PROPRIÉTÉS DES RACINES DE L'UNITÉ
Propriétés des racines de l'équation binôme ^'" = i . Des racines primitii^es et de leur nombre.
102. Nous compléterons la théorie générale contenue dans les deux Chapitres précédents, en exposant ici les propriétés des racines de l'unité, dont nous ferons un fréquent usage dans la suite de cet Ouvrage.
Théorème I. — Les racines communes à deux équations binômes, telles que
sont également racines de Inéquation
oii 6 désigne le plus grand commun dii^iseur des nombres m, etn.
Supposons, en effet, que Ton ait à la fois
a"*=:i et a'* = i;
soit m^n^ et désignons par q le quotient, par r le reste de la division de m par n, en sorte que m = ziy -h r; on aura
«'*«'+'• = I ou a'»^.a'- = i.
Mais, à cause de a" = i , on a aussi a"^ = i ; donc
D'où l'on conclut que, si /•, /•', r", . . . , 0 sont les restes auxquels conduit la recherche du plus grand commun diviseur des entiers m et ti, on aura
et, par conséquent, toute racine commune, a, aux deux équations proposées, est aussi racine de
Il est évident d'ailleurs que, réciproquement, les racines de cette dernière équation appartiennent aux deux équations proposées.
On peut aussi démontrer le précédent théorème en déterminant le plus grand commun diviseur des binômes z"^ — I , z" — I (n** 47 ) ; on reconnaît immédiatement que ce plus grand commun diviseur est z* — i .
Il résulte de là que, si m et n sont premiers entre eux, les deux équations
n'ont d'autre racine commune que l'unité, et que, si m est un nombre premier, l'équation
n'a de racine commune autre que l'unité avec aucune équation de même forme et de degré moindre.
Théorème II. — Si a désigne une racine quelconque de l'équation binôme
toute puissance de a sera aussj. racine de la même équa-lion.
L'équation
entraine, en effet,
et, par conséquent, tous les termes de la série
sont racines de Téquation proposée.
A cause de a"* =-- 1 , on a aussi
d'où il suit que la série précédente contient au plus, comme cela doit être, m quantités distinctes, savoir :
a, aS a', . .., a"*-*, a"* ou I«
Lorsque /7i est un nombre premier et que a n'est pas égal à l'unité, les m termes de la série précédente sont différents ; car si l'on avait, par exemple.
nf el n-^nf étant inférieurs à m, on aurait, en divisant par a"",
ce qui ne peut être, puisque l'équation z^=i n'a aucune racine commune autre que l'unité avec z" = i . Il en résulte cette proposition :
Théorème III. — Si m est un nombre premier, et que a soit une racine quelconque de l'équation
autre que l'unité, les m racines de cette équation seront représentées par
Cette proposition n'a plus lieu quand m est un nombre
composé, et qu'on prend pour a une racine quelconque de
mais elle aura lieu évidemment, d'après ce qui précède, si Ton prend pour a une racine qui n'appartienne en même temps à aucune équation 2" =: i de degré n inférieur à m.
Cela posé, nous appellerons racines primitives de l'équation binôme
celles des racines de cette équation qui n'appartiennent à aucune équation de degré moindre et de même forme, telle que
Si m est premier, toute racine de «*"= i, autre que i, est une racine primitive ; et, dans tous les cas, chaque racine primitive jouit de la propriété de pouvoir donner toutes les racines par ses diverses puissances.
103. Nous allons démontrer actuellement qu41 existe des racines primitives pour toute équation binôme, de degré non premier, et nous déterminerons en même temps le nombre de ces racines.
