RR'-!-SS'--KP)'-4- (RS' — SR

or le second de ces carrés est i ; quant au premier, il est le carré d'un nombre Q qu'on peut supposer inférieur à P,

P et même, si l'on veut, inférieur à -5 à cause de l'indéter-

minée K. Il résulte donc de notre hypothèse qu'on peul

trouver un nombre Q inférieur à P, tel que l'on ait

-^^— — := entier,

Cela posé, réduisons la fraction — en fraction continue,

en opérant de manière que le nombre des quotients soit pair. D'après la proposition établie plus haut, la suite de ces quotients sera réciproque et elle pourra être représentée par

La (m 4-1 )**"'* réduite ^ embrasse les quotients delà pre-

mîêre moitié de cette suite, et, si ron désigne par ^ * la

réduite précédente, par x„t le quotient complet de rang I» -f- 1 , on aura

mais le quotient complet Xm est égal à

p et cette fraction n'est autre chose que "* ; donc on a

Q P™Q«+Pm-lQ

Il est évident que le second membre de cette formule est une fraction irréductible. D'ailleurs on s'en assure immédiatement en remarquant que la différence

Pm(PmQmH-Pm-lQ«.-l) - Qm (P,« "4- P«-l)

a pour valeur

P«-l (PmQm^l - Q«Pm-i) = ( - l)'"Pm-i;

un facteur commun aux deux termes de la fraction dont il s'agit diviserait donc Pm-i ; niais alors il diviserait aussi P»,, ce qui est impossible, puisque P^ et P;».| sont premiers entre eux. D'après cela, la formule que nous avons obtenue donnera

Q=PinQm-^-Pm^lQ«^l*

Non-seulement la première de ces égalités démontre le 5.— Alg.sup,, I. 3

34 COURS d'axgèbrk supérieure.

théorème énoncé, mais encore elle fait connaître les deux carrés dans lesquels le nombre P peut être partagé (*).

Condition pour que les fractions continues qui représentent deux irrationnelles soient terminées par les mêmes quotients,

16. Si deux irrationnelles positives x el af sont telles, que les fractions continues dans lesquelles elles se développent aient un même quotient complet y, on aura, par les propriétés des fractions continues,

p, Q, P', . . . étant des entiers positifs qui satisfont aux deux conditions

PQ— QF = dzi, RS'— SR'^zhi.

Si l'on élimine j^ entre les équations (i), on trouvera

en posant

û = QR' — RQ', ô = RP' — PR', a' = QS' — SQ' , b' = SP' — PS',

et Ton déduit de ces dernières formules

ab' ^ôû'=(PQ'-QP')(RS'-SR')=d=i.

Donc, pour que deux irrationnelles positives x et oà puissent se dé\^elopper en des fractions continues susceptibles d'être terminées par des quotients complets égaux

(') J'ai donné pour la première fois cette démonstration dans un article qui fait partie du tome XIII du Journal de MtUhématiques pures et appliquées, (l^** sem}».

SECTION I. CHÀPITKB -I. 35

entre eux, il faut quelles soient liées l'une à l'autre par une équation de la forme

OÙ a, b aljV désignent des eiUiers positifs ou négatifs qui satisfont à la condition

(3) ab'^ba' = zt:i.

Je dis maintenant que cette condition est suffisante. En

P effet, réduisons x en fraction continue^ désignons par ~

P' une réduite aussi éloignée qu'on voudra, par r^ la réduite

précédente, et par^ le quotient complet qui répond à la

réduite zr j on aura

(4) ^=Qy^rq'^

et, en substituant cette valeur de xdans Téquation (3), il viendra

Cela posé, quels que soient les signes des nombres a, b, aff b', les rapports

aP -t- 6Q Q Q"^g a'V-hb'q Q Q"^ a'

^PM^Q' "" Q' P' b a'P'-h ô'Q' "~ Q' F ^

sont positifs et supérieurs à i, car on a Q> Q' et Ton

P P' peut supposer les réduites - » ^ assez éloignées pour que

leur différence soit plus petite qu'une quantité quelconque

donnée. D'ailleurs y elaf sont positives ; donc la valeur précédente de a/ est de la. forme

Rj R', S, S' étant des nombres entiers positifs tels que

D'ailleurs ces nombres ont respectivement pour valeurs

Rrrrdb (aP + ÔQ), R' = zn:(ûP' +ôQ'), S = ±:(«'P-h6'Q), S'==t:(«'P'-h^''Q'),

les signes supérieurs ou inférieurs devant être pris ensemble. On déduit de là

RS' — SR' = ir [ab' - ba! ) (PQ' — QP' ) ; on a d'ailleurs

PQ' — QP'=±:i et ab' — ba! z=i±i, donc (6) RS'— SR'=:dii.

Réduisons maintenant la fraction — en fraction conti-

nue et soit ^ l'avant-dernière réduite ; comme le calcul

peut être fait de manière que -^ soit à volonté de rang pair ou de rang impair, on peut écrire

RSq — SR^ :^ Iju I ,

le signe du second membre étant ici le même que dans la formule (6). Et alors, à cause de cette formule (6), l'égalité précédente donnera

R(S'-.So) = S(R'-Roj;

or le nombre R est premier avec S, et il surpasse R' — Rq, différence de deux nombres inférieurs à R ; il faut donc que l'on ait

Ro = R , Sq = S .

On voit enfin par la formule (5), quej^estun quotient complet commun à a? et à a/.

Remarque. — Nous avons supposé les quantités a: et j/ positives, mais rien n'empêche de les supposer négatives. En effet, si Ton change x en — x ou si en — j/, la formule ( 3 ) restera la même ; seulement quelques-uns des coefficients changeront de signe sans cesser de satisfaire à la condition (4). Au surplus, dans le développement d'une irrationnelle en fraction continue, on n'a à s'occuper <jue de la valeur absolue de cette irrationnelle.

38 COURS d'algèbre SUPÉRIET7RE.