z . 2" et désignons par
les dérivées successives du polynôme y (j:); la fonction que j'ai en vue et que je désignerai par X^ est définie par la formule
La fonctiony(j:) étant un polynôme de degré a/i, sa pleine dérivée, y*''(x) ou X« sera un polynôme du degré n. Cela posé, je dis que Téquation X„ = o
a ses n racines réelles, inégales et comprises entre — 1 et -f-i.
Pour établir cette proposition, il suffit d'appliquer n fois de suite le théorème de Rolle à Féquation
s. — Alg, sup,, U iS
a74 couns d'algèbee supériecre.
Cette équation a n racines égales à — i et w racines égales à + I ; donc Téquation
aura n — i racines égales à — i , n — x racines égales à ■4- 1, et une racine a^ comprise entre — i et + 1. De là il résulte que Téquation
a n — a racines égales à — i, ti — 2 racines égales à -h i, une racine i| entre — i et a^ et une racine è^ comprise entre a^ et -f- 1.
Il n'est pas nécessaire de pousser plus loin ce raisonnementy pour reconnaître que l'équation y* ''(j:)= o ou Xn = o a ses /i racines réelles, illégales et comprises entre — I et -f- I, ainsi que nous l'avions annoncé.
12S. On peut tirer du théorème de Rolle les conditions de la réalité de toutes les racines d'une équation de degré donné; mais, devant bientôt faire connaître une méthode beaucoup plus simple qui remplira le même objet, nous n'aborderons point ici cette question générale, et nous nous bornerons à appliquer le théorème à la détermination du nombre des racines réelles d'une équation trinôme, telle que
dans laquelle nous supposerons les exposants meln impairs.
Le nombre total des variations contenues dans cette équation et dans sa transformée en — x est égal à i ou à 3 ; le nombre des racines réelles est donc lui-m<îme égal à I ou à 3 ; il s'agit de distinguer ces deux cas. La dé^
rivée ^(j:) a ici pour valeur
si p est positif, réquationy'(x) = o ne peut avoir d^autre racine réelle que zéro; donc la proposée ne peut pas avoir dans ce cas trois racines réelles. Si p est négatif, et que l'on désigne par b le radical
n—nj
np — î m
réquationy'(x) = o admettra les racines — h et -f- i, indépendamment des racines nulles qu'elle peut avoir et qui sont, par hypothèse, en nombre pair. Alors, si la proposée a trois racines réelles, — h sera comprise entre les deux plus petites, tandis que -h J le sera entre les deux plus grandes ; donc ces trois racines seront respectivement comprises dans les trois intervalles que forme la suite
— oo, —ô, -^6, -4-00,
ce qui exige que l'on ait
Réciproquement, si ces conditions sont remplies, l'équation proposée aura nécessairement (n^ll5) une racine comprise entre — oo et — è, une deuxième entre — 6 et + i, une troisième enfin entre -|-i et + oo . En remettant au lieu de h sa valeur, on trouve que nos deux conditions deviennent
tn — n
et elles peuvent s'exprimer par une inégalité unique, en écrivant que la puissance (m — n)**"* de la quantité intermédiaire est inférieure à la puissance [m — /i)**"« de
aj6 COURS D* ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Fune des quantités extrêmes. On obtient ainsi la condition demandée,
i^rn^)'
on voit qu'elle n'est jamais satisfaite quand p est >o. Si le premier membre de cette inégalité se réduit à zéro, l'équation proposée a encore trois racines réelles, mais il est évident que deux de ces racines sonti égales en tre elles. Si l'on a
l'équation proposée devient
ce qui est la forme à laquelle peut être ramenée toute équation du troisième degré (n° 62). Quant à la condition de réalité des trois racines, elle devient
j-*-^— <o ou 4/^»-+-a7^*<o.
Tlworème de Sturm.
126. Parmi les problèmes que l'on rencontre dans la théorie des équations, l'un des plus importants est celui qui a pour objet la découverte d'une règle à l'aide de laquelle on puisse déterminer le nombre exact des racines réelles d'une équation qui sont comprises entre deux nombres donnés.
La proposition du n° il 9 nous a donné la solution de ce problème pour ce qui concerne les équations dont toutes les racines sont réelles, et les recherches de Budan ont eu pour objet, comme on l'a vu, de tirer des mêmes principes un critérium qui pût s'appliquer à tous les cas. Mais, malgré son utilité incontestable, le beau théorèmo
auquel ce géomètre est parvenu ne donne pas une solution complète de la question que nous venons de poser.
L'Algèbre offrait ainsi une lacune regrettable, mais cette lacune se trouva comblée de la manière la plus heureuse par le fameux théorème de Sturm. Ce grand géomètre communiqua à l'Académie des Sciences, en 1829, la démonstration de son théorème qui constitue l'une des plus brillantes découvertes dont se soit enrichie l'Analyse mathématique.
127. Le théorème de Sturm consiste dans la proposition suivante :
Théorème. — Etant donnée l' équation\ = 0 dont le premier membre est une fonction entière d'un degré quelconque m de l'inconnue x et qui na pas de racines égales, soit \ ^ la dérii^ée du poljnôme V. Effec-tuons la division de V par V|, jusquà ce que nous soyons arrii/é à un reste de degré inférieur au degré de V| , changeons les signes de tous les termes de ce reste et désignons par Va ce quil déifient alors. Divisons de même V| par V2, et, après avoir changé les signes des termes du reste, nous aurions un nouveau polynôme Vj dont le degré sera inférieur au degré de Vg. Divisons pareillement Va par V3 et continuons la même série d'opérations y comme s' il s' agissait de déterminer le plus grand commun diviseur des polynômes Y etYt, mais en ayant soin de changer les signes de chaque reste avant de le prendre pour diviseur. L'équation proposée n'ayant pas de racines égales, nous arriverons après un certain nombre fx — i de divisions à un reste numérique différent de zéro, et nous représenterons parY^ ce reste changé de signe. Nous obtiendrons ainsi une suite de [i-hi fonctions
278 CODRS d'algèbre SUPÉRIEITRB.
dont les degrés, par rapport à Xy fortiieront une suite décroissante.
