DE LA SÉPARATION DES RACINES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES
De la résolution numérique des équations.
111. La résolution numérique des équations, dont nous allons nous occuper, comprend deux problèmes distincts, savoir : la séparation des racines et le calcul numérique de ces racines. Les propositions que nous développerons dans ce Chapitre se rapportent exclusivement au premier des deux problèmes dont nous venons de parler.
On dit qu'une racine réelle d'une équation est séparée, lorsque l'on connaît deux nombres qui la comprennent et qui ne comprennent entre eux aucune autre racine. Quant aux racines imaginaires, leur séparation sera effectuée lorsque, conformément aux idées qui ont été développées dans le Chapitre III, on sera parvenu à renfermer chacune d'elles dans un contour fermé qui n'embrasse aucune autre racine. La définition qui précède ne suppose pas que les diverses racines soient simples ; cependant, dans le cas des racines multiples, la séparation n'est complète que si le degré de multiplicité de chaque racine est déterminé. Au surplus, cette remarque n'a qu'une médiocre importance au point de vue des applications; car la résolution d'une équation qui a des racines multiples se ramène toujours (n^ 50) à celle
SECTIOW I. CHAPITRE VI. 249
d'une OU de plusieurs équations qui n'ont que des racines simples.
Dans ce qui va suivre, nous supposerons toujours les polynômes que nous aurons à considérer ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de la variable. En outre, il ne sera question que d'équations à coefficients réels, à moins que nous n'avertissions du contraire.
Limites des racines réelles d'une équation à coefficients réels,
H2. Le procédé général que nous avons l'ait connaître au n" 46, pour obtenir une limite supérieure et une limite inférieure des modules des racines, donne en particulier des limites des racines réelles. Mais, quand on ne considère que ces dernières, on peut obtenir souvent des limites plus resserrées.
Soit
une fonction entière de la variable x, dans laquelle les coefficients soient des quantités réelles données, et proposons-nous de trouver une limite supérieure des racines positives de l'équation
c'est-à-dire une quantité supérieure à la plus grande racine positive.
Le coefficient Ao étant supposé positif, si tous les coefficients qui suivent sont positifs, l'équation n'aura point déracines positives; soit donc A„ le premier des coefficients négatifs, et désignons par A la valeur absolue de celui de ces coefficients négatifs qui a la plus grande va-
25 O COURS D^ÀLGÈBKB SUPÉHIEURE.
leur absolue. Comme la quantité
— A ^ h A («''■-" -H- *'^"""* -H . . . -4-ar-f- l)
est identiquement nulle, onpeutTajouter à l'expression def(jc) et celle-ci devient alors
^^^m-«+l Li»-! (^ ,) A.1
Cette formule montre que Ton a f{x) > o, pour toutes les valeurs de x qui satisfont à la condition
et, par suite, pour toutes les valeurs de x, telles que
On tire de là, si re = i ,
Ao
et, si n est supérieur à i ,
la quantité ï ■+- t- ou i-h i/ — - est donc une limite su-
périeure des racines positives.
Pour avoir une limite inférieure des racines positives,
on changera x en - et Ton déterminera comme précédemment une limite supérieure des racines positives
SECTION I. — CHAPITKE VI. aOI
de Téquation transformée. Enfin, pour avoir des limites des racines négatives, il suffira de changer a: en — x et de chercher des limites pour les racines positives de la transformée.
113. La méthode précédente se résume, comme on le voit, par une règle uniforme qui est applicable dans tous les cas ; mais cette règle fournit souvent des limites fort éloignées des racines extrêmes ; aussi le procédé suivant doit-il être employé de préférence.
Supposons d'abord que le premier membre de l'équation proposée fi^x) = o se compose d'un ou de plusieurs termes positifs suivis de termes tous négatifs, et soit n le degré du dernier terme positif; on pourra écrire
f ( j:) et ^ ( j?) désignant des polynômes dans lesquels tous les coefficients sont positifs. Par hypothèse, la première des fonctions
f(.r) 4WVj
ne renferme que des puissances positives de j?, et il n'y a, dans la seconde, que des puissances négatives. La première de ces fonctions est donc croissante avec x, tandis que la seconde est décroissante. Il résulte de là que si rinégalité
est satisfaite pour une valeur de a:, elle le sera aussi pour les valeurs plus grandes. Par conséquent, pour avoir une limite supérieure des racines positives, il suffira de substituer à X une série de nombres croissant à partir de zéro, et le premier de ces nombres qui donnera un résultat positif sera la limite cherchée.
aîa cotjus d'algèbre sup^^.rikuee .