Considérons d*abord le cas où le degré de l'équation binôme
est une puissance d'un nombre premier p, et soit
/w =/?''; toute racine non primitive de l'équation
doit appartenir à une équation telle que
SECTION I. CHAPITKE V. aa5
OU 6 désigne un diviseur de p^ : mais tout diviseur de p^, autre que /;•* lui-même, doit diviser f^~^; donc les racines de Téquation précédente, et, par suite, toutes les racines non priniitwes de la proposée, doivent appartenir à Téquation
D'ailleurs toutes les racines de cette dernière appartiennent évidemment à la proposée ; le nombre des racines non primitives de celle-ci est donc ^'*~*, et, par conséquent, celui des racines primitives est
P^-P^-^ ou /'M'-J' ^" ^\~p)^
Nous allons faire connaître la manière dont sont formées les racines primitives de l'équation
(i) zP^=j,
Soient 6| une racine quelconque de l'équation
€2 une racine quelconque de
ZP =: Sj,
63 une racine quelconque de
zP = 6„
et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on obtienne une dernière équation
dont nous désignerons par Sy, une racine quelconque. Si Ton fait
(2) « == 6i S) . . . €,fc i 6ji,
S. — j4/g. sup., 1. i5
aa6 COURS d'algèbre supérieure.
cette expression de « aura p^ valeurs, puisque 6| Apy^L-^ leurs, qu'à chacune d'elles correspondent p valeurs de 62, etc., et elle donnera précisément les p^ racines de l'équation (i).
On voit d'abord que les valeurs de a satisfont à l'équation (i), car on a
6f=i, 6^=1, es' = f 5^1:7' = 1, 6^=1,
et par suite,
Il suffit donc de démontrer que les p^ valeurs de a sont distinctes. Supposons que deux de ces valeurs soient égales entre elles, que l'on ait, par exemple,
(3) 6, 6, 63 . . . 6,4 i 6pi = 61 6, Çj . . . 6,^16^;
en élevant cette égalité à la puissance p, et se rappelant que
(5) êj 6, 6, . . . 6^, = €i 5, 6, . . .6j^|
Des égalités (3) et (5) on tire
en opérant sur l'égalité (5) comme nous venons de faire sur l'égalité (3), on obtiendra
et, en continuant ainsi, on arrivera à cette conséquence : que l'égalité (3) ne peut exister à moins que les quantités 6i, 6a, . . . , 6j, ne soient respectivement égales aux quan*
tîtés 6', , S'j, . . . , o'^. D*où il suit que la formule (a) donnera effectivement toutes les racines de l'équation (i).
Cherchons maintenant quelles sont celles de ces racines qui sont primitives. Comme nous Tavons déjà remarqué, les racines non primitives deTéquation (i) sont celles qui satisfont à l'équation
Supposons donc que l'on ait
en supprimant les facteurs égaux à l'unité, cette équation se réduit à
Mais des égalités (4) on déduit
par suite, l'équation (6) exige que
Par où l'on voit que la valeur de a donnée par la formule (a) sera une racine primitive ou non primitive de l'équation (i), suivant que 6| sera différent de i ou égal à i.
De ce qui précède on peut conclure la proposition suivante :
Théorème IV. — La résolution de V équation binôme z'^=ij dont le degré m est une puissance [i d'un nombre premier p^ se ramené à déterminer une ra-cine 6% autre que V unité de V équation zP=ziy une racine 6^ quelconque de l'équation z/'=S|, puis une racine quelconque Oj de zP = 02, etc*
aaS COURS d*algèbiie supéiiieuiie.
Car on aura, par ce moyen, une racine primitive de Inéquation proposée, laquelle donnera toutes les autres par ses diverses puissances.
104. Considérons maintenant le cas général où le degré m de Téquation binôme
est un nombre composé quelconque; décomposons ce nombre en ses facteurs premiers, et soit
p^qy ... , r désignant des nombres premiers quelconques inégaux.
Écrivons les équations
désignons par 6 une racine quelconque de la première, par y une racine quelconque de la seconde, etc., par i une racine quelconque de la dernière, et posons
Cette expression de a a /n valeurs, puisque 6, y, . . . , î ont respectivement /;**, ^*. . . . , r^ valeurs; je dis que ce sont précisément les m racines de Téquation (1).
Il est d'abord évident que la précédente valeur de et satisfait à Téquation (i), car on a
et, par suite,
d'où
Il reste à prouver que les m valeurs de a sont dilTérentes.
