P* ^ 2P» PQ

cette équation se réduira à

Les racines de Téquation (2) sont égales à celles de réquation (i) augmentées d'une même quantité; donc, pour Tune et l'autre équation , Féquation aux différences est la même. On obtiendra celle-ci en éliminant z entre réquation (2) et Téquation

(3) 3z«-f-3iiz-t-(«*+;?)=c.

Le moyen le plus simple de fairç cette élimination consiste à retrancher les équations ( 2) et (3) l'une de l'autre après avoir multiplié la première par 3 et la seconde par z^ ce qui donne

à tirer des équations (3) et (4) les valeurs de z et z^ savoir :

tt' H- />« -h 3^ , «* — pi^ -h 97« — 2/?*

et à égaler la seconde expression au carré de la première. Posant ensuite

on obtiendra l'équation aux carrés des différences demandée, qui est

21 a COURS d'algèbre supérieure.

Remarque. — Soh/'{z) une fonction entière de z, à coefficients réels ; si l'on pose z = x -^y ^ — i et que Ton fasse

9 et (p étant des fonctions réelles, on aura aussi

/(oj ^^H7) = ^ (.r, j) — /ITT >»; (or, j).

Cela étant, si l'on considère les équations simultanées

et que Ton élimine successivement entre elles les inconnues X et J'y il est évident que l'équation finale en x ne sera autre chose que l'équation aux demi-sommes des racines de la proposée, tandis que l'équation finale en j^ sera l'équation aux quotients par 2 ^ — i des différences des mêmes racines. Effectivement, les deux équations qui précèdent équivalent aux deux suivantes :

qui expriment que x-i-y ^ — i et x — y ^ — i sont des racines de/(-z:) = o.

Sur la recherche des diuiseurs des /onctions entières d^une ^variable.

98. Toute fonction entière y(z) d'une variable z est le produit de facteurs linéaires de la forme z — z^; la recherche de ces facteurs linéaires équivaut à la résolution de l'équation y(^) = o, car la condition pour que z — Zf soit un diviseur de/ (z) esty(^i) = o. Si la fonction y(z) est du degré /n, elle admettra évidemment autant de diviseurs du degré fi que l'on peut former de

SECTION I. CHAPITRE TV. 2l3

combinaisons avec les m facteurs linéaires pris p à fx ; ce nombre de combinaisons est égal à