Cela posé, soient a et 6^ a deux quantités réelles quelconques données, et substituons successii^ement et etS à X dans les Jonctions (i). Le nombre des racines réelles de t équation V=o, comprises entre a et 6, sera précisément égal à l'excès du nombre des variations que présente la suite des signes des p-f- i fonctions (i) pour j: = a, sur le nombre des variations que présente la suite des signes des mêmes fonctions pour x=S»
Désignons par
Qi, Q», . , Qh^-i
les quotients que Ton obtient en divisant Vpar V|, Yt par V2,..., V^a par Y^^i ; on aura cette suite d'égalités :
qui conduisent aux deux conséquences suivantes :
i® Dans la suite (i), deux fonctions consécutiues ne peui^ent s^annuler pour la même valeur de x.
En effet, si Ton avait Va.i = o, Va = o, pour une certaine valeur de x, la relation
(3) V;fc^j = V^Q;t-V,.+,
montre que Ton aurait en même temps V;t+i = o. On conclut de là que, si une même valeur de x annulait deux fonctions consécutives, elle annulerait aussi toutes les suivantes, ce qui est impossible, puisque la dernière fonction V^ est une constante différente de zéro.
2* Si, pour une valeur de x, l'une des fondions de la suite (i), autre que la première, s'annule, lafonc^ tien précédente et la fonction suivante sont de signes contraires.
En effet, si Ton a Va= o, l'égalité (3) donne
Faisons maintenant croître x d'une manière continue entre les limites a et 6 ; la suite des signes des fonctions (i) ne pourra être modifiée qu'à l'instant où x atteindra et dépassera une valeur qui annule une ou plusieurs des fonctions de la suite (i). Soit a l'une de ces valeurs, et supposons d'abord que, parmi les fonctions
qui s'annulent pour j: = a la première V ne soit pas comprise.
Si h désigne une quantité positive suffisamment petite, les équations Va.i=o, Va^.i= o n'auront aucune racine entre a — h et « -4- A, et en conséquence chacune des fonctions Yh-.\ ? V^^i conservera le même signe quand on fera croître x Aq a — Aàa-hA. Ces fonctions étant de signes contraires pour x = a, comme nous l'avons dit plus haut, elles sont pareillement de signes contraires pour x = a — A, ainsi que pour j:= a -h A; donc la portion de la suite (i) qui comprend les trois fonctions
offre une variation unique pour j; = a — A, ainsi que pour X = a -k- h\ cela s'applique évidemment à chacune des portions de la suite (i) qui sont formées par l'une des fonctions Yki V/,... et les deux qui la comprennent« On peut conclure de là que la suite des signes des fonctions (i) ne perd ni ne gagne aucune variation quand x croît de a — A à a -h h.
28o COURS d'aIgIiBRE SUPélllEUBE.
Supposons maintenant que a:, croissant de a. à 6, atteigne une valeur a qui annule la fonction V, et pour laquelle quelques-unes des autres fonctionsdela suite(i),
telles que
Va, V/, . . . ,
puissent aussi s'annuler. Le raisonnement qui précède montre que la portion de la suite (i) formée avec Tune de ces dernières fonctions et les deux qui la comprennent présente une variation unique pour X'=-a — A, ainsi que pour j: = aH-/i. D'ailleurs, d'après le lemme du
n° 120, le rapport— passe du négatif au positif quand x
croît de a — Aàa-f-A; ce qui revient à dire que les deux fonctions V, V| offrent une variation pour j: = a — A, et une permanence pour x'=a->rh\ donc, dans le passage de x=^a — h à x=a-f-A, la suite entière des fonctions (i) perd une variation et n'en perd qu'une seule. En résumé, si x croît d'une manière continue depuis a jusqu'à 6, le nombre des variations de la suite des fonctions (i) n'éprouve de modification que quand x atteint et dépasse une racine de l'équation V = o, et chaque fois que X atteint et dépasse une telle racine, il y a une variation perdue, dans la suite des fonctions (i) ; ce qui démontre le théorème énoncé,
128. Sturm a fait lui-même sur son théorème des remarques importantes que nous reproduisons ici.
1° Dans les divisions successives qui servent à trouver les fonctions V2, V3,..., il est permis de multiplier ou de diviser les dividendes ou les diviseurs par des nombres positifs quelconques; les fonctions (i) se trouveront alors multipliées par des facteurs positifs, ce qui ne- changera point leurs signes ; mais il faut éviter de supprimer ou d'introduire des facteurs négatifs.
SECTION I. — CHAPITRE VI. a8l
2° La condition que la dernière des fonctions (i), savoir Y^y est une constante, n'intervient pas dans la démonstration que nous avons présentée du théorème ; cette démonstration suppose seulement que V^ ne change pas de signe quand x varie de <x à S. Il résulte de là que si, parmi les fonctions (i), il s'en trouve une V* qui n'ait aucune racine comprise entre a et 6, on pourra arrêter la suite (i) à cette fonction et faire abstraction de toutes celles qui suivent.
3° Il peut arriver que l'une des limites a, ê annule une ou plusieurs des fonctions de la suite (i); mais il ne saurait résulter de cette circonstance aucun embarras pour compter le nombre des variations. Il suffira effectivement, dans ce cas, de substituer a — A au lieu de a ou 6 + A au lieu de S, h désignant une quantité aussi petite que l'on voudra. Supposons que la fonction V s'annule, soit pour x = a, soit pour x= S. Ainsi que nous l'avons vu, les deux fonctions V, V< offriront, dans le premier cas, une variation pour x = (x — h, et une permanence, dans le deuxième cas, pour a:=6-+-A. Quant aux fonctions qui suivent, si Tune d'elles s'annule pour x = a ou pour jr=6, nous avons vu que, pour une valeur de x trèspeu différente de a ou de 6, la suite formée par cette fonction et les deux qui la comprennent offre toujours une variation unique.
129. Le théorème de Sturm s'applique sans modification aux équations qui ont des racines multiples, pourvu que l'on fasse abstraction du degré de multiplicité de ces racines.
En effet, soit X = o une équation qui a des racines multiples, et désignons par X| la dérivée du polynôme X. Opérons sur les fonctions X et X| , comme s'il était question de chercher leur plus grand commun diviseur, en
28a COURS d'algèbhb supérieure.
ayant soin de changer le signe de chaque reste, ainsi que le prescrit Ténoncé du théorème. On obtiendra ainsi la suite de fonctions
(l) X, X;, Xj, ..., X)ii i, X,|,
dans laquelle le dernier terme ne sera plus constant; mais trois fonctions consécutives seront encore liées entre elles par une égalité de la forme
Xjt-i = XkQk — Xx^i,
où Qa désigne une fonction entière.
