p (ces 0) -+- / Sin G
on aura
/{z]—Cop"^[cos{mo> \- xq) H-/sin(/w» -h ào)J -+-••• 4-C;„-,p [ces (w -I- ctfn-i) -+- '■ sin (« -f- a^^i)] -hC;„(cosa„i+/sin«;„);
en faisant, comme précédemment, il viendra
Pr rCop'"COs(/7ÎW 1 ao) l-...-;-C;„lpC0s(w -\- Otn^i) H- C;„ COSa.^,
Q .: Cop"'sin(mw-f-ao) H- ... -+-C;„ipsiii(» -h «;„,) -h C;„sina«i
et, en désignant par Q' la dérivée de Q par rapporta /9, on aura ainsi
(3) Q' --mCop'"'~*sin(/7iw4-ao)-h . . . -h C;n-isia(w-J-a;„-i].
Quelle que soit la valeur de co, on peut faire
TT
(4) /?!»-+- ao^^K h/wt,
K étant un entier et me étant un angle compris entre
Si K est un nombre impair 2Â:-h i, les formules (a) et (3) deviendront
(— i)*P — — Cop'"sin/w£4-..., '^ ^ (— i)*Q -- -hCop'"cos/»f -h .. .,
(- i]*Q' ^: -f. mCop^^-^cos/».- 4- . . ..
Digilized by
SSCTION t. — CHÂPITtlE lit. l3l
Soit 9 un angle positif déterminé, inférieur à y — et
aussi petit d^ailleurs que Ton voudra; on pourra assigner une quantité positive /* telle, que dans chacun des polynômes
ztCop'"sinmô -4- Cj p'»-^ -h ... -h C,„i p + C;,^, . d: Co p'^cosmô -+- C, p'~-* -h ... -h C;„, p -t- C^, ±:/wCop'"-*cos/wô-4- (m — i)Cip"'-* + ... -h C^-i
le module du premier terme soit supérieur à la somme des termes suivants, pour toutes les valeurs de o supérieures à r; nous supposerons que la valeur choisie pour p soit supérieure à cette limite.
Cela posé, e étant compris entre — j^ et -h y — ? si cet
angle tombe en dehors des limites — 0 et -+- 0, la valeur absolue de sinme sera supérieure à sin mO, et, en conséquence, le module du premier terme du second membre, dans la première formule (5), surpassera le module de la somme des termes suivants ; donc P ne peut s'annuler que si e est compris entre — 0 et -h 6. Mais, pour les valeurs de e comprises entre — 0 et 4-0, le premier terme du second membre, dans chacune des deux dernières formules (5), est supérieur au module de la somme des termes qui suivent; par conséquent ( — i)*Q et ( — i)*Q' sont positifs. Alors le polynôme ( — i)*P décroît constamment ( n° o2) quand e croît de — 6 à -f- 0 ; ce polynôme a d'ailleurs le signe -t- pour e = — 0, et il a le signe — pour e = 4- 0; donc il s'annule une fois, et une fois seulement, quand e croît de — 0 à -H 0. On voit aussi que ( — i)*P passe en s'annulant du positif au né-
gatif, et, comme ( — i)*Q reste positif, le rapport^
s'annule une fois en passant du positif au négatif.
i32 COURS d'algèbee supérieure.
Si K est un nombre pair 2/1, la première des formules ( 5 ) devra être remplacée par
(— i)*P— -hCop"*cos/n€-^ . ..;
on a évidemment cos me }>sinw0, et, en conséquencr,
la fonction P ne s'annule pas quand e varie de — --
Maintenant, si Ton veut décrire la circonférence entière
de rayon p, il sera nécessaire et suffisant de donner à
l'entier K, dans la formule (4), 4^^* valeurs consécutives
quelconques, par exemple o, i, 2, 3» . . ., (4'w — i). A
chacune des 2w valeurs impaires de K répondra une
valeur de e comprise entre — ô et H- 0, pour laquelle le
P rapport - s'annulera en passant du positif au négatif. On
a donc, pour le cercle considéré, A = 2 m, et, comme le rayon p peut être choisi aussi grand que l'on voudra, on voit que ;
Une équation du degré m a précisément m racines.
