Lorsque p est un nombre premier, Téqualion

est irréductible. Cette importante propriété est utile

dans un grand nombre de questions, et nous nous proposons de Tétablir ici. La démonslration que nous allons présenter repose sur les deux lemmes suivants :

Lemmb I. — Si un polynôme Ti.fonction'de x, à coefficients entiers du degré ni et dans lequel le terme le plus élevé en x a pour coefficient V unité, est divisible par le polynôme X| du degré n, dans lequel le terme le plus élevé en x a pour coefficient l'unité et dont tous les coefficients sont rationnels, ceux-ci sont nécessairement des nombres entiers.

En efl'et, désignons par X2 le quotient de X par X|,

X = XlXty

et si X| contient des termes fractionnaires, réduisonsles au même dénominateur, sauf le premier x". Soit aV- D ce dénominateur, aV- étant la plus haute puissance de l'un des nombres premiers qui en sont diviseurs. On aura (n« 13)

X',, X*, X'J' étant des polynômes à coeflGcients entiers, le premier du degré n et les deux autres au plus du degré n — 1 . Il faut bien remarquer que XJ' n'est pas nul, conformément à notre hypothèse-, la même chose aura lieu pour X'", à moins que Ton n'ait D = i . On aura, en opérant d'une manière semblable,

Le produit X| X2 se réduisant à un polynôme dont tous

q44 cours d'algèbre supérieure.

les coefficients sont entiers, il faudra que le* terme

— '-^ soit nul, parce que les autres coefficients ne

contiennent en dénominateurs que des puissances moins élevées de a. Donc Tune des quantités X", et X^ sera nulle; or ce n*est pas X', puisque, par hypothèse, le facteur aV- entre dans les dénominateurs de X| ; donc on a X'!| = o. La même chose peut se dire des facteurs premiers qui entreraient comme diviseurs dans les coefBcients de Xf . Donc le quotient X2 ne renferme aucune fraction et doit être un polynôme entier. Mais maintenant le quotient de X par X2, dont les coefficients sont entiers, étant égal à X|, les coefficients de X| doivent être entiers, puisque le premier terme de X est égal à x'^ et que le premier terme de X2 est égal à x^~^.

Le MME IL — Si, dans un poljnôme X de degré quelconque, le terme le plus éle\fé en x a pour coeffi^ dent l'unité, que tous les autres coefficients soient des entiers divisibles par un nombre premier p, et enfin que le terme indépendant de x soit égal à ±p^ réquation

sera irréductible.

En effet, si cette équation n'est pas irréductible, on aura

X= (xi^ + fl, jH^-' -H . . . -H û^i X -I- /ï^) (.r" -+- *i ^»-* -h . . . -h ^^4 jT -f- 6,),

ai,a2,...; il, J2V étant des coefficients entiers et |i, v étant des exposants entiers égaux ou supérieurs à i dont la somme /x -f- v est égale au degré de X. Le dernier terme

de X étant égal k ztp, on a a^b^=±p; en outre, comme p est premier, l'un des nombres a^, b^ doit être égal à dz I et l'autre k ±p; nous supposerons

On a identiquement, par hypothèse,

OU

{^'^,..-^a^^.r±i)l.T--^,.,-^b^^.Tdzp)z=x^-*-'-hpx{^),

X{^) étant un polynôme à coefficients entiers; on peut supprimer le terme dz p dans le second facteur du premier membre, et il vient alors

Xii^y étant un polynôme à coefficients entiers. Le terme le moins élevé en x dans le premier membre est ± iy^jx; donc il faut que i^, soit divisible par/? ; on peut alors supprimer le terme iv-i^ dans le second Acteur du premier membre ; il vient alors

En continuant ce raisonnement, on voit que tous les coefficients i,, i2,..., i» sont divisibles pary7, et l'on a, en conséquence,

[x^ -f- û,x«*-» -I- ... -+- a^^a:±ï) j:*= xI*+' -+- ;?;^v ( J^),

)j,(jc) étant encore un polynôme à coefficients entiers. Or cela est impossible, puisque le coefficient de x'' dans le premier membre de la formule précédente est égal à dz i ; donc l'équation

X = o est irréductible.

^46 COURS d'algèbue supÉansunB.

Théoeèhe. — L'équation

zP — I

ohp désigne un nombre premier, est irréductible.

En effet, posons z=a:-f- i; Téquation que nous considérons deviendra

ou

Cette équation en x est irréductible, d'après le lemme qui précède; donc la proposée est elle-même irréductible. Les deux lemmes démontrés plus haut suffisent pour établir le théorème plus général que voici :

«Si p est un nombre premier et que fx soit un entier quelconque, l'équation

zP^—\

est irréductible.

En eff'et, posons z = x -h i ; on aura

1^[x)y,,,y jf;,(j:),..., étant des polynômes à coefficients entiers. On aura donc aussi

SECTioir I. — CHAPITRE V. a47

les coeflicients de xi^) étant entiers. On a d'ailleurs, pour z = if

donc, d'après lelemme II, l'équation /(j: -4- i) = o est irréductible; par suite, la proposée y (z) =o est ellemême irréductible.

a48 COURS d'algèbre supérieure.