Soit D le produit des facteurs linéaires communs àX et à X|; il est évident que les fonctions (i) pourront être divisées exaclement par D, et si Ton désigne par
( ^ ) '^» V|, Vj, . • . , Vji i, Vji
les quotients de ces divisions, la dernière des fonctions (2) sera une constante ; en outre trois fonctions consécutives decette suite seront liées entre elles parla relation
Va— I = V;^ Qjt — - Vjt+i ;
enfin, d'après le lemme du n** 420, le rapport — - = --
passera toujours, en s'annulant, d'une valeur négative à une valeur positive. En conséquence, on peut appliquer aux fonctions (a) le raisonnement entier du n° 127, et il en résulte que, si 6 est > a, l'équation V = o ou X=o a autant de racines comprises entre « et 6 qu'il y a de variations perdues dansla suite des signes des fonctions (2), lorsque j: croît de a à 6. Enfin, comme les fonctions (i) s'obtiennent en multipliant les fonctions (2) par un même polynôme D, il est permis de substituer les unes aux autres.
SECTIOII I. CBAPITKE VI. a83
Des conditions de réalité de toutes les racines d Utne équation de degré donné,
130. Pour avoir le nombre total des racines réelles d'une équation donnée V = o, il suffit de former, conformément au théorème de Sturm, la suite des fonctions
(i) V, V|, Vj, ...» V,j.i, Vji,
et d'y substituer successivement deux limites L, L', entrelesquellesloutcsles racines réelles soieBtt comprises ; maïs comme, pour une valeur de x dont le module est suffisamment grand, une fonction entière a toujours le signe de son premier terme, et que nous n'avons à nous préoccuper que du signe des résultats des substitutions, on peut prendre, pour plus de commodité, — oo et -Hoo au lieu de L et de U. Soient donc k le nombre des vîiriations contenues dans la suite des fonctions (i), pour X = — 00 ; A^ le nombre des variations de la même suite pour j- = -H 00 , le nombre des racines réelles de l'équation V = o sera k — A'.
Si l'on veut avoir séparément le nombre des racines positives et celui des racines négatives, il faudra en outre substituer zéro à x dans la suite (i), ce qui réduira chacune des fonctions à son dernier terme ; soit A^ le nombre des variations de la suite (i) pour x = o, l'équation proposée aura ki — k* racines positives et A — Ati racines négatives.
131 . Supposons maintenant que l'on veuille connaître les conditions qui doivent être remplies pour que l'équation V = o, du degré/», ait ses m racines réelles et inégales. Il faut et il suffit, pour qu'il en soit ainsi, que la suite des fonctions (i) perde m variations quand x croît de — 00 à -1-00 ; cela exige d'abord que cette suite ait au
a84 COURS d'algèbre supérieure.
moins m-4- i termes ; or elle ne peut en avoir davantage : donc le nombre fx est égal à /j!?, et les fonctions (i) sont respectivement des degrés
wi, m — 1, m — 2,..., I, o.
En outre la suite des signes des m -h i fonctions (i) doit renfermer m variations pour x = — co , et elle n'en doit plus offrir aucune pour a:= -+-00 ; il est évident que cela revient à dire que le coefficient du premier terme, dans chacune des fonctions (i) doit être positif.
On peut énoncer, d'après cela, la proposition suivante :
Pour quune équation du degré m ait ses m racines réelles et inégales, il faut et il suffit que la suite formée conformément à t énoncé du théorème de Sturm se compose de m-^-i fonctions y et que, dans chacune de ces fonctions y le coefficient du premier terme soit positif
Gomme, dans les deux premières des fonctions dont nous venons de parler, le coefficient du premier terme est toujours positif, la proposition précédente indique seulement m — 1 conditions pour la réalité de toutes les racines. Mais il se peut que ces conditions rentrent les unes dans les autres; le nombre m — i ne doit donc être regardé que comme une limite supérieure.
Exemple. — Prenons pour exemple l'équation du troisième degré
x^-^ px -^q=:o\
pour éviter les dénominateurs, dans les deux divisions que nous avons à exécuter, je multiplie les dividendes respectivement par 3 el ^p^\ on a alors
V ^x* H-/7j:-hg, ou Sjt* -f- 3/? j: -h 3y,
Vi = 3.1^ + /?, ou 1 2/?* x' -h 4iK>*,
V, = — 2/?^ — 3(7, Vi = — 4^^*— 27<7«.
Les conditions de réalité des trois racines sont donc — /i>o, — 4;^'— 27^'>o;
mais la première condition est comprise dans la seconde ; celle-ci peut s'écrire
c'est la même que nous avons déjà obtenue par une autre voie, au n° 125.
Extension de la méthode de Sturm,
132. Les fonctions dont le théorème de Sturm .prescrit l'emploi peuvent être quelquefois suppléées, ainsi que l'a remarqué l'illustre auteur, par d'autres fonctions qui remplissent le même objet.
Soient
fi -I- 1 fonctions entières d'une variable x qui satisfont aux conditions suivantes :
1** Que la dernière fonction V^ ne change pas de signe quand x varie entre deux limites données a et
2® Que deux Jonctions consécutives ne puissent s^ annuler pour une même valeur de x comprise entre cl et 6;
3® Que si une fonction autre que la première s^ annule pour une valeur de x comprise entre a et S, les deux Jonctions qui la comprennent aient alors des valeurs de signes contraires; y
4^ Que le rapport — passe toujours du négatif au
positif chaque Jois qiîHl s^ annule y quand x croît de a
Il est évident que ces conditions sont les seules que nous ayons fait intervenir dans la démonstration du n*' 127; on peut donc affirmer que, dans notre hypothèse, le nombre des racines réelles de Féquation V = o comprises entre a et 6 est égal au nombre des variations perdues par la suite (i) dans le passage de x= x à x = S.
Supposons que la dernière des quatre conditions que nous venons de mentionner soit remplacée par la condi-
tion contraire, savoir; que le rapport ~- passe toujours
du positif au négatif en s* annulant, quand x croît de a à 6. Les trois premières conditions étant maintenues, il est évident que le nombre des racines réelles de Téquation V = o compris entre a et 6 sera égal au nombre des variations gagnées par la suite (i), quand x croît de a à S. C'est uniquement pour fixer les idées que nous avons supposé S >a; les mêmes choses ont lieu dans le cas de 6<[a, seulement les yavialions perdues deviennent des variations gagnées, et inversement.
