CHAPITRE IV

etleur somme sera égale à — 3 (ifi -f- -^a + ^s -h ^4 ), c'està-dire égale à + 3 P. Pour faire disparaître le terme du cinquième degré dans l'équation en p^ il faut donc posçr

d'où

Les six valeurs de p' seront donc

[ — Zj — 3, H- «3

(— zi H z, ^-z, — Z4),

-f-Zi — Z,-|-Z, — Z4), -f-Z, -f-3, — Z,— Z4),

et l'on voit que ces valeurs sont égales deux à deux et de signes contraires, comme nous l'avions annoncé.

Ce qui précède conduit à une conséquence importante^ ainsi qu'on le verra dans la suite de cet Ouvrage.

Sur l'abaissement des équations.

100. Une équation/* ( z ) = o est susceptible d'abaissement lorsqu'elle ne renferme que des puissances de z dont l'exposant est divisible par un même nombre n\ effectivement, si le degré est désigné par mn^ l'équation

2\6 covns d'aloebre supérievrg.

s'abaissera au degré m en posant z" = x; nous avons vu aussi comment on peut toujours abaisser le degré des équations réciproques. Enfin on produira l'abaissement d'une équation toutes les fois que Ton parviendra, par une voie quelconque, à décomposer son premier membre en deux facteurs. Cela arrivera, par exemple, si Ton sait que l'équation f(z)=±o a des racines communes avec une autre équation F ( ^ ) = o, à moins qu'elle n'ait toutes ses racines communes avec celle-ci.

Nous sommes ici conduit à présenter une définition qui a une grande importance dans l'Algèbre.

Définition. — Une fonction entière f[z) est dite irréductible lorsqu'elle n'admet aucun diuiseur rationnel.

Une équation est dite irréductible quand son premier membre est une fonction irréductible.

Mais il nous reste à expliquer ici ce que nous entendons par diviseur rationnel, et en général par quantité rationnelle.

Si les coefficients delà fonction/ (z) sont des nombres rationnels, un diviseur rationnel est simplement celui dans lequel tous les coefficients sont des nombres rationnels.

Pour embrasser tous les cas, supposons que les coefficients àef[z) soient àe^ fonctions rationnelles de quantités quelconques j qu'on regarde comme connues; nous nommerons diviseur rationnel de f[z) tout diviseur, fonction entière de z, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des quantités connues. Généralement, toute fonction rationnelle des quantités connues sera dite une quantité rationnelle, Ddnis le cas d'une fonction dont les coefficients demeurent indéterminés, les quantités connues ne sont autre chose que les coefficients eux-mêmes.

La définition qui précède s'étend d'elle-même à une fonction entière de plusieurs variables.

Il faut remarquer qu'une fonction entière ou une équation peut être réductible ou irréductible, suivant la nature des quantités regardées comme connues. Par exemple, Féquation z^ — 2 = o est irréductible, tant qu'on ne regarde comme quantités connues que les nombres rationnels; mais, si parmi ces quantités on fait figurer les racines carrées des nombres rationnels, réquatîon se réduira, car son premier membre se décomposera dans les deux facteurs z — ^et z -h ^*

TiiéoREME. — Sif[z) = o est une équation irréductible, F(z) une fonction rationnelle, et que V équation F{z) = o admette une racine z^ de/(z) = o, elle admettra aussi toutes les autres.

Soit, en effet,

(fei^ désignant des fonctions entières ; la racitie Zt sera, par hypothèse, commune aux équations

et cela exige que le polynôme ?(-) soit divisible par f{z), car autrement il y aurait un diviseur commun à ces polynômes, et réquationy*(2) = o ne serait pas irréductible. Soit donc

on aura

et, par conséquent, Téquation F [z) = o admettra toute3 les racines àef^z) = ©•

ai8 coi]iis d'algèbre supArieure.

101. Il est quelquefois possible d'abaisser une équation dont deux racines sont liées entre elles par une relation donnée, et la voie de Télimination peut être employée à cet effet.

Soit effectivement

(0 Az) =-o

une équation du degré m, dontz, «,,..., z»,., désignent les m racines, et supposons que Ton ait entre deux de ces racines la relation

dans laquelle y désigne une fonction entière. On pourra éliminer z^ entre cette équation et Téquation

et Ton obtiendra ainsi l'équation finale en z,

Si Téquation proposée est irréductible, la fonction F(z) sera divisible par /(z) d'après le théorème du n° 100, et l'équation précédente ne sera d'aucun usage. Mais, si l'équation proposée est réductible, il pourra arriver que quelques-unes des racines de l'équation (i) n'appartiennent point à l'équation (a); dans ce cas, les pol)'nômesy(z) et F(z) auront un plus grand commun diviseur ^ (z) différent dey*(z), et l'on pourra en conséquence décomposer la fonction y*(z) en deux facteurs, l'un et l'autre rationnels, dans le sens qui a été indiqué au numéro précédent.

Supposons, par exemple, que l'équation

ait deux racines z etZf dont la sonfme soit égale à une quantité donnée a. On cherchera le plus grand commun

8BGTIOIV I. CHAPITRE IV. 3 19

diviseur (p(z) des polynômes /(^) et f(a — r), et Ton décomposera ainsi ^"(z) en deux facteurs. S'il n'y a que deux racines z et Zi qui soient liées par la relation z-f-z, =a, le polynôme ^(z) sera évidemment du second degré; il sera d'un degré supérieur à a, s'il existe plusieurs couples de racines telles, que la somme des racines de chaque couple soit égale à a; enfin il sera du premier degré, si l'équation proposée a une racine égale à

~ a, et qu'il n'existe point de couples de racines dont la

somme soit égale à a. Il peut arriver que la fonction /{^) soit irréductible; dans ce cas, l'équation proposée ne change pas quand on change z en a — 2, et je dis qu'elle est susceptible d'abaissement. En effet, posons

et

on aura

donc l'équation transformée

ne changera pas par le changement de u en — u. Si l'on supprime les racines nulles que cette équation peut avoir, elle ne renfermera plus que des puissances paires de u et on l'abaissera en posant u^ = v.

Le cas d'une équation /(z)=zo, dont deux racines sont liées par la relation zZi = a^ donne lieu à une discussion toute semblable.

220 COURS d'algèbre SUPÉRIKURE.

Il ne seira pas inutile de présenter, en terminant, Texemple d'une équation irréductible dont deux racines soient liées entre elles par une relation simple. L'équalion

qui a pour racines les doubles des cosinus des arcs — * 9

— î — » est dans ce cas; ^, z^ et z^ désignant les trois racines, on a

et si Ton forme les expressions àe f{z^)y /[z^), on trouvera

^(^' ) = - (TT^»-^(')' >'(*») = r.-^(')-

Nous nous sommes borné au cas où Ton a une relation entre deux racines de Téquation proposée. Si Ton avait, entre /ut racines, /i étant > 2, la relation

on pourrait éliminer ji — i racines en faisant intervenir f/ — I des jut équations

et il en résulterait diverses équations finales qui auraient nécessairement des racines communes avec la proposée. Mais, comme dans le cas particulier que nous avons examiné précédemment, ces équations ne seront d'aucun usage si Téquation proposée est irréductible.