Maintenant, considérons une équation quelconque f{x) = o ; le premier terme que nous supposons positif peut être suivi d'un ou de plusieurs autres termes positifs ; réunissons à ces termes tous ceux qui sont négatifs pour en composer un polynôme F(x); on aura
ç (x) ne renfermant que des termes positifs et F (jc) élant une fonction du genre que nous venons de considérer plus haut. Il suffira évidemment, pour remplir l'objet demandé, de chercher une valeur de x qui rende F (x) positive, ce à quoi Ton parviendra en substituant à x, dans F(a:), une série de valeurs croissantes à partir de zéro.
On peut encore arriver au résultat cherché, en partageant le premier membre de Téquation proposée en divers groupes, formés chacun d'un ou de plusieurs termes positifs suivis de termes négatifs de degrés moindres, et en cherchant une valeur de x qui rende positifs les polynômes contenus dans ces différents groupes.
Nous n'avons eu ici en vue que la recherche d'une limite supérieure des racines positives; mais, d'après ce qui a été dit au numéro précédent, c'est à ce problème que se ramène la détermination des autres limites.
Exemple. — Considérons l'équation
On peut décomposer le premier membre dans les deux parties suivantes :
Pour jr=45, la première partie est nulle, et la deuxième partie est évidemment positive ; donc 4^ ^^^ ^^^ limita
SECTION I. — chapithe VI. a53
supérieure des racines positives de Féquation proposée. La méthode du n° 1 12 donnerait 929 pour limite.
En changeant a: en -5 on obtient la transformée
le premier membre de cette équation, changé de signe, peut être décomposé dans les deux parties
l47-îP*-+-928.r* — 36.r* — 7 SX*, ^Sx — I,
qui sont positives toutes deux pour j: = -, d'où il résulte que*3 est une limite inférieure des racines positives de la proposée.
Si Ton change x en — x dans la proposée et dans la
transformée en-» on obtient deux nouvelles équations,
dont les premiers membres peuvent s'écrire comme il suit :
X*(l47.'^'— 928^? — 36) -h 72ar*H- 45.r-|- i;
le premier polynôme est positif pour a: = ou >3 et le second pour x = ou > 7.
11 résulte de là que les racines positives de l'équation proposée sont comprises entre 3 et 4S^ et que les racines
négatives le sont entre et — 3.
il 4. Méthode de Newton. — Cette méthode, dont l'emploi offre souvent quelque avantage, repose sur la proposition suivante :
Soient
la suite formée par une fonction entière du degré m
254 COURS D^LGÈBRE SUPÉRIEURE.
et ses dénuées successii^es. Si pour une valeur a attribuée à X ces fonctions sont positiv^es^ elle,s le seront aussi pour toute valeur a -h h de x supérieure à a.
Il suffit évidemment de considérer la première fonction f{x), et la. proposition énoncée résulte immédiatement de Tégalité
tous les termes du second membre étant par hypothèse
positifs, on a
Il suit évidemment de là que l'équation y ( or) = o n'a aucune racine supérieure à a.
D'après cette proposition, pour avoir une limite supérieure des racines de réquationy(x) = o, on formera la
suite
On déterminera un nombre Xo qui rende /'^^*(x) positive, ce qui est facile, puisque cette fonction est du premier degré. Si aucune des fonctions qui précèdent^"*"* (x) n'est négative pour x = Xo, on pourra prendre x© pour la limite cherchée. Si, au contraire, en remontant la suite que nous considérons, on rencontre une fonction qui soit négative pour a: = x©, on prendra une valeur Xt supérieure à Xq qui rende la même fonction positive. Pareillement, si, pour cette valeur Xt , Tune des fonctions qui précèdent celle dont nous venons de parler est négative, on prendra une valeur Xa^Xi pour laquelle la même fonction soit positive, et ainsi de suite. On arrivera infailliblement par ce procédé à une valeur de x pour laquelle la fonction y (x) sera positive ainsi que toutes ses dérivées : cette valeur sera la limite cherchée.
SECTION I. CHAPITRE VI. a55
Après ce qui a été dit au n** H2, il est presque superflu d'ajouter que la méthode précédente peut être appliquée A la recherche de la limite inférieure des racines positives, ainsi qu'à celle des limites des racines négatives.
Exemple. — Reprenons Téquation qui a été considérée au numéro précédent. On a
/(x) r^x*— 45.r*-4- fjlx^-h- 36jp*— 97.8 .r — î47. — ^^=5.r*— i8o:r*4-2l6.r*-f-72.r— Q28,
— — ^ = io.r*— 270x' + 2i6jr-|- 36,
= lox* — l8o.r -f- 72,
\ry =r 5j7 — 45.
