Soient

h équations algébriques des degrés respectifs m^ ,m2 ,.,.jm^ enti*e les variables

dont le nombre n est au moins égal à k,

INous supposerons non-seulement que ces équations soient complètes, mais encore que les coefficients de cliacune d'elles demeurent indéterminés, en sorte qu'il ne puisse exister entre eux aucune relation. Cela posé, nous établirons la proposition suivante :

Soit S une fonction entière quelconque des variables Zi , ^2, . . . , il sera toujours possible de tirer des équations (i) les valeurs des puissances

qui saronf ainsi exprimées par des fonctions entières ne

SECTrON T. CnAPTTBE IV.

contenant ^i , 32> • • • > ^A qu'avec des exposants inférieurs à THi , 77«2, . . . , jukrespectii^ement. En outre^par la substi" tution de ces ^valeurs, on pourra Jaire disparaître de la Jonction S tous les termes divisibles par l'un des monômes {11),

Cette proposition est évidente quand le nombre h est égal à l'unité; dans ce cas le système (i) se réduit à une seule équation de laquelle on pourra tirer la valeur de ^7*î la substitution de cette valeur abaissera le degré de S ; si ce degré reste supérieur à m^ , de nouvelles substitutions pourront évidemment le réduire au-dessous de mi . Au surplus, la réduction peut être opérée immédiatement en divisant S par V| ; si Ton désigne par — T| le quotient de cette division et par S' le reste qui est de degré inférieur à mi, on aura

en sorte que, pour atteindre le but proposé, il suffira d'ajouter à S le produit T|V|.

Lorsque le nombre h est supérieur à i , si les degrés /7/{ , ma, . . . y mk des équations (i) sontégauxentre eux, on voit tout de suite que Ton pourra résoudre ces équations par rapport à -z'"S ^TS • • • > -/T* > puisque nous leur supposons la plus grande généralité possible ; mais on aperçoit moins facilement, même dans ce cas particulier, la marche qu'il faut suivre pour faire disparaître de la fonction S les termes divisibles par l'un des monômes (2). Le procédé est pourtant le même que dans le cas de Â" = i; mais il faut l'appliquer d'une manière convenable, afin qu'aucune des substitutions qu'on exécute ne fasse reparaître des termes déjà disparus par des substitutions précédentes.

Quels que soientle nombre A" etles degrés /W| , Wa ,...,/?/;{ , je dis qu'on peut trouver des polynômes T| , Ï2, . . . , Ta

l54 COURS d'algèbre SUPÉRlRURi:.

tels que la somme

ne renferme plus aucun terme divisible par l'un des monômes (2); j'ajoute qu'en général ces polynômes ne seront pas complètement déterminés et qu'ils pourront en conséquence être choisis de plusieurs manières différentes. En efièl, désignons par m le degré de la fonction S et prenons pour T|» Ta,..., T* les fonctions entières les plus générales des degrés respectifs

nt — /?2j, m — /Wj, . . . , fn — m^.,

chacune de ces fonctions devant toutefois être réduite à zéro, lorsque le nombre qui doit exprimer son degré est négatif.

Le nombre des coefficients arbitraires contenus dans le premier membre de la formule (3) sera évidemment

( 4 ) ISin, m — m^) -f- N [ /i, /w — /w j ) ^- . . . -f- N ( //, w — nij,);

d'ailleurs ce premier membre est un polynôme complet du degré m qui renferme N («, m) termes, al parmi ceux-ci il y en a (n*' 68) '

qui ne sont divisibles par aucun des monômes (2). Le nombre des termes de l'expression (3) qui sont divisibles par l'un des monômes (2), termes que nous voulons faire disparaître, est donc

Or on a vu au n** 67 que le nombre (4) n'est jamais inférieur au nombre (5); donc les arbitraires contenues dans la formule (3) seront toujours en nombre suffisant pour l'évanouissement de tous les termes divisibles par l'un des monômes (2).

SECTION I. — CHAPITnE IV. JOD

La fonction S est quelconque ; si on la réduit successivement aux monômes (2), on voit, par ce qui précède, que chacun de ces monômes sera exprimable par une fonction entière qui ne contiendra les variables ^i , Zj, . . . ,x:a qu'avec des exposants inférieurs à /W|, m^y^^nik respectivement.

Elimination de n — i inconnues entre n équations algébriques, — Tliéoreme de Bezout relatif au degré de V équation finale,

70. C'est en partant des considérations qui précèdent que Bezout est parvenu à établir, comme nous allons l'expliquer, le principe fondamental de la théorie de l'élimination.