Transformation des équations,
57. Le problème général dont il s'agit ici consiste à déduire d'une équation donnée,
une nouvelle équation dont les racines aient avec celles de la première une relation donnée. Le cas le plus simple est celui où chaque racine u de l'équation demandée est exprimable par une Jonction rationnelle donnée d'une racine z de la proposée, c'est-à-dire par une fonction égale au quotient de deux fonctions entières f{^)t^[^j*
«ECTION I. CHAPITRE ITI, l33
On a alors
Si l'équation proposée est du degré m, elle aura m racines z^y Zt, . . ., Zm^tj et il en résultera, pour iz, m valeurs correspondantes uo, W|, . . ., u„i , d'où Ton peut conclure que Téquation en u doit être, comme la proposée, du degré m. Nous reviendrons, dans la deuxième Section de cet ouvrage, sur l'importante question de la transformation des équations ; ici nous nous bornerons à examiner le cas particulier où les polynômes c& (z ) et 4» (2) sont du premier degré ; la formule ( 2 ) devient alors
a, ft, a'y h' étant des constantes données. On tire de la formule (3)
a — au
et, en substituant cette valeur de z dans l'équation (i), on obtient l'équation demandée, savoir :
Jà'u-b\
il ne reste plus qu'à chasser les dénominateurs, pour mettre cette équation sous la forme
(5) . F(ii)=o,
F(u) désignant une fonction entière de n.
11 faut remarquer que la transformation exprimée par la formule (3) peut être réalisée en exécutant successivement plusieurs transformations plus simples qui se présentent très-fréquemment dans l'Algèbre. En eifet,
l34 COUHS d'algèbre SIJPÉRIEUItE.
si a! n'est pas nul, la formule (3) peut être mise sous
la forme
hn! — ab'
•et l'on voit qu'elle résulte de l'élimination de z' z"^ z^ entre les quatre équations
-, ba! — àb* -,
2 = TTi « 1
Lorsque a' est nul, la formule (3) résulte de l'élimination de z' entre les deux
Il résulte de là que les trois formules
qui sont comprises dans la formule générale (3), expriment des transformations élémentaires dont la combinaison produit le même effet que la transformation linéaire la plus générale.
58. La transformation u = az di pour objet de former une équation dont les racines soient égales à celles de la
SECTION I. CHAPITRE III. l35
proposée multipliées par un nombre donné a ; Téquation proposée élanty(z) = o, la transformée sera
/(^) = o ou /(;)=o.
en écrivant z au lieu de u.
On peut toujours supposer que le coefficient de la plus haute puissance de z dans f{z^ soit égal à i ; alors si, dans l'équation proposée,
/(*) — o ou 2'« -f- Al 3'"-* H- ... H- A;„i z + A^ = o,
les coefficients A|, Aj, . . . , A^ sont des nombres commensurables ou des expressions algébriques de forme fractionnaire, la transformation précédente permettra de ramener ces coefficients à la forme entière, en disposant convenablement de l'indéterminée a. Eflfectlvement, après avoir chassé les dénominateurs, la transformée devient
s^-hAïaz'^-^-hAja'z'^-^-^ . . . -4- A;„^i a'»-> z -h A;„ a"» = o,
el il suffira, pour remplir l'objet demandé, de donner à a une valeur telle, que les produits A^ a^ ne renferment plus de dénominateur.
Il faut remarquer le cas de a = — i ; alors la transformation a pour objet de changer les signes des racines de Inéquation proposée. Pour avoir la transformée en — ;: de l'équation y*(z) = o, il suffit de changer les signes de tous les termes de degrés impairs ou, si l'on veut, les signes de tous les termes de degrés pairs. En faisant le premier changement, si l'équation est de degré pair, el le deuxième, si l'équation est de degré impair, le premier terme sera toujours le même dans la proposée et dans la transformée.
59. La deuxième des transformations élémentaires dont il a été parlé plus haut, savoir i^ = -^ a pour objet
Ç^oo^z
i36 COURS d'algèbre supérieure.
de former une équation dont les racines soient les inverses des racines de la proposée. Si celle-ci est
(1) Ao 2'" -4- A, 8'«-» -4- . . . A«.-, « H- A;„ = O,
la transformée s'obtiendra en remplaçante par-> ou, si
Ton veut, par-*, faisons ce changement, multiplions en-
suite par z'^y et ordonnons par rapport aux puissances descendantes de z, il viendra
(2) A««'»-4- A;„-.iz'»-* -4- . . . -hAjî -f- Ao = o.