La valeur a: = 9 annule y*'^( a: ), maïs toute valeur supérieure rend cette fonction positive ; la dérivée précédente, /'"{oc), est positive pour a: = 18, mais la même valeur rend f'\oc) négative. Cette dernière fonction devient positive pour a: = 27, et f\x)y qui est alors négative, devient positive pour a:= 36. La valeur a: = 36 rend f{x) négative, nîaisy(a:) devient positive pour a:= 44- On peut donc prendre 44 pour limite supérieure des racines positives.
Théorème relatif aux résultats de la substitution de deux nombres quelconques à V inconnue,
115. Théorème. — Soient f(x) = o une équation à coefficients réels, x© e^X deux quantités réelles quelconques. Le nombre des racines de l'équation f[x) =0 comprises entre les quantités Xq et X est pair ou impair suivant que les résultats f[xo)t f{X.) obtenus en s ub-
stiluant Xq et IL à x dans le polynôme f[x) sont de même signe ou de signes contraires; zéro est regardé comme un nombre pair. En particulier^ si f{xo) et /(X) sont de signes contraires, V équation f (x) = o û au moins une racine comprise entre Xq et X.
En effet, supposons le polynôme /(a:) décomposé en facteurs linéaires. Nous savons que si, parmi ces facteurs, il y en a |ui égaux à x — (/? H- ^ \l — 1)> il y en a aussi fi qui sont égaux à x — [p — q yj — i)*, le produit de ces 2/:x facteurs est la puissance de degré fx du polynôme [x — p)^-hq^ y lequel reste positif pour toutes les valeurs de X. Si donc on désigne par F{x) le produit de tous les facteurs linéaires imaginaires def(x)f on aura
/[x) = F[:r) (ar— JTi) (^ — :r,) . . .(^ — ^,J,
F{x) restant toujours positif. On a, d'après cela,
/(j^ __ Ff.rJ -r, — x^ .r„— .rj -^n — ^n,
le premier facteur '^ est positif, et l'un des facteurs
suivants, tels que ':^ — — > ne peut être négatif que si la ra-
cine x^ est comprise entre Xo et X. Donc la valeur de
-jr— est positive ou négative, suivant que l'équation
f{x) = o aun nombre pair ou un nombre impair de racines comprises entre x© et X. Dans le premier cas, f(xo) et/(X) sont de même signe; dans le deuxième cas, ces quantités sont de signes contraires.
Corollaire I. — Toute équation de degré impair a au moins une racine réelle de signe contraire à son dernier terme.
SECTION I. CHAPITRE VI. nSj
On suppose, dans cet énoncé, que le premier terme de l'équation proposée f{x) = o a un coefïîcient positif. Si le dernier terme de cette équation est négatif et que Ton nomme X une limite supérieure des racines positives de Téquation y( j:) = o, les résultats f{^), f{o) seront de signes contraires; îl y a donc une racine positive, et, s'il y en à plusieurs, elles sont en nombre impair. Si le dernier terme de l'équation y*( a: ) = o est positif, on changera x en — x, et, la transformée étant écrite de manière que son premier terme ait un coefficient positif, le dernier terme sera négatif; on rentre dans le premier cas.
Corollaire II. — Toute équation de degré pair dont le dernier terme est négatif a au moins une racine positiveetau moins une racine négativ^e.
On suppose encore ici que le premier terme de l'équation proposéey( x) = o ait un coefficient positif. Si l'on nomme X une limite supérieure des racines positives de réquationy(a:) = o, les quantités/(X),y(o) seront de signes contraires ; donc l'équation a un nombre impair de racines positives, et par conséquent elle en a au moins une. Ce raisonnement s'applique aussi à l'équation /( — x) = o; donc la proposée /(jc) = o a un nombre impair de racines négatives.
Tliéorème de Descartes,
1 16. On dit que deux termes consécutifs d'une fonction entièrey(j:) à coefficients réels offrent une variation, quand ils ont des signes contraires ; deux termes consécutifs qui ont le même signe oflrent une permanence. Cela posé, l'importante proposition connue sous le nom de 2%éoreme de Descartes repose sur le lemme suivant :
Lemme. — Sif[x) désigne une fonction entière et S. — Alg* sup.f I. 17
^58 COURS d'algèbre SUPéniEURE.
que a soit une quantité positis^e^ le nombre des varia^ tions contenues dans le produit [x — a)f[x) surpassera d^une unité au moins, et toujours d^un nombre^ impair y le nombre des variations def[x).
En effet, ordonnons la fonctiony(a:) par rapport aux puissances décroissantes de x et posons
f[x] = (PoX'»-h...) - (P, ^r'". -f....) H- (P,x'».+...) — . .. H-(-l)«(P„.r'«.H-...),
en écrivant entre parenthèses tous les termes consécutifs qui ont le même signe ; le nombre des variations de f{x) est évidemment égal à n. Multiplions y (x) par x — a, et écrivons d'abord le produit par x ; il viendra
^/(:r)==(Poa:'«+»+...)~{Pj;r'«.+*^-...)-^(P,.r"'.+»-h.. .)-....
