeront une suite réciproque.
En efiet, réduisons la fraction -- en fraction continue,
en nous arrangeant de manière que le nombre des quotients soit pair ou impair, suivant que le signe ambigu =b exprime -h ou — dans la formule (8) . Alors, en désignant par n le nombre de ces quotients et par Q' la valeur du premier membre de la formule (8), on aura
mais -p—^ étant la réduite qui précède tt^ on---j la for-
mule (6) a lieu, et, en la retranchant de la précédente, il vient
P«(Q'-Q«-i) = Q«(Qn-P»-i);
comme P„ doit diviser le second membre de cette formule, et que ce nombre est premier avec Q«, il doit diviser Q» — P„.i ; cette différence étant inférieure à P;,, elle doit être nulle, et Ton a
La première de ces égalités démontre la proposition que nous avions en vue.
15. Les résultats qui précèdent nous seront utiles plus tard; mais il n'est pas sans intérêt de montrer dès à présent comment on peut en tirer une démonstration fort simple d'une proposition importante dans l'Arithmétique supérieure. Cette proposition est la suivante :
Théorème. — Tout nombre entier qui divise la somme
de deux carrés premiers entre eux est lui-même la somme de deux carrés.
En effet supposons que le nombre entier P divise la somme R^H- S^ R et S étant des entiers premiers entre
eux. Si Ton réduit la fraction — en fraction continue et que
R' Ti
l'on désigne par -7 la réduite qui précède --) on aura
RS'—SR'—dzi;
en outre, le nombre P divisant R^-f-S^, il divisera le produit
(R«4- S«) (R''-h S'«) = (RR' -!- SS'Y 4- (RS' — SR')« ;
il divisera donc, quel que soit K, la somme de deux carrés
