fA

Pour trouver les diviseurs dont il s'agit, on effectuera la division de la fonctiony(z) par un polynôme ^(z) du degré /ut, dans lequel les coefficients soient indéterminés, et Ton égalera à zéro le reste du degré ^k — i que l'on aura obtenu; on formera ainsi (ix équations qui serviront à déterminer les fji coefficients du polynôme ^{z). Si l'on veut avoir l'équation de laquelle dépend l'un de ses coefficients, il faudra procéder à l'élimination de tous les autres, et l'on trouvera une équation finale dont le degré devra être égal à M. A chacune des M racines de cette équation finale correspondra un diviseur de degré fji du polynôme y (z), en sorte que les valeurs des coefficients éliminés devront être déterminées complètement par le moyen des équations de condition.

Lorsqu'on a/ui = iou(x=m — i,le nombre M est égal à m; mais dans tout autre cas on a M>/n, en sorte qu'en général la recherche des diviseurs d'un degré différent de I ou de 772 — i dépend d'une équation dont le degré est supérieur à celui de la proposée.

Au lieu de procéder comme nous venons de l'indiquer, on peut écrire que le polynôme àonné f[z) est le produit de deux polynômes ?(^)> ^(^) des degrés /m et 77* — |x respectivement, et dans lesquels tous les coefficients soient indéterminés; on formera ainsi 77i équations de condition entre les tti coefficients indéterminés, et l'on obtiendra ensuite, par l'élimination, l'équation de laquelle dépend Tun des coefficients du polynôme ^[z].

Soit le diviseur

ai 4 COURS d'algèbre supérieure.

il est évident que — «i est la somme de fi racines de Téquation f[z)= o; donc Téquation finale de laquelle dépend — a< coïncidera avec l'équation aux sommes des racines Aef[z) = o, prises (x àji. Ainsi, en particulier, pour avoir Féquation aux sommes des racines deux à deux d'une équation ^(z) = o, il suffira d'exprimer que z^ — uz-^-q est un diviseur dey(-z:); on trouvera ainsi deux équations de condition entre u et y, et par l'éliinînation de q on conclura l'équation demandée.

99. Bien que la recherche des diviseurs, du deuxième degré d'un polynôme y (z) dépende toujours d'une équation de degré supérieur au degré àef[z), il existe un cas remarquable dans lequel cette équation s'abaisse et devient ainsi plus facile à résoudre que l'équation f{z) = o. Le cas dont je parle est celui où le polynôme / (z) est du quatrième degré.

Soit

/( z) = z* -h Pz» -f- Qz* -4- Rz H- S,

et désignons par

un diviseur àef[z). La quantité p dépendra d'une équation du sixième degré; mais je dis que, si l'on fait disparaître le deuxième terme de cette équation, le quatrième et le sixième disparaîtront aussi, en sorte que l'équation transformée ne renfermera que des puissances paires de la nouvelle inconnue p\ et qu'elle s'abaissera au troisième degré en posant p*^ = u.

En effet, désignons par Z|, z^yZ^y z^ les quatre racines de l'équation y (jz:) = o. Les six racines de l'équation enp seront

— Zi — Zj, «1 — Zj, — Z| — Z4,