Pour déduire de ce résultat la valeur du produit [x — a) f[x), il faut lui ajouter — af[x). Or je dis qu'après cette addition les signes des termes dont les degrés sont respectivement m-f-i, m<-hi, ma-hi,..., 771;, -f-i seront restés les mêmes. Cela est évident pour le premier de ces termes, puisque le produit — af[x) n'est que du degré m. Quant au terme du degré /w<-f-i, il pourra être modifié, parce que — àf[x) peut renfermer un terme du même degré; mais ce terme, s'il existe, est le produit par — a du dernier des termes contenus dans la première parenthèse àef[x)y et, par conséquent, il est négatif; donc le signe du terme de degré mi-h-i dansxy(j?) ne sera pas changé. Pareillement, si — af[x) peut donner un terme du degré m2-f-i, ce terme est nécessairement le produit par — a du dernier des termes contenus dans la deuxième parenthèse de /(x), et il a le signe +y comme le terme semblable du
SECTION I. — CHAPITIUS VI. sSq
produit xf[x). Il est évident que le même raisonnement s'applique à ceux des termes suivants que nous considérons. Mais le dernier terme de — af[x) est de signe contraire au terme de degré /n/j-h i qui figure dans xf(x)^ et il ne peut se rédjiire avec aucun de ceux contenus dans ce produit. Donc^ dans le produit (x — ^)f{^)y les termes dont les degrés sont m-f- i,m<-|-i,ma-f-i,... mn-\- 1 et le dernier terme auront alternativement les signes H- et — ; il y a par conséquent au moins /i-f- 1 variations dans ce produit. Il peut y en avoir davantage ; mais comme y en passant d'un signe -h à un signe — ou inversement, on rencontre nécessairement un nombre impair de variations, il est évident que, si le produit (x — a)f[x) a plus de tîH-i variations, il en aura 2^4-/14-1, 2 A: désignant un nombre pair.
117. Le lemme que nous venons d'établir nous donne immédiatement le théorème de Descartes, qui consiste dans la proposition suivante :
Théorème. — Dans une équation quelconquCy le nombre des racines positii^es ne peut pas surpasser le nombre des variations du premier membre; et, quand il est moindre, la différence est toujours un nombre pair.
En effet, sohf{x)= o l'équation proposée. Décomposons le polynôme/(x) en ses facteurs linéaires; désignons par F[x) le produit des facteurs qui répondent aux racines imaginaires ou négatives, et soient a^ a2vy a» les racines positives. On aura
/(a:)=Y(x) (or — «i) (or — a,) . . .(ar— fl,).
L'équation F(j?) = o n'ayant pas de racines positives, le premier et le dernier terme de F{x) sont de même signe, et en conséquence le nombre des variations
26o COURS d'algèbre SUVÉRIEURT5.
de ce polynôme est un nombre pair a A" qui peut se réduire à zéro.
Le polynôme F[x) ayant a A: variations, le produit F{x) {x — ai) en aura 2Â<-hi, d'après la proposition précédente, ki étant égal ou supérieur à k. Pareillement, le produit F(j:)(j: — a«)(a: — Oa) ^^^ aA-a^-a variations, et ainsi de suite, de manière que le dernier produit, qui est égal kf[x)y aura 2A'; + v variations, Av étant un entier positif ou nuL
Corollaire. — Dans une équation quelconque, le nombre des racines négatii^es ne peut pas surpasser le nombre des ^variations de l'équation transformée en — X, et, quand il est moindre, la différence est toujours un nombre pair.
118. Le théorème de Descartes a pour complément la proposition suivante, qui n'en est au surplus qu'une conséquence :
Théorème. — Si une équation a toutes ses racines réelles, le nombre des racines positivées est égal au nombre des variations, et le nombre des racines négatii^es est égal au nombre des variations de la transformée en — X,
Considérons les différences entre le degré de chaque terme d'une équation de degré m et le degré du terme suivant. Parmi ces différences, il peut y en avoir qui soient des nombres impairs : je les désignerai par
a/-, -f-i, a^'2 + ï» •••» a/jt-f-i;
quant aux différences qui sont égales à des nombres pairs, je distinguerai celles qui répondent à deux termes de signe contraire de celles qui se rapportent à deux termes
SECTION I. CHAPITRE VI. a6l
de même signe. Je désignerai les premières par
2/11 -+- 2, 2/ij + 2, . . . , 2/iv -♦- 2, tandis que les autres seront représentées par
Comme ilya/LAH-v-|-p différences, le nombre des termes de l'équation est égal à /x H- v + p -h i , et il est évident qu'il manque à celle-ci, pour qu'eUe soit complète, un nombre de termes qui sera égal à aS -+- v — p si l'on fait, pour abréger,
S=(>fi-h^,H-...+Xv)4-(^iH-//2-H...4-Av)-l-(g'tH-g',-4-...H-5'^).
