DES ÉQUATIONS SIMULTANÉES ET DE L^ ÉLIMINATION

De l'élimination,

64. Après avoir exposé les propriétés générales des fonctions entières d'une variable et des équations à une seule inconnue, nous devons parler des fonctions entières de plusieurs variables et des équations algébriques simultanées.

Une fonction entière de plusieurs variables est un polynôme entier et rationnel relativement à chacune des variables, et Ton nomme équation algébrique toute équation qui peut être ramenée à la forme V = o, V désignant une fonction entière.

Un système de n équations algébriques admet, en général, comme on le verra, un nombre limité de solutions, quand le nombre des inconnues est égal à n. Mais, si ce dernier nombre est seulement n — i , les équations proposées n'admettront point de solution, à moins qu'une certaine équation de condition ne soit satisfaite : les procédés par lesquels on parvient à former cette équation de condition constituent ce qu'on nomme Vélimination, et l'équation obtenue est dite équation finale.

Supposons que l'on ait n équations algébriques entre n inconnues

et que ces n équations soient satisfaites par les valeurs

l44 COURS d'algèbre SUPÉIIIKURE.

simultanées

regardons z comme une quanllté connue, les équations proposées ne renfermeront plus que n — i inconnues; elles admettront d'ailleurs un système de solutions communes si l'on donne à ^ la valeur de a; donc Téquation finale en z obtenue par l'élimination de Zj , Zj, . . . , z„^^ entre les proposées devra admettre la racine a. D'après cela, on peut dire que V équation Jinalc qui résulte de T élimination de n — I inconnues z^, Za» • • • ? ^n-^t entre n équa^ tîons, contenant en outre l'inconnue z, a pour racines les dii^erses ^valeurs de z qui concourent, auec des valeurs con\^enables des autres inconnues, à former les systèmes de solutions des équations proposées.

Il faut remarquer que l'élimination n'a pas d'autre objet que la formation de l'équation finale ; la résolution d'un système d'équations simultanées constitue un problème distinct. A la vérité, pour traiter ce dernier problème, on peut et l'on doit même en général faire usage de l'élimination ; mais on conçoit aussi que l'on puisse aborder la solution par d'autres voies.

Sur le nombre des termes que peut contenir une fonction entière d'un degré donné.

65. Considérons d'abord une fonction homogène et entière des n •+- i variables

et du degré m. Si cette fonction est la plus générale de son degré, elle renfermera tous les termes qui, abstraction faite d'un coefficient constant, seront de la forme

*•* *» • • • */« •'«-ri »

SBCTTON I. CHAPITRE IV. l45

la somme des exposants «i , «2» • • • > ^//+» étant égale à m. Le nombre total des termes dont il s'agit est précisément celui des combinaisons complètes m à m des n 4- i letti*es ^o ^3> • • • t Zn^\ j combinaisons dans lesquelles une même lettre peut figurer plusieurs fois. On sait que le nombre de ces combinaisons complètes est égal au nombre des combinaisons simples de /i 4- /w lettres m à m, et voici d'ailleurs comment on peut établir l'égalité de ces deux nombres. Supposons que l'on ait écrit toutes les combinaisons complètes des n+i lettres ^oZs, . . .,z„^i,mà/n, de manière que dans chacune d'elles l'indice d'une lettre ne soit jamais supérieur à l'indice de la lettre suivante ; désignons par  l'ensemble de toutes ces combinaisons. Supposons que l'on ait formé en même temps toutes les combinaisons simples des 72 + /'ï lettres Z|, ^a, ..., Zn.^jnyfn à m, de manière que dans chaque combinaison les indices des lettres forment une suite croissante, et désignons par B Tensemble de ces combinaisons . 11 est évident que si , dans chaque combinaison B, on retranche respectivement les nombres o, i,2,3, . . ., (w — i) des indices des lettres successives, on obtiendra une combinaison A; réciproquement, chaque combinaison A se changera en une combinaison B, si l'on augmente respectivement les indices des lettres successives des nombres o, i , a, 3, . . ., (m — i) , D'ailleurs, par l'opération dont il vient d'être question, deux combinaisons diilérentes de l'un des systèmes A et B se changent en deux combinaisons nécessairement distinctes ; donc les deux systèmes renferment le même nombre de combinaisons . 11 résulte de là qu'une fonction entière et homogène du degré m dépendant de n-^i variables a, dans le cas le plus général,

termes.