On retrouve les résultats qui précèdent par la
p considération des réduites. Soit — ? la (w -4- i)^^°* réduite
de la fraction continue égale à x ; on a
OU
si l'on chasse les dénominateurs et que Ton égale ensuite de part et d'autre les parties rationnelles et les parties irrationnelles, il viendra
(8) Q„E,+ Q,,., D„= DP, - EQ«,
(9) (DP„- EQ;,)E„-h (DP„,- EQ«-,)D„=r AQ«.
En résolvant ces équations (8) et (9) par rapport à £« et D;,, et en faisant usage de la relation
on trouve
(10) E„== ^^:^[AQ„,Q„^(DP„^,--EQ„«0(D^^
(,,)D,=^^[(DP„-EQ„)«-AQJ];
il est évident que la quantité entre crochets, dans l'expression de En ou de Du, se compose de termes qui contiennent D en facteur, et d'un terme multiplié par le nombre A — E* qui est divisible par D. Donc les formules (10) et (11) montrent que E« et D„ sont des entiers^ ce que nous savions déjà; mais elles vont aussi nous conduire à un autre résultat fort important.
Je dis eflfectivement que, si n est supérieur à une certaine limite les entiers E/, et D;i seront toujours positifs.
La formule (i i) démontre immédiatement ce fait à Tégard de Dy, ; en effet, on peut l'écrire comme il suit :
■'■=<-)-Q<s-^)h-KÈ-^)]'
or, d'une part, le facteur -^ — ^^ ff — ^ ^ ïc
signe de ( — i)", et d'autre part, comme cette différence peut devenir aussi petite que l'on veut, en prenant n suffisamment grand, le dernier facteur de notre expression de D/i approchera autant que l'on voudra de ay^, et il sera, en conséquence, positif pour toutes les valeurs de n supérieures à une certaine limite ; donc aussi D^ sera positif.
On pourrait établir la même propriété à l'égard de E^ en se servant de la formule (lo), mais il est plus simple de partir de l'équation (8). Celle-ci donne
et, en divisant par on a
Pour les valeurs de n supérieures à une certaine limite,
I D ~5 — E I diflférera de s[K d'une quantité plus petite
qu'une quantité donnée quelconque : il en résulte que le nombre entier E^ ne pourra pas être négatif; car, si cela arrivait, le second membre de la formule précédente serait plus grand que i , et il ne pourrait être égal au premier membre, lequel est évidemment inférieur à i.
44 couKs d'algèbre supérieure.
Si doncy pour quelques-unes des premières valeurs de 71, o, I, 2, . . ., les nombres D„ et E„ peuvent être négatifs, cette circonstance, ne pourra plus se présenter dès que n aura atteint une certaine limite.
20. Nous pouvons maintenant établir la proposition suivante due à Lagrange :
Théorème I. — La fraction continue, dans laquelle se déi^eloppe une irrationnelle du deuxième degré, est périodique, c'est-à-dire que la série des quotients complets ou incomplets, à partir de celui qui occupe un cer^ tain rang, est formée d'une suite limitée de termes ou période qui se reproduit indéfiniment la même.
En eflet, soit Tirrationnelle du deuxième degré
que nous supposerons positive ; le nombre A est un entier dont la valeur est donnée par la formule
(a) E«-i-D.tD = A
et D.i y E, D sont des entiers positifs ou négatifs. Si
désigne généralement le quotient complet de rang n + 1, et que an soit le quotient incomplet correspondant, on aura par ce qui précède,
(4) EJ + D„.,D„ = A et
SECTIOUr I. . GHAPITUË 11. 4^
en outre, nous savons que E^ et D» sont des entiers et que, pour les valeurs de n supérieures à une certaine limite^ ces mêmes nombres sont positifs. Considérons le développement en fraction continue, à partir de cette limite* La formule (4) montre qu'alors on -a constamment
la formule (5) nous donne ensuite, en écrivant n au lieu de n — I,
D„<;2^A et an<^2^.
Ainsi les nombres E^, D;,, a„ sont limités et les quotients complets Xn ne peuvent avoir qu'un nombreyîm de valeurs différentes. Donc, après un nombre d'opérations plus ou moins grand, mais qui ne peut excéder 2 \/Ax \/Â ou 2 A, on retombera nécessairement sur un quotient complet déjà obtenu ; après quoi le reste de la série des quotients complets ou incomplets sera formé d'une même suite ou période de termes déjà trouvés, laquelle se répétera indéfiniment.