En ajoutant le nombre des termes contenus dans l'équation proposée avec le nombre de ceux qui lui manquent pour qu'elle soit complète, on aura évidemment une somme égale à /tz -f- i ; donc
(i) m = pt-f- 2VH-2S.
Désignons maintenant par V le nombre des variations de l'équation proposée, par V le nombre des variations de la transformée en — a:, et cherchons la valeur de
V H- V. Considérons d'abord deux termes consécutifs dans lesquels la différence des degrés soit un nombre impair a/r-h i; il est clair que, si ces deux termes offrent une variation dans la proposée, ils présenteront une permanence dans la transformée en — x, et inversement ; donc les deux termes ne donnent qu'une unité dans
V -h V, et, comme il y a, par hypothèse, [x couples de termes du même genre, ces termes fourniront (i unités à la somme V -h V. Considérons en second lieu deux termes consécutifs de signes contraires et dans lesquels la différence des degrés soit un nombre pair 2 A -H 2 ; ces deux termes donnent une variation dans la transformée
362 couKs d'algèbre SUPémCURB.
aussi bien que dans la proposée, et, comme il y a v couples de pareils termes, ils apporteront 2V unités dans la somme V-h V. Enfin, si Ton considère deux termes de même signe et dans lesquels la différence des degrés soit un nombre pair ^g^ ces termes ne donneront aucune variation dans la transformée en — x et ils ne fourniront rien à la somme V -h V. On a donc, d'après cela,
(2) V-4-V'=fx-i-2v,
et par conséquent la formule (i) peut s'écrire
(3) ;„ = v-i-V'-f-aS.
Si Ton désigne par P le nombre des racines positives de Téquation, par P le nombre des racines négatives et par 2I le nombre des racines imaginaires, on aura aussi
(4) m=:P-hP'-+-2l;
et la comparaison des formules (3) et (4) donnera
Si l'équation proposée a toutes ses racines réelles, I est nul ; d'ailJeurs aucun des nombres V — P, V — P' ne peut être négatif; donc on a non-seulement
(6) P = V, P'=r, mais encore
Les formules (6) démontrent la proposition énoncée; la formule (5 ) nous fait connaître en outre une limite du nombre des racines imaginaires. On en tire effectivement
1= ou >S;
d'où il résulte qu'une équation a toujours des racines
SECTION I. CHAPITRE VI. at)3
imaginaires lorsqu'il manque plus d'un terme entre deux termes de signes contraires, et lorsqu'il manque même un seul terme entre deux termes de même signe.
Corollaire I. — Si une équation a toutes ses racines réelles et positix^eSj l'équation est complète et elle ne présente que des ^variations.
Car le nombre des variations doit être égal au degré m de l'équation, et celle-ci renferme en conséquence m -H i termes.
Corollaire II. — Si l'équation /{x) = o a toutes ses racines réelles et que a soit une quantité positii^e, le produit [x — a)f[x) ne renferme quune ^atiation de plus quef[x).
Car, dans chacune des équations
f[x) =0, (or — a]f[x) = o,
le nombre des racines positives çst égal au nombre des variations du premier membre. La deuxième équation ayant une seule racine positive de plus que la première, elle a aussi une seule variation de plus que celle-ci.
119. Le théorème de Descartes conduit encore à une autre proposition sur laquelle nous croyons devoir appeler l'attention, parce qu'elle est le point de départ de recherches nouvelles dont nous aurons à parler ensuite. Cette proposition est la suivante :
Théorème. — Soient f[x) = o une équation du degré m dont les m racines sont réelles^ et f'[x)y f [x)j - . ,yf"^[x) les m déris^ées successives du polynôme f[x). Si, dans la suite des m -h i Jonctions
on substitue successivement deux quantités réelles quel"
a64 couBS d'algebue supérieure.
conques a et S^ a, et si, après chaque substitution^ on compte les variations de signes que présente la suite des résultats, le nombre des variations perdues en passant de x = (xà x=^6 sera précisément égal au nombre des racines de l' équation /(x) = o comprises entre a et 6.