Soient

n équations algébriques des degrés m^j mj, . • . , nin respectivement et contenant n inconnues

nous supposerons, comme au n" 69, que chacune des équations proposées est la plus générale possible, et qu*il n'existe aucune relation entre les coefficients.

Considérons les n — i premières équations (i); d'après ce qui a été dit au n° 69, on pourra tirer de ces équations les valeurs de

et ces valeurs seront exprimées par des fonctions entières qui ne renfermeront les inconnues ^i, Z2, ..•♦ ^/i-i qu'avec des exposants inférieurs à mi, /«a,. . ., nin^i respectivement.

COtn\S D ALGEBRE STÎPKllTEURE.

Cela posé, soit T;, un polynôme complet d'un degré indéterminé que je représenterai par m — m„. Si Ton multiplie par T„ la dernière des équations (i) qui est du degré niny elle deviendra

et je dis qu'on peut réaliser l'élimination des n — i inconnues Z|, Zj, . . ., Zji^^y par le moyen des arbitraires contenues dans T„ et avec le secours des n — i premières équations (i). Les arbitraires ayant été ainsi déterminées, l'équation (2) deviendra l'équation finale et le nombre m exprimera son degré.

Le premier membre de l'équation (2) est un polynôme complet du degré m, et il renferme , en conséquence, N (71, m) termes; mais quand, au moyen des n — i premières équations (i), on aura fait disparaître (n** 69) tous les termes divisibles par l'un des monômes

il n'en restera plus que

A//i„-.-.-Am,^n.N(/l, m);

par conséquent, pour que l'élimination puisse s'exécuter, il faut que, par le moyen des arbitraires contenues dans T„, tous ces derniers termes disparaissent, à l'exception des 777 -4- I qui ne renferment que la seule inconnue rr^. Ainsi le nombre des termes qu'il faut faire évanouir est

(4) ^«„-.. • .Am,A,;,.N(/7, m) — (m 4- i).

Le polynôme T,, étant complet et du degré m — 771,,, il renferme N (71, 772 — 7^^„) termes; mais le nombre des coefficients dont on peut disposer pour l'élimination est beaucoup moindre. En effet, il est évident qu'avant d'effectuer le produit T«xV,i, qui doit former le premier

SECTIOW 1. CHAPITRE IV. lôj

membre de Téquation (a), rien n'empêche de faire disparaître de T« tous les termes divisibles par Tun des monômes (3); il ny aura d'arbitraires dans T„ que les cucfUcients des termes restants dont le nombre est

en sorte que, pour plus de simplicité, on doit supposer tous les autres nuls, puisqu'il est possible de les faire disparaître. Enfin on peut choisir arbitrairement Tun des coefficients du polynôme T^ ainsi réduit, car cela revient à multiplier l'équation [9.) par une constante; donc le nombre des arbitraires utiles pour l'élimination est seulement

On voit d'après cela qu'on pourra faire disparaître les inconnues z^y Z2, . • ., Zn-t de l'équation (2), en résolvant simplement un système d'équations du premier degré entre un pareil nombre d'inconnues, si les expressions (4) et (5) sont égales entre elles. En écrivant que CCS expressions sont égales, il vient

OU

or, le second membre de cette formule n'étant pas supérieur à m, il est nécessairement égal au produit m^m^. , .nifiy d'après la formule (8) du n** 66; car la condition (9) que suppose cette formule sera évidemment remplie. On a donc

et l'on peut dès lors énoncer le théorème suivant : Le degré de l' et/ nation finale {/ai résulte de l'eUnii-

i58 COURS d'algèbre supérieure.

nation de n — i inconnues entre n équations à n inconnues est égal au produit des degrés de ces équations, lorsque celles-ci sont complètes et que leurs coefficients demeurent indéterminés.

71 . La démonstration que nous venons de présenter repose sur ce fait, que les coefficients arbitraires du polynôme T;, sont complètement déterminés par les équations du premier degré auxquelles ils doivent satisfaire. Or, bien que le nombre de ces équations soit égal à celui des arbitraires, et que les équations proposées aient la plus grande généralité possible, on pourrait craindre de se trouver ici dans Tun des cas d'incompatibilité dont l'existence est bien connue ; il est facile de montrer qu'il n'en peut être ainsi.

