EU = E
SECTIOW I. CHÀl^ÎTRB II. 53
puis E^-4-D„Di„=A; mais, comme on aE*H-D«.jD„=A, la précédente égalité se réduit à
(6) DU = D»-i.
Les égalités (5) et (6) démontrent la proposition énoncée; il en résulte que, si la période des quotients complets de Tune des racines est
la période des quotients complets de la deuxième racine sera
,Q. E-f-v/Â Ea^,h-\/a E,-h\/I Ei + v^
G)mme les périodes (7) et (8) se répètent indéfiniment, les termes qui viennent après ceux que nous venons d'écrire sont respectivement
et d'après la loi de formation des quotients complets, on aura
E»-hDD^i=:A.
Cette égalité montre que si les fractions continues auxquelles se rapportent les périodes (7) et (8) ne sont pas périodiques simples, les dénominateurs des quotients complets qui termineront les parties non périodiques seront respectivement D^^^i et D. Il résulte évidemment de cette remarque que la période des dénominateurs des quotients complets commence un rang plus tôt que la pé* riode des numérateurs des mêmes quotients.
54 COTIR8 d'algèbre SUPÉRIEURE.
24. AppLicÀTioir A uK EXEMPLE. — On propose de développer en fraction continue les racines de réquation
ay^F* — 97a: -f- 77 z= o.
Les expressions des racines sont
la racine du plus grand carré entier contenu dans 1093 est 33. Voici le résumé du calcul de chaque racine, calcul qui repose sur Temploi des deux formules
établies au n° 18:
Première racine.
E, = 11, E, = a5, E, = 27, £4 = 29, E5 = 25=:R„ Dj = 18, D, = 26, D, = i4, D4 = 1 8, Dj = 26 =r D„ «1 =2, «1 = 2, ûj = 4i ^54 = 3 ;
les quotients incomplets sont donc
Deuxième racine.
El =43, E, = 27, E, = 2Ô, £4=1=29, E, = 27=E,, Di = i4, D, = 26, D, = 18, D4=i4, D, = 26 = D„
les quotients incomplets sont donc
Pour que la période soit inverse de celle de la première racine, il faut la faire commencer au quatrième quotient.
2o. Théorème V. — Si a désigne la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans un nombre entier donné A qui lîest pas un carré exact, t irrationnelle \Jli se développe en une fraction continue périodique mixte dans laquelle la période commence immédiatement après le premier quotient. Le dernier terme de la période des quotients incomplets est égal à ^a^ et les autres termes de cette période forment une suite symétrique dans laquelle deux termes également distants des extrêmes sont égaux entre eux. Enfin les numérateurs et les dénominateurs des quotients^complets forment également des suites périodiques dont les périodes sont symétriques.
En effet la fraction continue égalé à \pi ne saurait être périodique simple, puisque les valeurs absolues des deux racines de l'équation x* — A=: o sont supérieures à l'unité. D'ailleurs, ces racines étant de signes contraires, il ne peut y avoir qu'un seul quotient avant la première période, dans le développement de y/A, d'après le corollaire du théorème II. Il résulte de là que l'irrationnelle y/A — a se développera en une fraction périodique simple, et la même chose aura lieu aussi à l'égard de yJK -f- a, puisque ces deux quantités sont les racines d'une même équation du deuxième degré à coefllcients entiers. Gela posé, soient
(2a, aj, a„ ..., fl^i) (2a ...) ...
les quotients incomplets de la fraction continue égale à y^An-a, la suite des quotients relatifs ky[K — a sera,
S6 couKS d'algèbre supérieuhe.
d'après le théorème III,
Mais du développement de y/A + ^ on passe à celui de ^Ken retranchant a du premier quotient; pareillement on passe de ^JÂ. — a à y(Â en ajoutant a au premier quotient ; donc la suite des quotients incomplets dans le développement de ^X peut être représentée de Tune ou de Fautre des deux manières suivantes :
«(a,, «j, ..., aj^i, na) («j, a^, ...) ...,
on voit que le dernier quotient de chaque période est égal à 2 a, et que les quotients qui précèdent forment une suite
dans laquelle deux termes également éloignés des extrêmes sont égaux entre eux.