En effet , posons successivement x = x' -f- « et a: = x'-l- o. Le nombre des racines de la proposée qui sont supérieures à a sera égal au nombre des racines positives de la transforméey(a/-|- a) = o, et, en conséquence, égal au nombre des variations du polynôme f{x'-^-a)y puisque toutes les racines sont supposées réelles. Pareillement le nombre des racines de la proposée qui sonL supérieures à 6 sera égal au nombre des racines positives dey*(a:'H- 6) = o, et, par suite, égal au nombre des variations de /(a/ -h 6); d'où il suit que l'équation y(a:) = 0 a précisément autant de racines comprises entre a et S qu'il y a d'unités dans l'excès du nombre des variations dey*(x'-f-a) sur le nombre des variations dey(a/-f- 6). Mais on a
donc l'excès dont nous venons de parler est égal à la différence entre le nombre des variations que présente la suite
pour x =: a, etle nombre des variations que présente la même suite pour a: = 6.
Tliéorème de Budan.
120. La proposition précédente cesse d'être exacte, lorsque l'équation/ (x) = o n'a pas toutes ses racines
SECTION I. CHAPITRE VI, a65
réelles. Mais, en cherchaut à en modifier Ténoncé de manière à embrasser tous les cas, Budan est parvenu à un théorème remarquable que nous allons exposer, après avoir établi préalablement un lemme fort important sur lequel nous aurons à nous appuyer.
Lemme. — Sif[x) désigne une fonction entière de X ayant pour dérivée f {^x)y et que l'on fasse croître x
de — 00 À + 00 ) chaque fois que le rapport -zyj-A
s'annulera, il passera toujours d'une valeur négative à une valeur positive.
En effet, soit a une valeur de x pour laquelle f{x) s'annule. Si m est le degré de cette fonction et que Ton représente par /'(x), f^[x) • • •$ /"^{x) ses dérivées successives, on aura, pour a: = a H- i/,
comme il peut arriver que la valeur x = a annule y (jc) et quelques-unes des dérivées suivantes, je désignerai généralement par y*" (a;) la première de ces dérivées qui ne s'annulent pas pour a: = a. Alors, en divisant Tune par l'autre les deux équations précédentes, on aura
^66 C0UIL8 d'algèbre SllPÉRIEUEE.
la fraction qui multiplie -^ dans le second membre, a
pour limite Puni té quand u tend vers zéro ; donc, pour des valeurs de u positives ou négatives dont le module est suffisamment petit, les quantités
« et ël±Jf}.
seront de même signe ; il résulte de là que , si h désigne une quantité positive suffisamment petite, et que l'on fasse croître u de — A à -f- A, le rapport
d*abord négatif, s'annulera en même temps que u et deviendra ensuite positif.
Corollaire. — Si le polynôme f{x) et ses n — i premières dérwées s'annulent pour or = a, et que h désigne une quantité positive Suffisamment petite j la suite des « -f- 1 fonctions
présentera n variations pourx=a — A, et elle n offrira que des permanences pour x ^^a-hh.
En effet, deux fonctions consécutives de cette suite sont de signes contraires pour x = a — A, et elles sont de même signe pour a: = a -H A.
121. Théorème de Budan. — Étant donnée une équation quelconque /{x) = o de degré m, si dans les m -H I Jonctions
(l) /(x), fia:], r{:r), ..., /-(x)
on substitue deux quantités réelles quelconques a et
S>a, et si, après chaque substitution^ on compte les variations de signe que présente la suite des résultats, le nombre des racines def[x) = o comprises entre a et 6 ne peut jamais surpasser celui des variations perdues dea:=zQLàx = Sj et, quand il est moindre, la dijjé^ rence est toujours un nombre pair ( * ).
En efTet, quand on fait croître x d^une manière continue de a à 6, la suite des signes des fonctions (i) ne peut éprouver de modifications qu'à l'instant où x atteint et dépasse une valeur qui annule quelqu'une de ces fonctions; supposons donc que, pour x = «, une ou plusieurs des fonctions (i) s'annulent. Parmi ces fonctions qui s'annulent, pour x = a/i\ peut y en avoir plusieurs qui soient consécutives ; soient donc généralement
n fonctions consécutives qui s'annulent pour a: = a, le nombre n pouvant se réduire à l'unité. L'indice (x peut être zéro, auquel casy''(.r) représente la fonction y (or); mais le dernier indice u-|-/i — i ne peut être égal à m, car la fonction/'" (x) est une constante différente de zéro. Cela posé, considérons la portion de la suite (i) qui comprend les fonctions (2) et la fonction suivante, savoir :
d'après le corollaire du lemme qui précède, si h désigne
( ^ ) Ce théorème est souvent attribué à Fourier, qui l'avait sans aucun doute rencontré dans ses recherches ; mais la priorité appartient réellement à Budan, qui communiqua en 181 1 à l'Académie des Sciences la démonstration complète du théorème. L'énoncé que nous adoptons ne diffère que dans la forme de celui donné par Budan, et il est tel que Fourier l'a présenté dans son Analyse des équations^ publiée après sa mort, en i83i, par les soins de Mavier.
a68 COURS d'algèbre supériburb.
une quantité positive suffisamment petite, les « -f- r fonctions de la suite (3) offriront n variations pour x = a — A, tandis qu'elles ne présenteront que des permanences pour j: = a -h A. Appliquons successivement ce résultat aux cas de /ui = o et de (x ]> o.