En effet, supposons que les équations proposées se réduisent à

a étant une constante donnée. Dans ce cas, on a

et la fonction qui réalise l'élimination peut être déterminée a priori. Si, en effet, on pose

m m ^=z /Tij wîj . . ./W;i, fn =r — 9

le polynôme T« aura pour valeur

car, en employant cette valeur de T„, on a

ou, à cause des n — i premières équations proposées,

Il est évident que, si l'on applique à ce cas particulier la méthode générale du n° 70, on obtiendra cette même valeur- de T« que nous venons de former ; il en résulte que les équations qui déterminent T;, ne peuvent offrir d'impossibilité en général, puisqu'elles n'en présentent pas quand on donne certaines valeurs particulières aux coefficients des équations proposées.

Nous ajouterons encore une remarque fort importante. Le raisonnement du n° 70 a conduit, par l'élimination de n — I inconnues entre n équations, à une équation finale dont le degré est égal au produit des degrés des équations proposées ; mais on peut se demander si ce degré ne serait pas susceptible de s'abaisser par l'évanouissement de quelques termes, ou s'il ne serait pas possible, en suivant une voie diff'érentej^ de déduire des équations proposées une équation finale de degré moindre. Il est aisé de voir qu'il n'en est rien, tant qu'il s'agit d'équations générales; effectivement, dans l'exemple que nous venons de considérer, on reconnaît a priori que l'équation finale est

et son degré est égal au produit des degrés des proposées. Or ces dernières sont comprises dans les équations générales du n^ 70 ; donc l'équation finale qui en résulte est nécessairement comprise dans l'équation finale qui se rapporte au cas général.

On arrive à la même conclusion en considérant n équations des degrés m,, mn, , , ,, nin respectivement, dont chacune soit décomposable en facteurs linéaires de la forme

«, Zj -h a, z, -h . . . -f- a» 3„ -h a,

«1, ^2, ... étant des coefficients indéterminés. Le système de ces équations peut évidemment être remplacé par m = /7i| ma ,..m„ systèmes formés de n équations du pre-

i6o - COURS d'algèbre supérieure.

mîer degré ; chacun de ceux-ci fournit une équation finale du premier degré, et le produit des m équations finales ainsi obtenues est Téq nation finale relative au système proposé.

Dans les deux cas que nous venons de citer, il est évidemment impossible de tirer des équations proposées une équation en 2,,,

dont le degré soit inférieur à m ; donc la même chose est également impossible dans le cas des équations générales.

72. L'analyse que nous venons de développer montre qu'on n'obtiendrait pas la véritable équation finale, dans le cas où le nombre des équations est supérieur à 2, si au lieu d'éliminer les inconiiues à la fois, comme nous l'avons fait, on voulait procéder par éliminations successives; car supposons le cas des trois équations générales des degrés respectifs mj, m^, m^ entre les inconnues Z\, Z2, 23. Si l'on élimine Zi entre la première équation et chacune des deux autres, on obtiendra deux équations finales des degrés m^ m^ et m, ms, puis l'élimination de Z2 entre ces deux dernières fournirait une équation dontledegrépourraits'éleverjusqu'àwJw2ms, tandis que la vraie équation finale est seulement du degré m^ m^mi. Le cas des équations du premier degré est le seul où Ton puisse procéder par éliminations successives.

Sur la résolution des équations algébriques simultanées,

73. Lorsqu'on sait former l'équation finale qui résulte de l'élimination de n — i inconnues entre n équations données, on peut aussi, d'après une remarque due à Liouville, déterminer les valeurs des inconnues éli-

SEGTIOM I. CHAPITRE IV. l6l

minées qui répondent à chaque racine de Féquation finale. C'est ce que nous allons développer. Reprenons les n équations

(i) Vi = o, V, = o V„=ro,

des degrés respectifs m^yin^j .\ .^nin entre les inconnues Z\y Zj, . . ., z„, et supposons, comme nous l'avons fait jusqu'ici, que ces équations aient la plus grande généralité possible.

Posons

a,, «2) • • • > «/ï-f étant des coefficients indéterminés, et prenons z pour inconnue à la place de z„ ; il faudra, dans les équations (i), remplacer Zn par la valeur

2/1 = 2 — (aj z. H- aj 2, -4- . . . -l-a„, z^^^ ] ;

cette substitution ne changera pas le degré des équations, et celles-ci deviendront

(3) Ui=ro, U, = o U„ = o.

Sil'on élimine Z|, 2:2» • • «^^/i-i entre les équations (3), on obtiendra une équation finale en z dont le déparé m sera

m "=. ffi^ /Wj . . . tn^y

et qui contiendra dans ses différents termes les /i — t indéterminées (Xi, a2, . . ., «/!«. On peut chasser les dénominateurs qui seraient fonctions de «i, «2; • • • ^t, en ordonnant le premier membre par rapport à ces indéterminées, Téquation finale en z sera

(4;/{z)-^[a,Fi(z)-+-a,F,(z)-4-...H-a„^iF;,.i(z)]-+^...=:o.

