A (g. sup,^ l. lo

l4<^ * COURS d'algèbre SUPÉTllKTIllE.

Si, dans cette fonction homogène, on pose z„^i = i, on obtiendra la fonction entière la plus générale de n variables et du degré m; le nombre total des termes d'une telle fonction est donc aussi représenté par l'expression précédente.

66. Nous désignerons généralement par le symbole N(7i, m) le nombre des termes contenus dans la fonction entière la plus générale de n variables et du degré m; on aura alors

le second membre de cette formule ne change pas quand on échange entre elles les lettres n et m, car on peut lui donner la forme

on a donc aussi

L'expression (i) se réduit à i pour n = o, et la même chose a lieu à Tégard de l'expression (2), quand on y fait m = o ; on a donc

(3) N(0,W)=:I, N(AI,ol-rI,

ce qui est conforme à notre définition du symbole N (/2, m) ; on doit admettre que les formules ( 3 ) subsistent quand on fait m = o dans la preniicre, et /i = o dans la seconde, et nous aurons

N(o, o)l=i, ce qui exprime simplement une convention. Enfin, dans

SECTION I. CHAPITRE IV. l^J

ce qui va suivre, rentier m pourra recevoir des valeurs négatives, et nous conviendrons que, pour de telles valeurs, on a

lors même que n aurait la valeur zéro.

Si Ton remplace m par m — i dans la formule (2), on aura

et par suite, en supposant n > i,

-ml \ lat \ ('W H-l) f/W -|-?.)...(/»-4- 72 — l)

li /7, /?l)—N 71, /W— I ==^ i-i o ( \ "

on

Cette formule a été établie dans l'hypothèse de m positif et de 71 > I ; mais, d'après notre définition du symbole N, on reconnaît qu'elle subsiste quand m est nul ou négatif, et quand n est égal à i . Si l'on y remplace m successivement par 7», m — i, m — 2, — , [m — /Wf 4- i), et qu'on ajoute les m^ équations résultantes, il viendra

N (/i, /w) — N (/!, /w — /Wj) irrN (/ï — I , m) -+• N (/f — i , m — i ) -h . .. -hN(/ï — I, m — /?j| -i-i),

formule qui subsiste évidemment, quel que soit le nombre entier m^ supposé positif.

Si l'on pose

la formule précédente pourra s'écrire comme il suit :

cr

i48 couBs d'algèbre supérieure.

le signe \ du second membre indiquant qu'il faut donn

successivement à /uii les valeurs o, i, ?.,... , (w| — i) dans Texpression N ( w — i , m — ^i^ ), et l'aire ensuite la somme des résultats.

Soient m2y m^y . . . , nik des nombres positifs quelconques, et posons encore

A;;i3 ^m, ^m^ ^ ( ''. ''^ ) = '^/ii, ^m, N ( W, /^O — ^m, *^//i, N ( /?, W — w/,

Si l'on suppose que k ne soit pas supérieur à «, on aura, en appliquant successivement À' fois le théorème exprimé par la formule (5),

le signe N exprimant qu'il faut faire la somme de toutes

les valeurs que prend N [n — k, m — a, — u^ — . . . — u^), quand on emploie successivement tous les systèmes de valeurs nulles ou positives des indéterminées /ut|, jijt^, . . . p;t, tels que Ton ait

Le nombre des termes contenus dans le second membre de la formule (7) est ainsi égal au produit mi Wo. . .m^. Si le nombre /r est égal à n, chacun des termes dont nous venons de parler se réduira à i ou à o. Supposons qu'ils se réduisent tous à 1, la formule (7) donnera

(8) A„i„ A/;i,.-, • • -^m. N(//, ni) =z m, w,. . .m„.

Mais, pour que cette formule (8) subsiste, il faut que la quantité m — p* — ^j. — ... — p,o qui ligure sous le

SECTION I. CHAPITtlR tV. l49

signe \ dans la formule (7), ne soit jamais négative, et la condition pour qu'il en soit ainsi est

(9) m = ou > (mj — i) -i- (mj — I ) H- . . . -j- (m„ — i).