Dans le cas de /x = o, on peut dire que : si les n premiers termes de la suite [i) s'annulent pour jo = a, c'est-à-dire si l'équation f{x) = o a n racines égales à a, la portion de la suite (i) qui embrasse les n-hi premiers termes perd n variations, quand on passe de X = a — h à x = a-\-h.
Dans le cas de /x> o, joignons aux fonctions (3) celle qui les précède dans la suite (i), on aura les n-h 2 fonctions
Si n est un nombre pair 2.Âr, l'équation y*^( a:) =0 a ai racines égales à a, et, en conséquence, f^[x) ne change pas de signe quand a: varie de a — hka-\- h\ d'ailleurs f^^^{x) conserve aussi le même signe; donc la suite (4) perdra 2Âr variations quand on passera de a — hka-hh. Si, au contraire, n est un nombre impair 2Âr -f- 1, l'équation f^{x) = 0 a 2^-4-1 racines égales -4 a et f^{x) change de signe quand x varie de a — h àa -f-A; comme y*'*""' (a:) conserve le même signe, il s'ensuit que la suite des deux fonctions y '^*( a: ),/''* (x) perdra ou gagnera une variation dans le passage de a — A à a -f- A, et, par conséquent, la suite (4) perdra dans ce cas (î/:-hi)±: I, c'est-à-dire 2 A ou 2 A H- 2 variations. On peut donc dire que : si n termes consécutifs de la suite ( i), ne comprenant pas le premier terme, s'annulent pour a:=a^ la portion de la suite (i) qui embrasse ces n termes avec celui qui les précède et celui qui les suit perd un nombre pair de variations, quand on passe
de a — h à a-f-A; ce nombre fie variations perdues peut se réduire à zéro quand « = i ; mais, pour /i > i, il est positif.
Il résulte de là que, x croissant de a à 6, chaque fois que cette variable atteint et dépasse une valeur à qui annule quelques-unes des fonctions (i), cette suite perd y -+- aÂT variations, k étant un entier positif ou nul, et le nombre v, qui peut aussi se réduire à zéro, étant précisément égal au nombre des racines de réqualiony(ar) = o qui sont égales à a. Si donc N désigne le nombre total des racines réelles égales ou inégales comprises entre a et 6, le nombre des variations perdues en passant de x =: a à a: = 6 sera égal à N ou égal à N augmenté d'un nombre pair.
Corollaire. — Si F équation f[x) = oa'ii racines comprises entre a et 6, et que la suite ( i ) perde N -H a K variations dans le passage de x = aà x=Sy l'cqua' tion a au moins aK racines imaginaires.
En effet, désignons par N© le nombre des racines comprises entre — oo et a, par N' celui des racines comprises entre 6 et -H oo . Soient aussi N© -H aKo, N'-H aK' les nombres de variations perdues dans la suite (i) quand on passe dej:= — ooàjt:=:aetdej: = 6àa: = -f-oo. 11 est évident que pour a: = — oo la suite (i) présente m variations, tandis qu'elle n'a que des permanences pour X = oo ; on a donc
No -^ N H- N' ■+■ aRo H- aK -f- aK' = m;
le nombre al des racines imaginaires est égal à m — (No H- N H- N'), et l'on a conséquemment
I=:Ko-t-K-f-K', d'où I = ou>K.
122. Nous présenterons ici deux remarques au sujet du théorème de Budan.
2JO COURS d'algèbre SUPÉRIEURE.
Quand on applique ce théorème, il peut arriver cpe l'un des nombres a et 6 qu'il faut substituer à jo annule quelques-unes des fonctions de la suite (i). On sauve cette difficulté en substituant a + A au lieu de a et 6 — h au lieu de S, h désignant, comme précédemment^ une quantité positive suffisamment petite. Aucun calcul ne sera d'ailleurs nécessaire, car supposons que l'hypothèse x=:a annule les termes de la suite ( 3 ) à l'exception du dernier, nous savons que cette suite (3) n'offre que des permanences pour x = a-h/i. Si c'est, au contraire, l'hypothèse x = 6 qui annule les fonctions dont nous venons de parler, la suite (3) ne présentera que des variations pour X = 6 — h.