On retrouvera Téquation finale relative aux équations proposées en attribuant la valeur zéro aux indéterminées s. — Alg. sup.f I. II

a; on a effectivement alors z = z„y et l'équation (4) se réduit à

(5) f(zn]=o;

mais rindétermination des quantités a va nous fournir des résultats plus étendus. Si, dans Téquation (4), on remplace z par sa valeur tirée de la formule ( a ) et que l'on fasse usage des formules connues

il viendra, en ordonnant par rapport aux a,

^ ^ ( -*-««-,[«„-!/' (3«)-hF„,(3„)]} + ...=0.

Cette équation (6) résulte de la combinaison des équations (i) entre elles, et elle est nécessairement satisfaite, quelles que soient les indéterminées a, par tous les systèmes de valeurs des inconnues susceptibles de vérifier les équations proposées. Si l'on suppose que ces indéterminées soient nulles à l'exception d'une seule a^, le premier membre de la formule (6) se réduira à un polynôme ordonné suivant les puissances de a^, et il ne pourra être identiquement nul, à moins que les coefficients des diverses puissances de «^ ne soient nuls. Ainsi, en particulier, on aura, outre l'équation (5),

pour toutes les valeurs i, a, . . ., (/i — i) de l'indice u, ce qui donnera

SECTION I. CHAPITRE IV. l63

Dans le cas particulier où le premier membre de chacune des équations (i) est un produit de facteurs du premier degré à coefficients indéterminés, Téquation (5) n'a point de racines égales, et par suite elle n'en peut avoir ùans le cas général. Donc, si Ton remplace Zn par Tune des racines de Téquation finale (5), la dérivée y'(2r„) ne sera pas nulle, et les formules (7) ne deviendront point illusoires, à moins que Ton n'attribue des valeurs déterminées aux coefficients des équations proposées.

74. La méthode précédente conduità d'autres formules qu'il convient de remarquer et qu'on obtient en égalant à zéro les termes que nous n'avons pas considérés dans la formule (6) et qui contiennent en facteur soit une puissance supérieure à la première de l'une des indéterminées a, soit un produit de puissances de plusieurs de ces indéterminées. Par exemple, si l'on représente par F^,^(z) le coefficient de a^a^ dans le premier membre de l'équation (4)> les indices 11 et v pouvant être égaux, et qu'on égale à zéro les coefficients de aj et de a,^a^ dans l'équation (6), il viendra

La seconde de ces formules (8) donne cette valeur de z^^

Les formules (8) et (9) sont plus compliquées que les formules (7); mais, quand on passe du cas des équations générales à celui des équations particulières, les formules (7) peuvent devenir illusoires, et dans ce cas les formules (8) et (9) les suppléeront. Celles-ci peuvent à

i64 COURS d'algèbre supérieure.

leur tour devenir illusoires et exiger l'emploi d'autres formules qu'on pourrait pareillement tirer de l'équation (6); mais il n'est pas utile d'insister davantage sur ce sujet.

75. Les équations ( 5 ) et (7) sont, d'après notre analyse, une conséquence nécessaire des équations proposées; soit Vji= o l'une quelconque de celles-ci, et désignons par VJ^ le résultat que l'on obtient quand on remplace dans V^, Zj, Z2v»^/i-f par les valeurs (7). La fonction V^ sera de la forme

4>^(z„) étant une fonction entière. Effectuons la division de ^^[z„) pary (z,, ) , de manière à obtenir un reste ç^ (zn) de degré inférieur à m, et désignons par Ypi(z«) le quotient de celte division, on aura

Gela posé, puisque les équations ( 7 ) résultent des proposées, il en sera de même de Téquation VJ^ = o, laquelle se réduit à

Or celle-ci ne peut avoir lieu que si f^{zn) est identiquement nul, car ce polynôme est au plus du degré m — i , et nous savons qu'on ne peut tirer des équations proposées une équation finale en Zn d'un degré inférieur à /n. La précédente valeur de V^ se réduit donc à

d'où il résulte que les équations proposées sont satisfaites

SECTION I. CHAPITRE IV. l65

par tous les systèmes de valeurs des inconnues tirées des équations (5) et (7); ce qui est la réciproque de la proposition établie au n** 74. Ainsi se trouve démontré cet important théorème :

Le nombre des systèmes de solutions communes à plusieurs équations renfermant un pareil ^nombre d'inconnues est égal au produit des degrés de ces équations, lorsque celles-ci sont complètes et que leurs coefficients demeurent indéterminés.