133. Supposons maintenant que les trois premières des quatre conditions précédentes existent seules, et que Ton ait constaté chez la suite (i) une perte ou un gain de /r variations dans le passage de a: = aàa: = o, a et 6 étant des quantités quelconques données. Il est évident que, si Ton faitvarierx dans le même sens, depuis x = a jusqu'à j: = 6, le nombre des variations de la suite (i) ne pourra être modifié qu'à l'instant où x atteindra et dépassera une valeur qui annule la première fonction V. Donc la perte ou le gain de k variations ne peut avoir lieu que si l'équation V = o a au moins A^ racines réelles entre a et 6.
En outre, si l'on désigne par A l'excès du nombre de
fois que le rapport ~ » en s'évanouissant et en changeant
de signe, passe du positif au négatif, sur le nombre de fois que le même rapport, en s'évanouissant et en changeant de signe, passe du négatif au positif, on aura nécessairement
le signe -I- ayant lieu dans le cas où la suite (i) gagne A variations quand on passe dex = cc àx=S,etle signe — dans le cas où la même suite perd k variations.
Désignons aussi par A' l'excès du nombre de fois que
le rapport ~ s'annule en passant du positif au négatif sur
le nombre de fois que le même rapport s'annule en passant du négatif au positif, quand x varie de a à 6. Comme
V et V2 sont, par hypothèse, de signes contraires, chaque
fois que V| s'annule, les deux rapports -^Gi-^ passent,
l'un du positif au négatif, l'autre du négatif au positif; si donc on représente par y le nombre des variations gagnées ou perdues par la suite
dans le passage dea:=aàa: = o, on aura, comme plus
haut,
Comparons maintenant les nombres k et k\ La suite (2)
se déduit de la suite (i) en supprimant dans celle-ci le
y premier terme ; donc, si le rapport tt- a le même signe
pour j: = a et pour x = S, on aura y=k et, par suite,
81 — a le signe -h pour x = a et le signe — pour x=S,
a88 couns d'algèbre supÉRrEuiiB.
on aura A/ = A" ih i , le signe supérieur ayant lieu quand il y a gain de variations dans le passage dex = akjr=ë et inférieur dans le cas contraire ; on a donc
enfin, si — a le signe — pour x = (x, et le signe H- pour
x = ê, on a encore h'=kdzi; mais ici le signe supérieur a lieu dans le cas d'une perte de variations, et le signe inférieur dans le cas contraire ; il en résulte que
Ainsi, en résumé, Texcès A' est égal à — A, à — A-hi
ou à — ù — I ; le premier cas a lieu quand -— a le même
signe pour j: = a et pour x=^ë; le deuxième cas, quand le même rapport est positif pour a: = a et négatif pour
j: = 6; le troisième cas, enfin, quand — - est négatif pour
x = a et positif pour x = S. On trouvera plus loin une application importante de ce résultat.
Si le nombre k est égal au degré m de la fonction V, Téquation V = o a toutes ses racines réelles; en outre, quand x croît constamment ou décroît constamment de a
à 6, le rapport — ? chaque fois qu'il s'annule, passe toujours du positif au négatif, ou toujours du négatif au positif. Il suit de là que le raisonnement dont nous avons fait usage (n°123) pour établir le théorème de RoUe est applicable à la fonction V| , comme si cette fonction était la dérivée de V ; en conséquence, deux racines de l'équation V= o comprennent nécessairement une racine de l'équation Vj =o. Si cette dernière équation est du degré m — i , elle aura toutes ses racines réelles, et ces racines sépareront celles de l'équation V = o.
134. Pour bien faire sentir l'importance des considérations qui précèdent, je les appliquerai à un exemple remarquable, celui de la fonction dont nous nous sommes déjà occupé au n** 124 et que nous avons représeniéc par X^.
Cette fonction X„ est la w**"* dérivée de la fonction
ou
-. ^^^ ar*'*-«-h...H-(— I * — V-^ ar»"--»*-!-... ;
on a donc
__ ay?(9./? — i)...f/?H-l) ^ '^«— 2.4.6... 2« ^ ■"•••
1 ^ u>(27l-2/)(2/2-2/— 0...(77-hT->2/) ,.
Le polynôme X;, est du degré n; il ne renferme que des puissances de x de même parité et il n'a que des variations. Dans le cas de n = i , il se réduit à un seul terme, savoir
pour /î= 2, on a
Si, dans l'expression de X;,, on change nen n — 2, il viendra
/ ,Vib (2/l>-2/-~-2)...(/l-4-I--2/) ^j^
S. — jifg. sup., 1. 19
ago COURS d'algèbre supérieure.
et l'on vérifie très-facilement que la somme
est égale au produit de la fonction Xn< par (an — i) t: on a donc
(3) «X;,-— (2/2— l)*xX„J+(/| — l)X;,,= 0.
Cette formule servira à définir Xo en y faisant n= 2 et en substituant les valeurs de X| et Xs écrites plus haut; on trouve ainsi
(4) Xo = i.
Cela posé, considérons la suite des fonctions
(0) Xrt, X;t|, Xn— S, •••« Xj, Xq;
la dernière de ces fonctions est constante ; et, d'après la formule (3), deux fonctions consécutives ne peuvent être puUes pour une môme valeur dex; car, sî elles s'évanouissaient, la dernière fonction Xq serait nulle, ce qui n'a pas lieu ; en outre, quand l'une des fonctions X, autre que la première, s'annule, les fonctions qui la comprennent sont de signes contraires, d'après la formule (3). Enfin cette même formule (3), jointe aux formules (i) et (a), montre que l'on a
X,„r=:(— i)'^ pour ;r=— I, X,„ = -h I pour JT = -hl ;
donc, quand on fait croîtrez de — i à H-i, la suite (5) perd n variations, d'où l'on peut conclure que :
1° L'équation X^ = o a ses n racines réelles, inégales et comprises entre — i et -f-i;
2° Les racines de l'équation X„i=o séparent celles de l'équation X„=o;
3^ Si a et 6 ^a sont deux nombres compris entre — 1
SECTION I. CHAPITKE VI. 29 1
et-f-i, le nombre des varialions de Téquation X;, = o comprises entre a et S sera égal au nombre des variations perdues par la suite (5), dans le passage de a: = a à a: = S.
