Soit Téquation

si m est un nombre impair 2/1X + i, et que Ton divise Téquation (i) par z — i, il viendra

(2) z^^-hz^'^^-h. . .H-z»-+-z-M = 0;

on pourra transformer cette équation (2) [n? 61) en

une autre du degré /x, en la divisant par z^y et en posant

ensuite

ZH := x;

Téquation (2), divisée par z^, devient

V^ -h V^i -4- . . . -h V, -+- Vi -+- 1 = o, en faisant, comme au n^ 61 ,

nous représenterons par U^ son premier membre, en sorte que l'on aura

(3) U^ =: V^ + Vp^j -H. . . + V, H- Vj ■+■ I.

Lorsque le degré m est un nombre pair 2/1, Téquation (i) se décompose dans les deux suivantes :

la seconde se ramène à la première en changeant z en — s, lorsque n est impair; mais, si n est un nombre pair 2/:Xy on pourra lui donner la forme

et, en posant z -+- - = x, elle deviendra V^ = o.

Ainsi Téquation (i) peut toujours se ramener à des équations telles que

dont les premiers membres sont des fonctions entières de X du degré /i.

Chacune de ces équations a ses fx racines réelles. En effet, les modules des racines des équations

sont égaux à l'unité ; soit donc cos<p -h i sin^ l'expression générale des racines de l'une de ces équations, les racines de l'équation (4) correspondante seront

(cosy -h I siny] -\- (cosy -h/sin^)-* =r ^cos^.

On avuau n°61 que les trois fonctions V/,, Vn.i, V^^j sont liées par la relation

qui peut servir à former successivement les polynômes V2, Vs, . . . , en partant des valeurs

(6) Vo = 2, \,^.a:.

11 existe une relaûon pareille entre les trois fonctions U,i, tî/i-i, Uy,2; en effet, si Ton ajoute les égalités

V/i "- - -^ V n— 1 ^ n—tt

il viendra, en ayant égard aux formules (6),

et cette formule permettra de calculer successivement les polynômes Ua, U3, . . . , en partant des valeurs

(8) Uo = i, Ui=x4-i.

i09. Si l'on pose

(i) z = cosf + /sinç,

on aura

(2) a:z=:sH = 2COSy,

changeons f en (fi, et désignons par x^*\ Y^^^ ce que deviennent alors x et V„, on aura

sin/î -î^ ^ smn ~

sin — sm ^ ^

Si l'on fait tendre (f i vers y, le second membre de cette formule tendra vers la limite /i— v — -i d'ailleurs x^*^ — x tendant vers zéro, le premier membre a pour limite la

238 couus d'aloebrb supérieure.

dérivée V'„ du polynôme V;, ; on a donc

Sî l'on désigne de même par V^^*^ ce que devient V^ quand on change (p en f i, on aura

sin/i«i sin/if

V;^*^ - V; n ~sii^i slny"^

x(*) — je 2sinf| sinf cos^i — cosç '

le second membre de cette formule est égal à l'expression

Bin ^ ' sm ~ ~

sin(n,)?lZ^ sin(/,-hi)?i-±^

sm -î^ sm ^^ î

multipliée par y-; : — > et, quand ^4 tend vers la

limite (f , il tend vers la limite

n[n -f- 1 ) sin (/î — i ) y — n{n — 1 ) sin (/i -+- 1 ) 9 4sin'f

n ces© sm/?(p tî'

2 sm'f smf 2sm*f

si donc on désigne par V), la deuxième dérivée du poly-

SECTION !• — CHAPITRE V. nZg

nôme V;i, on aura

,., „• 'î cos® sinwo /î* 5 V„ = - -r-~ -T— ^ ^7- COS/lf.

Si l'on remplace, dans celte formule (5), cos/z^ et—: — par les valeurs tirées des formules (3) et (4), qu'on mette ensuite -au lieu de coscp, il viendra

(6) (x*-4)V;-4-:rV;-,i«V„ = o;

cette équation permet de former facilement l'expression générale du polynôme V/i.

Effectivement, on reconnaît immédiatement, par les formules (5) et (6) du n** 108, que V« est un polynôme du degré n dont le premier terme a pour coefficient l'unité, et qui ne renferme que des puissances de x dont les exposants sont pairs ou impairs, suivant que n est pair ou impair. On peut donc poser

V„ = Ao^c» -h A, .r«-« -f- . . . 4- Ap-, jr«-«/»+« + ApX^'-^P -f- . . . ,

le premier coefficient Ao étant égal à i . On tire de là

V;,= iiAo .r'^' -♦-... H- (/î — 2/?) Apaj^-^P-' -+-.,.,

-\-(n — 7.p) [n — 7.p — i) Apx'^-^P-^ '\' . ., ,

et en substituant dans l'équation (6) les valeurs de V;,, V„ et V* , le coefficient de or^'^^sera

[n — ^p)[n — ip — i) -+-(« — 2/?)

Ap — 4 {1— a/'-l-a) (/i — 2/7+ i)Ap-,

— ^P[^ —P) Ap — 4 (» — 2/> -h 2) (« — 2/? -h i) Ap«| ;

24o COURS d'algèbue supérieubb.

mais ce coefficient doit être nul : on a donc

(n — 9.p -4- ?■) in — ?77 -h i)

Celte relation conduit aisément à l'expression générale de Ap ; car, le coefficient Ao de x^ étant égal à i , on a

/J(n-p) in — 2/3-1-4) (/î — 2/? -h 3)

En multipliant toutes ces égalités et supprimant les facteurs communs, il vient

. n'n~p—\)(n—p—7.),,.{n—2p-h^){n — 2»H-i) Ap = i- i)" , ., , -- - -^ i

la valeur de V„ est donc

. ^i'L-ll] .^.-4 ri{n-^){n- 5}

1 Yn — r'^ — njr"-^ H •r'*-* i ^-^- -' a:»--« -

, ^^n[n-p—\]'n-p—'j],..[n—op-^7.](n-^iip-^l)

On peut obtenir de diverses manières Texpression du polynôme V,, que nous venons de former; la méthode que nous avons adoptée ici a l'avantage de pouvoir être employée utilement dans un assez grand nombre de questions analogues.

On tire de la formule (7)

(8) iv;=x'.--"-^x"-» + l^iii-'->f"-±ii .»-....,

SECTION I. GHàPITRE V. 2ifl

et sî l'on remplace dans les formules (7) et (8) x, V^ \\ parles valeurs tirées des formules (2), (3), (4)) on

obtiendra les valeurs de cosnf et de -;; — exprimées par

des fonctions entières de cosç, savoir :

If ^^ cos/zf = a'*"* cos'*^ — 2'*~'«cos'»— *ç -h a*»"* — ces"-* y — . .. 1*2

1sinn9 ,^, „ , „. 71 — 2 „. — : — ' = a***"* cos""'? — 2*»—» cos'*"^» smo» I .0)/ +^»-. (iLzillI^l:^) cos-,-. ..

Enfin, en changeant <f en cy, dans les formules (9)

et (10), on en obtiendra deux, autres que feront connaître

^ ^ cosy

. cos/zo . . . .

pair, et smno si 72 est impair.

L'expression du polynôme V» conduit facilement à celle de Un. Effectivement, nous avons trouvé

en effectuant la. division, il vient

S. — -*^/^. 5If/>., I.

on aura aussi, en changeant n en 7i + 1,

et, en ajoutant,

c'est-à-dire '

on aura donc, par la formule (8),

ll„ = .r" -+- .r'*-i — ./;«-« — x»"»

Démonstration d'une propriété remarquable de l'é^

quation = o, où /; désigne un nombre pre^

mier.