En particulier, deux lignes des degrés m< et m^se coupent en mi 7712 points ; trois sut faces des degrés m^^m^^ni^ se coupent en ntim^m^ points.

On dit qu'une courbe algébrique plane ou gauche est de Tordre m, lorsqu'elle est rencontrée en m points par un plan quelconque. L'intersection de deux surfaces des degrés m^ etmj est donc en général une courbe de l'ordre Wi /W2, car le nombre des solutions communes à trois équations des degrés m^ , ma et i est m^ X m,^ X i - Ainsi l'intersection de deux surfaces du deuxième degré est en général une courbe du quatrième ordre; mais il peut arriver, dans les cas particuliers, que cette courbe se réduise, soit à une courbe du troisième ordre et à une droite, soit à deux courbes du deuxième ordre, c'est-à-dire à deux coniques.

Remarque sur la méthode d'élimination de Bezout, — Méthode d'Euler*

76. La méthode d'élimination de Bezout, exposée au n" 70, consiste à multiplier l'une des équations proposées,

par un certain polynôme, et à employer les autres équa-

îGG COURS d'algèbre supérieure.

lions pour faire disparaître quelques-uns des termes contenus dans le produit; Télimination s'achève ensuite en disposant convenablement des arbitraires que renferme le polynôme multiplicateur. Mais, d'après ce qu'on a vu au n° 69, cette manière d'opérer revient à ajouter entre elles toutes les équations, après les avoir multipliées par certains facteurs ; donc, si l'on'rcprésente par

l'équation finale qui résulte de l'élimination de ^f , ^a,. .., z„^i entre les équations (i), on aura identiquement

T<, Ta,..., T^, étant des fonctions entières des inconnues convenablement choisies.

77. Dans V Introduction à V Analyse infinitésimale^ Euler a indiqué, pour le cas de deux équations, une méthode qui revient au fond à celle de Bezout. Représentons les deux inconnues par x eiy et supposons que les équations soient l'une du degré m, l'autre du degré n ; ces équations ayant été ordonnées par rapport à^, représentons par

leurs premiers membres. La méthode d'Euler consiste à multiplier respectivement les polynômes Y^ et Va par les facteurs indéterminés

• Ml = P' 7«-* -+- A V~« -h B' j"-» -f- C j"-* -f-

à exprimer ensuite que les coefficients des mêmes puissances dej^ sont égaux dans les produits Mj V| , M2 Va, et

SEGTIOir I. — CHAPITRB IV. 167

ft éliminer enfin les m-f- « — a indéterminées A, B,..., A^ B',..., entre les m-hn — i équations du premier degré

PA'+QP'=P'A+Q'P,

PB' -h QA' -+- RP' = P'B -4- Q' A 4- R'P, PC'-f-QB'H-RA'-h SP' =P'C + Q'B-f-R'A-+-S'P,

ainsi obtenues.

Les m-{-n — 2 premières des équations précédentes donnent pour les indéterminées A, B,..., A', B',..., des valeurs fractionnaires auxquelles on peut supposer le même dénominateur /^; les facteurs Mj et Ma auront donc la forme

T| et T2 étant des fonctions entières de x et y, et il est évident que notre équation finale sera

T,Vt-4-T,V, = o.

78. S'il s'agit, par exemple, d'éliminer j^ entre les deux équations du deuxième degré

on sera ramené par le procédé d'Eulerà éliminer A et A' entre les trois équations

PA— P'A = (PQ' — QP'), QA'-Q'A=— (RP' — PR'), RA'— R'A=:o,

ce que Ton peut faire en ajoutant ces équations après les avoir multipliées respectivement par les facteurs

QR' — RQ', RP' — PR', PQ'-QP';

1^8 COUnS D^LGÈBRE SUPÉRIEURE.

il vient ainsi

(PQ' — QP') (QR'-RQ')-(RP'— PR7:^o.

Si Ton tire des équations qui précèdent les valeurs des indéterminées A et A', on en conclura, comme il a été indiqué plus haut, les polynômes par lesquels il faut multiplier les équations préposées, pour obtenir l'équation finale d'après la méthode de Bezout. Ces polynômes sont respectivement

-(PQ' — QP') (P'jr4-Q') — P'(RP' — PR')

et

+ (PQ'-QP') (Pr + Q) -hPlRP'-PR').

Remarquons encore que l'équation finale peut ici s'obtenir immédiatement en résolvant les équations proposées par rapport à^ et à^*, ce qui donne