On serait arrivé aux mêmes résultats en considérant au lieu des fonctions (5), la suite
(6) x„, x;, x;, ..., xî.«)
formée par la fonction X/, et ses dérivées successives. On a effectivement les relations suivantes, qu'il est facile de vérifier au moyen de l'expression de X„ écrite plus haut :
et
/ (i-x^jxS^^-afp-O^Xr^ (8)
On voit, par ces relations, que, dans la suite (6), deux fonctions consécutives ne peuvent pas s'annuler en même temps, et que, siFune d'elles s'évanouit pour une valeur de x comprise entre — i et 4-1, la fonction qui précède et celle qui suit ont des valeurs de signes contraires. Ces mêmes relations montrent que, pour a: = — i,la suite (6) n'offre que des variations, tandis qu'elle n'a que des permanences pour j:==-f-i; on peut donc tirer les mêmes conséquences que nous avons formulées plus haut. Cette conclusion s'accorde avec la proposition du n** 119, puisque l'équation X„= o a toutes ses racines réelles.
135. On peut encore démontrer très-simplement, par la méthode de Sturm, la réalité des racines des équations en X que nous avons obtenues dans le Chapitre précédent
aga cours d'algèbre sdpérietjrb-
en appliquant la transformation z-i — = a: aux deux équations
application de la méthode de Sturm à la détermination du nombre gui exprime combien une équation quelconque a de racines réelles ou imaginaires dans l'intérieur d^un contour donné.
136. Soity*(2) = P -h iQ une fonction entière de la variable imaginaire z = x-i-iy, dans laquelle les coefficients sont des quantités quelconques données réelles ou imaginaires ; i désigne, comme à l'ordinaire, l'imaginaire ^ — I , P et Q sont des fonctions réelles des variables réelles x et y.
Pour connaître le nombre jix des racines de l'équation
comprise dans un contour donné, il suffit, d'après le théorème de Cauchy (n^ S5), de chercher l'excès A relatif à ce contour ; on a effectivemenl
si l'on suppose qu'il n'y ait aucun point racine sur le
contour lui-même. Rappelons encore que si, partant d'un
point quelconque, on décrit le contour donné, comme
il a été indiqué au n*^ 55, le nombre ù est égal à
p l'excès du nombre de fois que le rapport -» en s'éva-
nouissant et en changeant de signe, passe du positif au négatif, sur le nombre de fois que le même rapport, en s'évanouissant et en changeant de signe, passe du négatif au positif.
Quel que soit le contour donné, on peut le partager en plusieurs parties telles que AB, et il est évident que Texcès A relatif au contour total sera égal à la somme des excès qui se rapportent aux diverses parties dans lesquelles ce contour a été divisé.
Si les coordonnées x etj^, pour la portion AB du contour donné, sont exprimables par des fonctions rationnelles d'une variable t, en sorte que Ton ait
If, 4>, ^, V étant des fonctions entières, on pourra déterminer l'excès positif ou négatif A qui se rapporte à la portion de contour AB par une règle très-simple que Sturm a fait connaître (*). Soient to la valeur de t qui se rapporte au point A et T celle qui est relative au point B. Quand on décrit l'arc AB en marchant de A vers B, la variable t a ainsi la valeur initiale to et la valeur finale T; mais dans l'intervalle elle peut varier d'une manière quelconque et repasser plusieurs fois par les mêmes valeurs. Remplaçons x el y par leurs valeurs
P fonctions de t, le rapport - deviendra une fonction rationnelle de t, et l'on aura
(») Journal de Mathématiques pures et appliquées, i'* série, t. I.
294 COUBS D*ALGÎ:B1(E SrPÉBIEUKB.
V et V| désignant des fonctions entières de f , sans diviseur commun. Cela posé, voici en quoi consiste la règle de Sturm :
Si le degré de V nest pas inférieur au degré rf« V| , on dii^iseraY parY if el l' on poussera l'opércUionjusqu à ce que l'on obtienne un reste — Vj de degré inférieur au degré de Vj ; on div^isera pareillement V| par Vj, ce qui donnera un reste — Vs ; on divisera encore Vj par Vs, ef l'on continuer a laméme série d* opérations jusqu'à ce que l'on arrive à un dernier reste — V^ indépendant de t. On obtiendra ainsi la suite de fonctions
V|*ViiVj, ...» V,j.«.i, Vjj.;
on comptera le nombre des ^variations que présente la suite des signes de ces fonctions pour f = T, ainsi que le nombre des variations qu'elle présente pour t = to; l'excès du premier nombre sur le second sera précisément l'excès cherché ù.
Si le degré de V est inférieur au degré de V| , on opérera de la même manière; seulement, dans la première division, on prendra V< pour dividende et V pour divi" seur; on obtiendra ainsi la suite
Vj, V» Vj, Vj, . . ., V,
on comptera le nombre des- variations de cette suite pour t=Tf ainsi que le nombre de ses variations pour t = to,et si l'on désigne par k r excès du premier nom^ bre sur le second, on aura ù = — k, ou A = — Ar-t-i, ou A = ' — k — I , savoir : i° A = — A:, quand les termes Vj, V offrent une variation ou une permanence pour f = to ainsi que pour t=T; 2**A== — k-hiy quçnd les termes V| , V offrent une permanence pour t = to et une variation pour t = T ; 3® enfin A = — A^ — i ,
SECTION I. CHAPITRE VI. agS
ifuand les termes V|, V offrent une variation pour t=:to, et une permanence pour t = T,
Cette proposition devient évidente après les développements que nous avons présentés au n** 133.
137. Si le contour que l'on considère est une circonférence de rayon R dont le centre soit placé au point qui a Xo et/© pour coordonnées, on pourra faire
:Xo-
r=ro-+-R
et, pour décrire la circonférence entière en marchant toujours dans le même sens, il suffira de faire croître t de — 00 à -i- 00 .
Le cas le plus simple est celui où le contour donné est un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes coordonnés; on cherche alors séparément la valeur de Texcès A qui se rapporte à chaque côté. Dans ce cas, l'une des coordonnées x, r est constante, et le rapport
- est une fonction rationnelle de la deuxième coordonnée;
on peut donc prendre celle-ci pour la variable t que nous avons introduite.