C'est ici l'occasion de présenter une remarque importante relativement aux racines qui peuvent devenir infinies. Supposons que les coefficients
Ao, A,, Aj, . . ., A,„
dépendent d'une quantité t susceptible de recevoir diverses valeurs, et que, pour la valeur t= fo, les modules des n derniers coefficients deviennent nuls. Alors, parmi les m racines de l'équation (i), il y en a /i qui se réduisent à zéro pour ^ = to, et par conséquent les modules de leurs inverses deviennent infinis ; donc, quand t tend vers la limite to, les modules de n des m racines de Téquation (2) tendent vers l'infini; à la limite, cette équation (2) se réduit au degré m — /i, et elle n'a plus que m — n racines finies.
60. Il peut arriver que les équations (i) et (2) du numéro précédent coïncident. Dans ce cas, l'équation proposée est dite réciproque; l'inverse d'une racine quelconque est aussi une racine.
D'après ce qui précède, siy(z) = o est une équation
SECTION T. CHAPITRE IFI. iZy
réciproque du degré m, on aura idenliquement
). étant un facteur indépendant de z. Faisant ^ = -f- i , puis z = — I , il vient
Siy(i) ety( — i) ne sont pas nuls, c'est-à-dire sif[z) n'est divisible par aucun des binômes z -h i, z — i , on voit que \ = i et que le degré m de Téquation est un nombre pair 2|ùi. L'identité
(i) /(.) = zV/(l)
montre que Ton a alors
en sorte que les coefficients de deux termes également éloignés des extrêmes sont égaux et de même signe.
Supposons maintenant que F(^) = o soit une équation réciproque pouvant admettre les racines -f- i et — i , et soit
(3)' F(3) = (z-iK(z + .)»/(^).
f{z) n'étant pas divisible par z±i; il est évident que réquationy*(-z) = o est réciproque, et en conséquence le premier membre y (-z) a la forme indiquée par la formule (2). Maintenant, à cause des formules (i) et (3), on a ridentité
F(z) = (— i)Ps»î*+a»-»-7f(- ) ;
il en résulte que, si p est pair, les coefficients des termes également distants des extrêmes dans F (z) sont encore
i38 cori\s d'algèure supérieuhe.
égaux et de même signe. Mais, lorsque p est impair, les coefficients des termes également distants des extrêmes sont égaux et de signes contraires; dans ce dernier cas, lorsque q est impair, l'équation proposée est de degré pair, et le terme du milieu doit avoir un coefficient nul.
61. Les équations réciproques sont susceptibles dVibaissenient, c'est-à-dire que leur résolution peut se ramener à la résolution d'équations de degré moindre. Gomme on peut touj.ours supposer qu'une équation réciproque ait été débarrassée des racines -h i et — i qu'elle peut avoir, elle sera nécessairement d'un degré pair 2|x, et l'on pourra lui donner la forme
Ao (^•'-+- i) -+- Al U-' -^ ~ ) -t- ... + A,.i [z-^l^-^ k^ = y
Gela posé, si l'on fait
et généralement
puis que l'on multiplie V„i --z"-* H- -^^ parj!r=r:H — î on trouvera
ou On a
Vi^x, Vo--.:2,
et, en faisant usage de la formule précédente, on pourra exprimer successivement V2, Vj, V4, . . . par des fonctions de x\ il est évident que V« sera une fonction en-
SECTION I. CHAPITRE IH. I Sg
tîère de x du degré n. On trouve
D'après cela, l'équation proposée pourra être ramenée à une équation du degré |x en jc, et les racines z de la proposée seront données par la formule générale
z' — jrz H- 1 - - o, d'où
Il faut remarquer aussi que le premier membre de l'équation proposée est égal au produit
jco, jfi, . . . , Xy^i désignant les ^ racines de l'équation en X.
62. La transformation « = z -h a a pour objet de former une équation dont les racines soient égales à celles de la proposée augmentées d'une quantité donnée a ; l'équation proposée étanty*(z) = o, la transformée sera f(u — a) = o ou f[z — a) = o, en écrivant z au lieu de i/. Si l'on ordonne par rapport aux puissances de Zj cette transformée sera
On pourra disposer de l'indéterminée a de manière à faire évanouir Tun, des termes de cette équation. Ainsi Ton fera disparaître le terme en z"*"* si l'on détermine a
par l'équation
//«-i(>a)==ro.
lyfo coms n'ALafeBTiK supiSniF.niF.
Supposons, par exemple, que Téquati on proposée soit
on a
•^^ = 3z«-^2Pz-hQ,
L'équaliony'''(z) = o donne ^ = — -=; sî donc on yeut
P faire disparaître le terme en z^, il faudra prendre a = r-
Les formules .précédentes donnent
J P\ aP» PQ ^
et la transformée sera