Si cette condition n'est pas satisfaite, comme les indéterminées fXf, iJi2y ' • varient de o à 777| — r, de o à ma — I , . . . , respectivement, la somme p , -f- uo -H . . . -f-p/i prendra au moins une fois chacune des m -|- i valeurs 0, I, 2, . . ., m; donc, dans le second membre de la formule (7), où Ton suppose Â" = 71, il y a plus de m termes égaux à I , et Ton a alors

(îo^ ^,„^ A;„^,. . .A,„. N(/7, m) >m.

67. J'établirai encore ici une inégalité qui nous sera utile dansce qui va suivre, et que l'on conclut très-facilement des formules (4) et (6). Le nombre que représente le symbole N n'étant jamais négatif, il en est de même des expressions dont la valeur est fournie par la formule (7) ; alors les formules (4) et (6) nous donnent

Ainsi on aura généralement

en changeant m en m — mj^, et en écrivant dans le second membre

au lieu de N (w, m — m^), on aura >-(/,, TO-/7ï;t)>A^,,...A;„.N(/i,./n)-A„„...A;„.N(/?,/;0. Cela posé, on a l'identité

N(«, m — /Wj) =rN (/i, m) — A,„,îî(//, ^i), ei eu. donnant à à les valeurs 2, 3, ... , /v, dans rinégalilc

iSo cocus D*ALGEBRE s^périeuhe.

que nous venons d'obtenir, il vient

N[/i,m — /W;t)>A,„,,. . .A,„,N(», m) — A,„,. . .Am, N(/i, /n).

Si l'on ajoute ces inégalités avec Tégalité qui les précède, on aura

N (//,./« — m,) -h N(/î, m — m,) -h. . .-h N(/i, m — mte)

ce qui est le résultat que nous avions en vue. Il faut remarquer que le signe ]> n'exclut pas ici l'égalité.

Du nombre des termes d'une Jonction entière, gui ne sont pas divisibles par des puissances données des variables,

68. Soit V une fonction entière et complète du degré m des n variables

et cherchons combien il y a, dans le polynôme V, de termes qui ne sont divisibles par aucun des monômes

mi, ma, ..., m^ étant des exposants entiers quelconques dont le nombre h est égal ou inférieur à n*

Si mi est inférieur à m, la partie de V qui est divisible par z'^» est égale au produit de ce monôme par une fonction entière du degré m — m^, laquelle doit être un polynôme complet, car autrement la fonction V ne serait, pas complète ; donc le nombre des termes de V qui.sout

SECTTON I. — CHAPITRE IV. 101

divisibles par ^7* ^st

et ce résultat subsiste quand nti est supérieur à m, puisqu'alors Texpression précédente est nulle. Il résulte de là que le nombre des termes de V«qui ne sont pas divisibles par z'"* est

ou, diaprés notre notation,

Am.N(«, m).

Représentons, pour un moment, par cTT!» («, m) le nombre des termes de Y qui ne sont divisibles par aucun des monômes

la partie de V qui est divisible par ^J'* est le produit de zfK par une fonction entière du degré m — m^t, et dans cette fonction il y a i)b (ti, m — w^) termes qui ne sont divisibles par aucun des monômes s^S • • • » ^i^r' î ce nombre exprime aussi combien il y a, dans V, de termes qui ne sont pas divisibles par les mêmes monômes, mais qui le sont par 2?*. Il résulte de là que le nombre des termes de V qui ne sont divisibles par aucun des monômes

est égal à

X(/^ m] — 5b(w, /n — niig)

n:i, si Ton veut, à

Mais nous avons vu qu'il y a, dans la fonction V, ^//*,N(/i nij termes non divisibles par z'J**; donc il y en a

i52 COURS d'algèbre supérieure.

A/«, ^m, N («, m) qui ne sont divisibles ni par^^i ni par z'^' ; pareillement A^^ ù^^ A„^ N (n, m) est le nombre des termes non divisibles parTun des trois monômes 2:7», cj'% z7S et ainsi de suite, en sorte que TexpressioD

représente le nombre des termes de la fonction V qui n*admettent pour diviseur aucun des monômes

lied ucf ion d' une fonction entière de plusieurs quantUcs assujetties à satisfaire à un pareil nombre d'équations données.