SECTION U CHAPITBB V. 229
Supposons que deux de ces valeurs soient égales, que Ton ait, par exemple,
comme les quantités 6', /,..., 5' ne sont pas toutes égales respectivement à &\ y^^ . . . , à" y admettons que 6' diffère de d", et élevons l'égalité précédente à la puissance ^\ • .z'^, on aura
et, en supprimant les facteurs égaux à i,
mais 6' et S" étant deux racines distinctes de Téquation zP^ = 1 , elles peuvent s'exprimer par deux puissances d'une même racine primitive S; posons donc
/i' et n étant </>•*• Alors la dernière égalité deviendra
ou, simplement,
d'où il suit que 6 est une racine commune aux deux équations
et qu'elle satisfait, en conséquence, à Téquation
0 désignant le plus grand commun diviseur à p^ et nq".,,!^. Mais ce plus grand commun diviseur Q est, au plus, égal à n, et, par suite, il est inférieur à yy"*; donc S ne serait pas, comme nous l'avons supposé, une racine primitive de zP^ = i .
a3o COURS d'algèbre supérieure.
On voit par là que la formule ( 3 ) donnera bien les m racines de Téquation (i).
Gela posé, je dis que, si 6, 7, . . . , J désignent des racines primitives de celles des équations (2) auxquelles elles appartiennent respectivement, la valeur de a donnée par la formule (3) sera une racine primitive de l'équalion (i).
Si, en effet, le contraire a lieu, a satisfera à une équation
dont le degré 0 sera un diviseur de m, et il y aura au moins un facteur premier, parmi ceux de //?, qui entrera dans ô un moins grand nombre de fois que dans m ; supposons que le facteur premier p soit dans ce cas, 0 divisera p^^q", . .7-^, et, par suite, a sera racine de l'équation
on aura donc
Mais
donc
d'où il suit que 6 est racine de l'équation (4); or elle l'est aussi de la première des équations (2) ; d'ailleurs, le plus grand commun diviseur entre les degrés de ces deux équations est />•*"*; donc 6 est racine de l'équation
mais cela est contre l'hypothèse, puisque 6 représente
une racine primitive de la première des équations (2).
Il résulte de là que, si l'on ne prend pour 6, y, . . . , d
que des racines primitives de la première, de la se-
SECTION I. — CHAPITRÉ V. a3l
€onde, etc., de la dernière des équations (î), la formule (3) ne donnera que des racines primitives pour l'équation (i). Il est d'ailleurs facile de voir que, si 6, ou 7, . . . , ou î n'est pas une racine primitive de celle des équations (2) à laquelle elle appartient, la valeur de a donnée par la formule (3) ne sera pas non plus une racine primitive de l'équation (i). Supposons, en effet, que 6 ne soit pas une racine primitive de zP^ = i ; on aura alors
et, par suite,
ce qui montre que a ou 67 ... J satisfait à une équation binôme de degré inférieur à m.
On peut conclure de ce qui précède le nombre des racines primitives de l'équation (i). En effet, le nombre des racines primitives 6 est, comme on l'a vu précédemment,
p^[\ ); celui des racines primitives y est de même
(f*[i j» etc.; donc le nombre des racines primitives
a de l'équation (i) est
On peut aussi énoncer la proposition suivante :
Théorème V. — La résolution de l'équation binôme z'^ = i, où m est un nombre composé quelconque, se ramène à la résolution des équations de même forme p
on
a3a COURS d'algèbre supérieure.
et qui ont respectwement pour degrés les nombres pre^ miers ou puissances de nombres premiers qui divisent le nombre m.
lOo. L'expression du nombre desracines primitives de TéquationsT '"=:!, que nous avons obtenue, est précisément celle du nombre cp (aai), qui indique combien il y a de nombres premiers à m et non supérieurs à m. Au reste, quand on admet Texistence d'une racine primitive a, il est facile d'établir que le nombre total de ces racines est <f {m).
Soit e un entier inférieur à m; si e est premier à m^ OL^ sera racine primitive de z'"= i ; en effet, si le contraire avait lieu,' on aurait
(a*)''=i, ou a'** = i,
. ^ . . ne , ,
n étant <^ m, ce qui exige que — soit entier, puisque a est
racine primitive ; cette conséquence est inadmissible, car e est premier à w, et n est inférieur au même nombre.
Si e et m ont un diviseur commun 0, — sera un multiple de /w, et l'on aura
donc OL^ sera racine de l'équation z^ = i, et, par suite, elle n'est pas racine primitive de la proposée.
