La transformation linéaire générale exprimée par

la formule

az -^ h h' u — b

a — an

fournît le moyen, à cause des indéterminées a, i, . . ., de faire disparaître deux termes d'une équation. Considérons, par exemple, Téquation du troisième degré,

2» -I- Pz* -h Qz -h R = o;

la transformée en 11 sera

Ao a* -4- A| w* -h A, m- A3 = o,

SECTIOJX I. CHAPITRE III. l4x

en posant, pour abréger,

Al =: // [ — 3fjb' -+- P (ab' -h ^a' ) — Qaa' ]

-\- a' [Pbb' — Q [ab' -^ba')-^ 3Rûfl'],

A^= — b['^3bb' -hV(ab' -+-ba')—qaa''] — a [Pbb' — Q {ab' -h ^a' ) -+- 3Rao'],

A, rii — ^»» -+. Pflft* ~ Qa* ^ -h Ra».

Déterminons maintenant les arbitraires a et a' de manière que l'on ait

comme on ne peut admettre que ab' — ba' soit nul, puisqu'alors u ne dépendrait pas de z, les deux équations précédentes se réduiront à

— 3^^' 4- P [ab' -\-ba')-- Qaa' = o, Pbb' — q[ab' ^ba')'h 3Raa' = o;

si on les résout par rapport kbb' elab' -^ ha! ^ on trouvera

bh' 3PR — Q« £ y PQ — ç)R aa'^ pi—SQ"' û "^"^ ~ "" P«— 3Q '

en conséquence, - et -7 sont les racines de l'équation du deuxième degré

(P*- 3Q) f*- (PQ - 9R) f -+- (Q«~ 3PR) = o

Désignons par t et d les racines de cette équation et pary(z) le premier membre de l'équation proposée; les quantités a et a restant indéterminées, nous ferons a'z=.a= — 1; la ti*ansformée en u se réduit alors à

t43 COVRS d'aLGÈBBE SVPéRtBtRË.

ses trois racines seront exprimées par la formule

et celles de la proposée seront données par la suivante :

(/fin

Cette formule peut être ramenée à une expression plus simple, mais nous n'insisterons pas sur ce sujet, qui sera plus tard Fobjet d'une étude approfondie ; il nous suffit ici d'avoir montré comment la transformation linéaire peut conduire à la résolution générale des équations du troisième degré. Ajoutons que la même transformation fournil aussi la résolution générale des équations du quatrième degré, car elle permet de faire disparaître la première et la troisième puissance de l'inconnue, au moyen d'une équation du troisième degré. La proposée se trouve alors remplacée par une transformée que l'on sait résoudre, puisque celle-ci peut être abaissée au deuxième degré.

SECTION 1. CHAλITRE IV. l43