D'après le théorème IV, si
est la suite des quotients complets relatifs à ^A-i-a^ la
suite correspondante pour —= sera
fl H- ^Â Ex, -h\/Â El 4- \/a El -4- v/Â
il est évident que ces deux suites coïncideront si Ton efface le premier terme de la première suite ; par conséquent on a Ë| =a, et, dans. chacune des deux suites,
Ej, E3, . . . , Ex:i,
D„Dj, D3, ....Dx-i,
SECTION I. CHAPITRE II. Sj
les termes également éloignés des extrêmes sont égaux entre eux. Il suit de là que la période des quotients coinplets obtenus dans le développement de ^A peut être représentée par
fl-f-jA E^-h \/A E3-I- y/Â E2 -h v'Â q-h y/Â
26. Uéquation x^ — A = o, à laquelle se rapporte le théorème précédent, appartient à une classe d'équations remarquables qu'il est intéressant d'étudier. Nous nous proposerons, à ce sujet, la question suivante :
Problème. — Trouver les équations du deuxième degré à coefficients rationnels dont les racines se déve^ loppent en des fractions continues terminées par les mêmes quotients.
Si X désigne l'une des racines d'une telle équation, l'autre racine (n** 15) devra être de la forme
ax -f- b
ajb, a' y b' étant des entiers positifs ou négatifs liés par la relation
(i) ab' -^ba'z=±u
Cela posé, soit — P la somme des deux racines, on aura ^ a.T -f- b
p -f- Jî •+■-—-—.-, =0
ou
a:* -4- PH — .r H ; =0,
ce qui doit être l'équation demandée; mais, pour que la
58 COURS d'aLGÈBR]£ SliPÉRIEl^HB.
somme des racines soit efTectivement égale à — P, il faut que Ton ait
après quoi la condition (i) donne
L'équation demandée est donc
P est une quantité rationnelle quelconque , a est an nombre entier quelconque, enfin a! est un diviseur quelconque de a^ ± i .
Les fractions continues dans lesquelles se développent les racines de l'équation (2) ont donc nécessairemeot la même période; d'un autre côté, d'après le théorème III, la période de l'une de ces fractions continues est inverse de la période de l'autre. lien résulte que chaque période est une suite symétrique ou qu'elle est formée par la juxtaposition de deux suites symétriques, dont l'une peut se réduire à un seul terme. En* effet, soit
la période dont il s'agit ; d'après le théorème III, on pourra aussi considérer la période comme étant
Il peut arriver que les termes de cette seconde suite soient respectivement égaux aux termes qui occupent les mêmes rangs dans la première ; dans ce cas, la période est symétrique. Mais, pour que les deux suites dont il s'agit puissent être considérées comme périodes de la même fraction continue, il n'est pas nécessaire que les termes de
SECTION I. CHAPITRE II. Sg
même rang soient égaux, car on est libre de prendre un terme quelconque pour origine de la période. La condition nécessaire et suffisante est que les termes de la suite précédente soient égaux aux termes qui occupent respectivement les mêmes rangs dans la suite
m étant un indice indéterminé. Cette condition s'exprimera donc par l'égalité
quidoitavoirlieupourtouteslesvaleurso,i,2, ...,(/i — i) de l'indice k ; en conséquence la période sera composée des deux suites
l«Of ^1» •••1 «//i-l) {««n flw-l-l» •••1 «»-l)»
dans chacune desquelles les termes également éloignés des extrêmes sont égaux entre eux.
Remarque I. — Il faut remarquer que les racines de l'équation (2) donnent lieu à des fractions continues qui se terminent par les mêmes quotients, lors même que la quantité P serait irrationnelle. Seulement, dans ce cas, ces fractions continues ne sont plus périodiques d'après le théorème II.
Remarque II. — Nous savons que l'équation (2) comprend comme cas particulier l'équation x^ — A = o, où A désigne un nombre entier. Pour la réduire à cette forme, il faut faire P = o et
:A ou «'*A — a* = ±i\
ce qui prouve que l'équation indéterminée
6o couKS d'algèbre supérieure.
admet toujours des solutions entières, si le signe du second membre est convenablement choisi. Nous retrouverons plus loin cette propriété remarquable.
Comparaison des réduites qui répondent à des quotients complets égaux entre eux, dans une fraction continue périodique.