Soil le rectangle ABDC, et supposons que l'on ait res-
pectivement
X = :ro et J|P = X
2{)6 couns d'algèbre supéhieuhb.
pour les côtés parallèles CD et AB, ' r=ro et 7 = Y pour les côtés CA et DB. Représentons par
le premier membre de Téquation proposée. On peut toujours ramener le coefficient du premier terme à l'unité ou à i ; mais nous ne ferons point cette simplification et nous supposerons que «o i^e soit pas nul quand m est pair et que io ne le soit pas quand m est impair. Cela posé, la fonction P étant ordonnée par rapport aux puissances décroissantes dej^, son premier terme sera ±aoy"^ dans le cas de m pair, et il sera =b b^y^Adins le cas de w impair. Donc, si Ton attribue à^ une valeur jpositive ou
négative déterminée, dont le module soit suffisamment
grand, le rapport — ne s'annulera pour aucune valeur de
X comprise entre Xo et X; en conséquence, si Ton suppose j^o = — 00 , Y = -f- QO , l'excès relatif à chacune des portions CA, BD du contour sera nul. D'ailleurs, Texcès relatif au côté DC est égal et dç signe contraire à Texcès qui se rapporte au même côté. CD changé de sens, et, en conséquence, on a la proposition suivante :
Soient z une ^variable imaginaire x -I- iy et
une fonction entière de z. Soit ko l'excès du nombre de fois que le rapport ^|' ^' j s'annule en passant du positif au négatif sur le nombre de fois que le même rapport s^ annule en passant du négatif au positif quand y varie de — oo à -f- oo ; soit aussi K la quantité ana-
logue relatii^e au rapport 77^7-^» ^t désignons par [i le
SECTION I. — chapithe VI. agy
nombre des racines de l'équation f[z) = o comprises entre les deiia* parallèles qui répondent à x = x©, a: = X ; on aura
Il est presque superflu d'ajouter qu'on peut déterminer d'une manière semblable le nombre des racines comprises entre deux parallèles à Taxe des x.
Premières recherches sur la séparation des racines réelles des équations numériques. Emploi du théorème de Sturm.
138. Une équation, dans laquelle quelques-uns des coefficients sont imaginaires, peut être mise sous la forme <f[x) -\-i^[x)r=zOy (f[x) et^j^(a:) étant des polynômes à coefficients réels, et les racines réelles doivent évidemment satisfaire aux deux équations cp(a:) = o, ij/(j!:)=:o, ou à l'équation obtenue en égalant à zéro le plus grand commun diviseur de ces polynômes^ il en résulte que la recherche dont nous avons à nous occuper doit être bornée aux équations à coefficients réels. En outre, il n'y a évidemment lieu de considérer que les équations qui n'ont pas de racines égales.
La première idée qui se présente pour séparer les racines d'une équationy(a:) = o, d'un degré quelconque m, et qui n'a pas de racines égales, est de déterminer (n** il 2) deux limites /et L > /, entre lesquelles les racines réelles soient toutes comprises, et de substituer à x dans le polynômey(x) une suite de nombres croissants
(0 i. lu /«, ..., In.
commençant à la limite inférieure / et se terminant à un terme /„ égal ou supérieur à L. Deux termes consécutifs
apS COURS d'algèbre supérieure.
de cette suite, s'ils fournissent des résultats de signes contraires, comprendront entre eux au moins une racine (n° 115); mais, si ces résultats sont de même signe, on ne pourra plus rien conclure en général. Toutefois, la séparation des racines sera entièrement effectuée, s'il arrive que le nombre des intervalles dans chacun desquels les substitutions indiquent Texistence d'une racine soit égal au degré m de Féquation ; la même chose aura lieu aussi si, le nombre fx de ces intervalles étant inférieur à m, on a constaté, par le théorème de Descaries ou autrement, que Téquation ne peut avoir plus de m racines réelles.
Mais le procédé dont il est question prendra le caractère d'une méthode générale conduisant infailliblement, dans tous les cas, à.la séparation des racines réelles, si nous y ajoutons une règle pour former la suite (i) de telle manière que deux termes consécutifs ne puissent comprendre plus d'une racine. Or il est évident qu'on réalisera cette condition en faisant coïncider la suite (i) avec une progression par différence
(2) l,l-\-h, /-f-2/i, ..., l-hn/i,
dans laquelle la différence h soit inférieure à la différence de deux racines réelles quelconques de l'équation y ( x) = o; tout est donc ramené à déterminer cette quantité h. On y arrive par le moyen de l'équation aux carrés des différences (n° 97) des racines de l'équation f(^x):=o. Supposons que l'on ail calculé cette équa-
j j , mim — I ) tion, qui est, comme on sait, du degré — -Set que
Ton ait déterminé une limite inférieure X de ses racines positives. La différence de deux racines quelconques de la proposée sera supérieure à y/Â, et, en conséquence, il suffira de prendre pour h une quantité positive égale ou
inférieure à y^. La différence h ainsi déterminée peut être un nombre inférieur à i, et Toji doit chercher à éviter les substitutions de nombres fractionnaires ; on y parviendra au moyen de la transformation x = hx' qui sert à diviser par h la racine de la proposée. En faisant cette transformation et en choisissant / de manière que
j soit un nombre entier, on n'aura à substituer que des
nombres entiers dans l'équation en x'.
139. La méthode que nous venons d'exposer est communément attribuée à Lagrange, mais il est juste de dire^ et l'illustre géomètre le reconnaît lui-même, que Waring avait indiqué antérieurement, dans ses Miscellanea, l'usage de l'équation aux carrés des différences pour la séparation des racines. Cette méthode fait connaître d'une manière certaine le nombre des racines réelles, en même temps qu'elle opère leur séparation; mais on aperçoit sans peine combien l'application en est laborieuse, en considérant d'une part le grand nombre de substitutions que l'on peut avoir à effectuer, et d'autre part la longueur du calcul nécessaire pour former l'équation aux carrés des différences. Cependant Cauchy a montré qu'on peut éviter ce dernier calcul, et que, pour être en mesure d'assigner une valeur de la quantité A, il suffit de connaître le dernier terme de l'équation aux carrés des différences, lequel peut être calculé séparément par diverses méthodes dont on trouvera le développement dans la
Section II de cet Ouvrage. En effet, soient a, J, c,
y, g' les m racines de l'équation f(^x)=:^o'^ le dernier terme de l'équation aux carrés des différences sera égal, abstraction faite du signe, à l'expression
V = [a-bY[a^ cY. . ,[a^gY. ..[/-gY-
Cette valeur de V étant supposée connue, soit v son mo-
3oo couKs d'algèbue supérieure.
