M«— LN = A

supposée positive, ne soit pas un carré exact. Les racines de cette équation seront représentées par l'expression

±:M-hv/Â

le radical \[K étant pris positivement, et le signe ambigu ± devant être remplacé successivement par H- et par — tant au numérateur qu'au dénominateur ; mais, comme nous ne voulons considérer que les valeurs absolues des racines nous donnerons au dénominateur de

Texpression précédente le signe qui rend cette expression positive. Alors, si Ton pose

puis que Ton désigne par D| la valeur de N prise avec un signe tel que LN = — D|D, toute irrationnelle du deuxième degré prise positivement pourra être représentée par la formule

dans laquelle E et D sont des entiers positifs ou négatifs et A un entier dont la racine carrée est irrationnelle. En outre, on aura .

D| étant un nombre entier positif ou négatif.

18. Cela posé, nous nous proposons de développer en fraction continue l'irrationnelle définie par la formule (i).

Après avoir déterminé la racine du plus grand carré entier contenu dans A, on aura immédiatement, par la division le plus grand entier a contenu dans x ; alors on fera, conformément à la méthode générale,

et le nouveau quotient X| sera donné par la formule D .

'^*"" — (D« — E)-hVA'

si Ton multiplie les deux termes de cette expression par {Da — E)-|-^A afin de rendre le dénominateur rationnel elle prendra la forme

4o COURS d'algèbre supérieure*

El et Dj désignant des nombres rationnels. On opérera sur Xi comme on a fait sur x, et ainsi de suite ; en sorte qu'on obtiendra successivement les formules suivantes :

qui sont toutes semblables à la proposée, car on va voir que les nombres rationnels E^, D/t sont toujours des entiers. La valeur de x„^i est

et Ton en tire . 5«^i ^ D„,^ [(D„,t<zn,, ~ E„,, ) -4- s/\

alors on aura, d'après nos notations,

(4) El, == D^ia^i — E„j, d'où

cette formule (5) subsistera pour n = o, si l'on convient que Dn et E^ représentent D et E respectivement, quand l'indice n est nul; car, dans ce cas, les formules (a) et (5) coïncident* La formule (5) ayant lieu quel que

soit ?ï, on peut, dans la formule (3), remplacer A par Ei, -+- Dn^jD^^i, et il vient alors

(6) D„ = D„-^ + 2 Ea-^i û„«i — D^t «i-i ;

enfin, en remplaçant D„^i par la valeur tirée de la formule (4); on obtient

(7) D;,=: D„^, + (E„^, — E„)fl„i .

Les formules (4) et (7) subsistent, d'après ce qu'on vient de dire, quand on suppose 72 = 1. Elles contiennent la loi de formation des quotients complets x^, et elles montrent que, si les nombres D„2> E^^i, D„| sont entiers, les nombres E„ et D„ seront aussi entiers. Or, par hypothèse, D|, E, D sont des nombres entiers : donc E| et D| seront eux-mêmes des entiers, ainsi que Ea et Da,. . -, E« et D^. Les formules (4) et (7) montrent encore que, si D j et D sont pairs et que E soit impair, tous les nombres D^ seront pairs, tandis que les nombres En seront impairs.

Remaeqoe. — Il convient de remarquer que les trois nombres entiers D^^i, E;,, D^ ne peuvent avoir un diviseur commun 0 supérieur à Tunité. En effet, si un tel diviseur existe, il divisera E^^i à cause de la formule (4) etD|,.2 à cause de la formule (7); il sera donc un diviseur commun des trois nombres D^^j, E;,o D„|. On en conclura de même qu'il est diviseur commun à D;,.S9 Ë/i.ayD/i.ay et ainsi de suite. Le nombre 6 sera donc un diviseur commun à D j, E, D, et, par suite, A aura le diviseur fl«. Or on peut toujours admettre qu'il n'en est

pas ainsi ; car, si, dans l'expression proposée — .—— 9 E

et D sont divisibles par 6 A par 6^, rien n'empêche de supprimer ce facteur.

42 COURS o'iLLGÈBBE SUPÉRTEUIIE.