Il convient de remarquer que la relation (4) donne D/i-iD/i<CA, et l'on aurait de même, en changeant n en n — i, D,i«2D/,«i <;A. Si donc on a
on aura
D^,<v/Â et D„<v^ï;
d'où il résulte que, si le dénominateur d'un quotient complet est supérieur à ^Â, le dénominateur du quotient précédent et celui du quotient suivant sont l'un et l'autre inférieurs à ^Â.
La démonstration précédente repose sur ce seul fait que D„ est positif pour les valeurs de n supérieures à une certaine limite; elle subsisterait donc lors même que
Qat-^A+Qa-I
Si la fraction continue est périodique simple, c'est-à-dire si la période commence au premier quotient et que cette période ait h termes, on aura
alors la formule (i) donnera
ou
(2) Q*.^*- (Pa~ Qa^,)^:- P;^.! = 0;
X est donc racine d'une équation du deuxième degré à coefficients entiers. Il faut remarquer que le nombre h peut être égal à i , et que, dans ce cas, on a Pa< = r , Qa-« = o.
Si la fraction continue proposée est périodique mixte, c'estrà-dire si la périf)de ne commentée qu'à partir dtt
46 COURS d'algèbre SUPÉRiEtJRC.
nous n'aurions pas établi que E,, est également poshit pour des valeurs de n suffisamment grandes. Enfin il est évident que, si x^ est le quotient complet qui commence la première période, les deux nombres E^ et D« seront j nécessairement positifs à partir de la valeur n = v.
21 . Théorème II. — Réciproquement, toute quantité qui se déi^eloppe en une fraction continue périodique est une irrationnelle du deuxième degré.
En effet, considérons une irrationnelle x qui se déve-
loppe en une fraction continue périodique ; soient pp la
Xi»
réduite de rang n-hi et a:^ le quotient complet correspondant, on aura
P;t.r^+PA^t
quotient de rang m -f- i et que celte période ait k termes on aura
avec
chacun des nombres m et A* pouvant être égal à i. Si Ton résout par rapport à Xm et Xm^k les deux équations comprises dans la formule (3), puis qu'on égale entre elles les valeurs obtenues, on aura
^m—^m-^ "" P/7I+A— Q//,-HA-^
équation qu'on peut mettre sous la forme
(5) L^«— 2Ma:-|-N = 0,
en posant, pour abréger
( N==P«-iP;n+;fc-P«Pm+;^,.
On voit donc que x est encore dans ce cas, l'une des racines d'une équation du deuxième degré à coefBcients entiers.
Corollaihe, — L^ équation du deuxième degré à coefûcients rationnels, à laquelle satisfait une fraction continue périodique donitée, a ses deux racines de signes contraires si la fraction continue est périodique simple, et elle a toujours ses racines de même signe lorsque, la fraction continue étant périodique mixte, il j a plusieurs termes avant la période.
En effet, s^il s'agit d'une fraction périodique simple a*» l'équation (2) à laquelle cette quantité doit satis-
faire a éyidemment ses racines de signes contraires. SîTirralionnelle x se réduit en une fraction périodique mixte, elle satisfera à une équation telle que (5), dans laquelle le produit des racines est, d'après la formule (6),
N Pm-lPm->-<- — PmP/»y-i-A— 1
L Qm-1 Q//H-A- — Q//I Qm -»-A- 1
Supposons qu'il n'y ait qu'un seul quotient a avant la période, on aura
et, par suite,
ce rapport peut être positif ou négatif; donc, dans ce cas, les racines de l'équation (5) peuvent avoir le même signe ou des signes contraires.
Supposons maintenant qu'il y ait plusieurs quotients avant la période, et soient «;„,, Aot+a-i les quotients incomplets de rang m et de rang m-\-h\ on aura
"m ^= P/n— 1 ^m— 1 "♦" P/w— î» Pm-»-Ar^==^ P/n+A^l ^m-i-k—l H~ P/n+^wj, Qm = Q/«-l ^m-l -^ Q/n-t » Q//H-Ar= Q/n+A— l ^m+k-l -+" Qm+ih-tt
N au moyen de quoi l'expression générale de — devient
TV P P . {^m-hk-l — ^m-A-^ll^ W~^]
•L Qm— 1 Q/«-»-A--l
La différence a^+k-i — a^^^ n'estpas nulle, carautrement la période commencerait un rang plus tôt qu'on ne l'a supposé ; d'ailleurs le deuxième facteur du second membre de la formule précédente est une fraction dont chaque
SECTION I. — CHAPITKE II. 49
terme s'obtient en ajoutant une quantité positive ou négative, mais fractionnaire, à l'entier a„t^^i — «m-i ; donc le facteur dont il s'agit est positif, et il en est de même
N du rapport c- ; ce qui achève la démonstration de la pro-
Lê
position énoncée.