dule^ en sorte que i^ =^ ± V ; désignons aussi par p une limite supérieure des modules des racines de réquation proposée (n^ 46). Les modules des différences
seront inférieurs à 2|0 (n° 39); si donc on suppose que les racines a et & soient réelles, l'égalité précédente donnera
.<(«-6)'(2p)'"('"-)-., d'où (a a).>^pJL-^i si donc on prend
A = ou <^ -
la quantité h sera certainement plus petite que la différence de deux racines réelles quelconques. On verra dans la Section II que, si le coefficient du premier terme de l'équation proposée est égal à i et que les autres coefficients soient des nombres entiers, la quantité V est toujours un nombre entier ; on pourra donc, dans ce cas, se dispenser de calculer v', et l'on prendra
/l zrr ou <<
/tt • m — 1 j
Ce perfectionnement, apporté par Cauchy, a sans doute de l'importance, mais il ne fait pourtant disparaître qu'une partie des inconvénients de la méthode.
140. Nous ne pouvons nous dispenser d'indiquer ici l'usage de l'équation aux carrés des différences pour former les conditions de réalité de toutes les racines de l'équation proposée y(j:) = o. Si celte dernière équation a toutes ses racines réelles, il est évident que toutes les racines de l'équation aux carrés des différences seront
SECTION I. CHAPITRE VI. '60l
réelles et positives ; donc cette équation sera complète et elle n'offrira que des variations. Si au contraire l'équation y (j:) = o n'a pas toutes ses racines réelles, soient a ± i6 deux racines imaginaires conjuguées, l'équation aux carrés des différences admettra la racine négative — 4 S* et, si elle est complète, elle offrira nécessairement quelques permanences, d'après le théorème de Descartes. Donc :
Pour qu'une équation ait toutes ses racines réelles, il faut et il suffit que l'équation aux carrés des différences soit complète et ne présente que des variations.
Ce théorème donne ainsi conditions, mais
quelques-unes de ces conditions devront être satisfaites d'elles-mêmes ou rentreront dans les autres, car on a vu au n** 131 que le nombre total des conditions distinctes ne peut pas surpasser m — i .
1 41 . Plusieurs géomètres ^ après Lagrange, ont cherché à éviter l'emploi de l'équation aux carrés des différences ; mais nous n'avons à signaler aucun résultat essentiel, jusqu'à la découverte du théorème de Budan. Ce théorème a une grande importance dans la théorie des équations, et il permet d'effectuer très-simplement, dans la plupart des cas, la séparation des racines. Mais, avant de développer cette application importante du théorème de Budan, je dois parler de la méthode si remarquable qui nous est donnée par le théorème de Sturm, et qui résout de la manière la plus complète et la plus élégante le problème que nous avons en vue. Effectivement, quand on aura formé les fonctions dont ce théorème indique l'usage, on substituera à l'inconnue une suite de nombres croissants
3oa COURS d'algèbre supérieure.
et le théorème fera connaître combien il y a de racines dans l'intervalle que forment entre eux deux termes consécutifs de cette suite. S'il y a une seule racine dans l'un des intervalles, cette racine sera séparée; si, au contraire, il y a plusieurs racines, on substituera des nombres intermédiaires, et l'on arrivera infailliblement ainsi à achever la séparation. Il est à peine nécessaire d'ajouter qu'on devra prendre pour termes extrêmes de la suite précédente deux nombres au delà desquels il n'y ait plus de racines réelles.
Les nombres à substituer peuvent être pris arbitrairement ; mais dans les applications il conviendra en général de choisir d'abord les nombres
... — ICO, — lO, — I, O, -hl, -4- lO, -+-IOO, ...,
dont la. substitution se fera sans difficulté. Si les substitutions indiquent l'existence d'une ou de plusieurs racines dans un intervalle, entre i et lo par exemple, on substituera les nombres 2, 3, ... jusqu'à 9, ce qui donnera la partie entière des racines comprises entre i et 10. S'il y a plusieurs racines dans l'un de ces nouveaux intervalles, par exemple entre 3 et 4> on substituera les nombres 3, i ; 3, 2, . . . , et ainsi de suite.
On voit que ce procédé donne non-seulement la séparation des racines, ce qui est l'objet que nous nous proposons, mais qu'il permet à la rigueur de calculer chaque racine avec un degré d'approximation quelconque.
Il importe de remarquer le cas où l'on sait d'avance que toutes les racines de l'équation proposée sont réelles. Dans ce cas, on peut se dispenser d'employer le théorème de Sturm, ou plutôt on appliquera ce théorème, en prenant pour suite de fonctions, conformément à la proposition du n** i 19, celle qui est formée du premier membre de l'équation proposée et de ses dérivées successives;
SECTION I. CHAPITRB VI. 3o3
i42. Exemple I. — Supposons qu'on demande de séparer les racines de Féquation
or* -f- ar* — 4^* — ^x-h 1 = o.
En supprimant certains facteurs numériques positifs, l'application du théorème de Sturm donnera les fonctions suivantes :
Vi = 7.r*-h8a: — 4, Vj =4x^-5,
ces fonctions sont au nombre de cinq, et leurs premiers termes sont positifs : donc Téquation proposée a ses quatre racines réelles. Les règles des n°» il3 et 114 indiquent que les racines sont toutes comprises entre — a et -+- a, ce q\ii s'accorde avec les résultats des substitutions. La substitution des nombres
dans la suite des fonctions V, donne les résultats suivants :
II y a deux variations perdues dans le passage de — 2 a
3o4 COURS D^ALGÈBEE SUPÉRIEUnE.
— I, une dans le passage de o à i et une dans le passage de I à 2 ; Téquation proposée a donc deux racines entre
— a et — I , une racine entre o et i et une autre i et 2. Il reste à séparer les deux racines comprises entre — i et — 2. Oi^, d'après le tableau précédent, on voit que la première des fonctions V est positive pour x = — 2, ainsi que pour x = — i , et Ton trouve qu'elle est négative pour X = ; donc les deux racines négatives sont
comprises, Tune entre — i et — 1,5, l'autre entre — 1,0 et — 2.