Le théorème de Descartes peut être regardé comme un corollaire de celui de Budan. Supposons, en effet, que l'on veuille appliquer ce dernier théorème en prenant a = o, 6 = -h 00 . Pour a: = -H 00 , la suite des fonctions (i) ne présente que des permanences, et pour x = o ces fonctions se réduisent aux coefficients de l'équation y*(j;) = o, en faisant abstraction de certains multiplicateurs numériques et essentiellement positifs. A la vérité, l'hypothèse x= o peut annuler quelques-unes des fonctions ( i), et cela arrive nécessairement si l'équation proposée manque de quelques termes. Mais supposons qu'au lieu de substituer zéro on ait substitué successivement — h et -+- A ; comme le nombre des variations perdues en passant de — h à -+-A est pair, si, comme on le suppose, l'équation proposée n'a pas de racines nulles, il est permis de ne tenir aucun compte de celles des fonctions (i) qui s'annulent pour x = o, lorsque l'on applique le théorème de Budan en prenant a = H-A et 6=-f-oo, ou, ce qui revient au même, en prenant a = o,6 = -|-oo.Il résulte donc du théorème de Budan que : si l' équation f(x) = o a N racines positives, la suite des coefficients des termes
contenus dans le premier membre offrira N -H aK variations, K étant un entier positif ou nul; ce qui est précisément le théorème de Descartes.
Théorème de Rolle.
123. La proposition connue sous le nom de théorème de Rolle est utile dans quelques circonstances, et elle se rattache directement à la théorie que nous exposons; aussi croyons-nous devoir la présenter ici.
THÉonÈMEf. — Si aetb désignent deux racines cornécutivfes de V équation f [x) = o, e/i sorte que cette équation riait aucune autre racine comprise entre a et A, l' équation f (^x) = o, obtenue en égalant à zéro la rferivée def[x), a au moins une racir^e comprise entre a Gt by et, quand elle en a plusieurs, le nombre de ces racines est impair.
En effet, si Ton suppose J > a et que Ton désigne par h une quantité positive suffisamment petite, le premier des deux rapports
sera positif, tandis que le second sera négatif (n° 120). D'ailleurs les numérateurs y( a H- A) tl f{b — h) sont de même signe, puisque Téquation proposée n'a pas de racine entre a + h et b — A ; donc les dénominateurs /'{a-i- h),/'{b — h) sont de signes contraires, et, en conséquence, l'équation/' ( a:) = o a un nombre impair de racines comprises entre a-{- h eib — A, ou entre a et &. Il faut remarquer que ce théorème subsiste, lors même que a ou & serait une racine multiple de Téquatien proposée.
Corollaire I. — Deux racines consecutwes a et ^ de l'équation f'[x) = o nepeuvfent comprendre entre elles plus d'une racine de l'équationf[x) = o.
Car, si réquationy*(a:) = o avait deux racines a et b comprises entre a et ê, l'équation f'{^x):=o aurait au moins une racine y comprise entre a et A ; cette racine serait donc comprise, à plus forte raison, entre a et 6, ce qui est contre l'hypothèse.
Corollaihe il — Si l'équation f[x) z=ode degré m a toutes ses m racines réelles, l'équation /''[x) = o a également toutes ses racines réelles, et deux racines consécutii^es de la seconde équation comprennent toujours une racine de la première.
Désignons par
les racines de l'équation ^(.r) = o, rangées par ordre de grandeur à partir de la petite, et par
mj, wij, 171,, . . ., m»
les degrés de multiplicité de ces racines, on aura
/7ï = iw, -f- m. H- . . . -Mw^
Cela posé, d'après le théorème des racines multiples, l'équation y'( a:) = o a /Wi — i racines égales à ai , elle en a ma — i égales à aa, . . . , m„ — i égales kan\\e nombre de ces racines est m — n. En outre, d'après le théorème de RoUe, réquationy{x) = o a au moins une racine comprise dans chacun des n — i intervalles que forment deux termes consécutifs de la suite (i); elle ne peut d'ailleurs en avoir plus d'une dans chaque intervalle, puisque le nomtre total de ces racines est/» — i.
Soient
SECTION I. — CHAPITRE VI. a^S
les n — I racines dey'(x) = o dont nous venons de parler et qui sont respectivement comprises dans les « — i intervalles formés par deux termes consécutifs de la suite (i). Il est évident que les termes de cette suite (i) seront compris respectivement dans les n intervalles formés par la suite
(2) —00, b^, 6„ ..., bn-^u +«>;
les termes de la suite [^) séparent donc les racines (i) de Téquation proposée.
124. Exemple. — Pour donner un exemple des applications du théorème de RoUë, nous établirons une propriété importante que possède une classe de fonctions qui se présentent dans diverses recherches mathématiques. Posons, pour abréger,