22. Théorème III. — Les périodes des quotients in^ complets, dans les fractions continues qui expriment les racines irrationnelles d'une équation du deuxième rfegré à coefficients entiers, sont im^erses l'une de l'autre^ c'est-à-dire que les quotients dont se compose l'une des périodes sont précisément ceux de l'autre période dis^ posés dans un ordre im^erse.
Supposons d'abord que l'une des racines de l'équation proposée se développe en une fraction continue périodique simple. On peut admettre que cette racine x est positive et supérieure à i, car on ramènerait le cas contraire à celui-là en changeant a: en — x ou en ± -•
Cela posé, ^ représentant généralement la réduite de
rang /t -4- i , et Xn le quotient complet correspondant, on a
Si k exprime le nombre des quotients contenus dans la période, on reproduira l'équation dont x est racine en remplaçant xj^ par x dans l'une ou l'autre des formules précédentes ; cette équation peut donc se mettre sous la forme
et, si l'on représente par 7 sa deuxième racine, qui est
5o COURS d'algèbre S€PÉRI£nR&.
Dégative, on aura
Or, -—étant supérieure à i , on sait (n°14) que ^ et — -^
se développent en des fractions continues formées des
mêmes quotients ^mais en ordre inverse; en outre, pr-^
est r avant-demi ère réduite de la fraction continue égale
à ^-^ ; dojic x' est égale à une fraction continue pério- "a— 1
dique simple, dans laquelle la période est inverse de celle de X.
Considérons en second lieu le cas où les racines de Féquation proposée se développent en des fractions périodiques mixtes. Soit x Tune de ces racines; nous pouvons supposer x positive, et, si la période commence au quotient de rang w h- i , on aura
la quantité Xm est supérieure à i , et elle est exprimable par une fraction périodique simple; elle est donc racine d'une équation du deuxième degré, dans laquelle la seconde racine — est telle que les fractions continues
x^ et Xm aient des périodes inverses. D'après cela, on obtiendra la seconde racine x' de Téquation proposée en
remplaçant Xm par — dans la formule précédente ; on
a ainsi
SECTION I. CHAPITRE II. 5l
Or, à cause de Tégalilé
les fractions continues x' et x'^ se terminent par les mêmes quotients (n^ 16); d'ailleurs, dans une fraction continue périodique, on est libre de faire commencer la période à l'un quelconque des quotients qui viennent après la partie réellement non périodique ; donc on peut considérer comme inverses Tune de l'autre les périodes des fractions continues x et a?'. Mais il faut bien remarquer que ce n'est qu'en entendant les choses de cette manière que le théorème énoncé est exact.
23. Théorème IV. — La période de la suite formée par les numérateurs ou par les dénominateurs des quo^ tients complets relatifs à l'une des racines irrationnelles d'une équation du deuxième degré à coefficients entiers est inverse de la période analogue qui se rapporte à la deuxième racine.
En effet, d'après ce qui précède, les périodes des quotients incomplets, relatives aux deux racines, peuvent être représentées par
lO a, «1^
. . . , ûji^j, iljt-i,
(2) ûjb-i, «A-î, . •
Soient
X, ar^.
^Jfc-1» ^A-d»
les quotients complets qui répondent respectivement aux quotients incomplets (i) et (2).
Si n désigne un entier quelconque compris entre zéro et/r, on peut regarder la suite
5a COURS d'algèbre supérieure.
comme étant la période des quotients incomplets de la première racine, et cette période sera en même temps celle que fournira le développement du quotient complet Xn» Pareillement, on peut prendre la suite
pour la période de la deuxième racine, et cette même suite sera la période de la fraction continue égale au quotient complet xV-^.
Cela posé, les irrationnelles Xn et x\__n étant égales à des fractions continues périodiques simples, dans lesquelles les périodes sont inverses Tune de l'autre, x\^
et seront les racines d'une même équation du
deuxième degré à coefficients entiers. Si donc on pose
nv ^ E^^j:^ ^ i e;;, -f- sfl
[6] x„ — 9 a:jt;^— -. ^5
A, E„, D;,, Eît„, Di„ étant des nombres entiers la
quantité x\^n sera égale à la valeur que prendra
quand on aura changé le signe du radical ^A ; en conséquence, on a
les formules (3) subsistent pour 7i = o et pour/2 = i, car on a xa = JC et x\ = x'; il en est de même à l'égard de la formule (4), pourvu que l'on supprime l'indice o, quand les lettres D, E, D^, £' sont affectées de cet indice.
La formule (4) donne