Exemple IL — Prenons pour deuxième exemple l'équation
ar* -h x* — x^ — o:' -I- o?* — or -h i =: o;
on trouve, dans ce cas,
V =x«-+-j:«— ^* — ;r*-f-x* — ar-^-I, Vj = 6x* -h 5j:* — 4ar> ^ 3x« -h 2X — !, V, = I7.r* + i^x^ — 270:' -f- 32X — 35, Vj = —- 792.r' H- 2o52x' — 2o58a: -h 127, V4 =1 — 5 l8o552ar*-f- 49^3200 ar -h 10048623.
On reconnaît, par la méthode du n^ 114, que l'équation . proposée ne peut avoir de racines réelles en dehors des limites — 0,6 et H- i. Or Téquation V4 = o a ses deux racines réelles, mais Tune d'elles est comprise entre — i et — 0,6, l'autre entre H- i et H- 2; donc il est inutile, pour notre objet, de calculer V5 et Va. La suite des signes des fonctions
V, Vi, Vj, V3, V4
est, pour o: = — 0,6,
SECTION I. CHAPITRE VI. 3o5
et, pour a: = -f- 1 , cette suite devient
il y a, dans les deux cas, deux variations; donc l'équation proposée n'a point de racines réelles.
Méthode de Fourier pow la séparation des racines.
143. La méthode de Sturm ne laisse rien à désirer sous le rapport de la perfection théorique ; malheureusement le calcul des fonctions dont cette méthode exige l'emploi peut devenir très-pénible, même dans des cas fort simples ; ainsi, dans le second des exemples que nous venons de présenter, le nombre constant Vc qui terminerait la suite complète des fonctions n'a pas moins de quarantequatre chiffres. Aussi est-il plus avantageux, dans un grand nombre de cas, de se borner à l'emploi du théorème de Budan. Ainsi que nous l'avons dit déjà, Fourier avait trouvé de son côté ce théorème, et il a montré dans son analyse des équations comment on peut en tirer parti pour effectuer la séparation des racines réelles d'une équation, et obtenir en même temps le nombre exact <le ces racines. Nous allons indiquer ici cette méthode de Fourier; mais, afin d'apporter plus de clarté dans notre exposition, nous commencerons par établir une proposition dont nous aurons à faire usage.
Lemme. — Soient f{oc) Une fonction entière de la "variablexet f'[x)jf"[x)les deux premières dérivfées def[x)> Si l'on fait croître x entre deux limites Xo et X qui ne comprennent aucune racine de l'équation
r[x) = o, Za fonction ^{x) = x — \,}. croîtra tant
qiief[x) et f"{x) seront de même signe, et elle dé" S., Alg, sup, — L 20
3o6 COURS d'algèbre supérieure.
croîtra tant quef[x) et f"[x) seront de signes con* traires.
On a effectivement
d'où
« et y) désignant des quantités qui s'évanouissent avec m; il résulte de là que, si h désigne une quantité positive dont le module soit suffisamment petit, la quantité
aura le signe de*^-,- \ ou le signe de f{x)f"(x)
pour toutes les valeurs de u comprfses entre — h et 4- hy pourvu que/' (.r) ne soit pas nulle. En conséquence, si X croît de Xo à X et que ces limites ne comprennent aucune racine de réqualiony(a:) = o, la fonction 'p(^) croîtra ou décroîtra suivant quey(x) ei f'\x) seront de même signe ou de signes contraires, ce qui est la proposition énoncée.
Corollaire I. — Si l'équation f[x) = o a deux racines réelles comprises entre les limites a et 6 >>«, mais quelle n'en ait pas un plus grand nombre; si, en outre, V équation f" [x) = ona aucune racine entre les mêmes limites, on aura
En effet, soient j:' et x"> or' les racines àef[x) = o comprises entre a et (3; comme f"{oc) ne peut changer de signe, quand x varie entre ces limites, la fonction /' [x) est constamment croissante ou constamment décroissante, et il en résulte que l'équation y (a:) = o ne peut avoir qu'une seule racine entre a et S ; d'ailleurs celte racine existe d'après le théorème de Rolle, et elle est coni' prise entre x' et or". D'après la proposition du n*^ 120,
les rapports ^/— r» j.,/,' \ sont néeratifs quand x croît de
a à x'y tandis qu'ils sont positifs quand x croît de x" à 6;
donc, dans l'un et l'autre cas, f{x) elf"[x) sont de
même signe, et, par conséquent, la fonction
est croissante. On a donc
tI-X-pI^'), ?(*")<?(6).
D'ailleurs on a d'où '
ç(x-)<ç(x'); donc, à plus forte raison,
ou
ce qui est le résultat annoncé.
CoROLLAiEB IL — Si Véquotion f'(^x)=^o a une racine Xi entre aetS'^oLy et que les équations/ [x) = o, y^ (x) = O n'aient aucune racine entre ces limites; si, en outre, les fonctions f[x)jf"{x) sont de même signe.
3o8 COURS d'algèbre supérieurs.
pour les valeurs de x comprises entre aetê^ l' inégalité
pourra asfoir lieu, mais elle cessera nécessairement de subsister si l'on augmente a ou que l'on diminue 6 d'une quantité com^enable.
D'après notre hypothèse, la fonction ç(x) croît quand X augmente de a àX| ou de X| à 6. Il s'ensuit que, si Ton fait décroître x de S kx^y la fonction
croîtra depuis la valeur initiale cp(a) — ç(6) jusqu'à + 00 . Pareillement, si Ton fait croître x de a èLX^y la fonction
croîtra aussi depuis Ç'(a) — 9(6) jusqu'à -h 00 . Si donc a' et S' désignent des valeurs comprises entre a et Xf, Xi et 6 respectivement et suffisamment approchés dexo on aura
c'est-à-dire
144. Cela posé, soity(x) = o une équation donnée du degré /», et considérons la suite
formée par la fonction y (j:) et ses dérivées successives. Pour effectuer la séparation des racines, on procédera de la même manière que par la méthode de Sturm, et l'on
SECTION I. CHAPITRE VI. 3q9
substituera kXy comme nous l'avons indiqué au n^ 141^ une suite de nombres croissants
compris entre les limites des racines.
Si, cjans le passage x = a àa:==6,la suite des signes des fonctions (i) ne perd aucune variation, Téquation f(jc)=:o n'aura aucune racine réelle comprise entre « et 6. S'il jaune seule variation perdue, réquationy( a:) = o aura une seule racine entre a et 6, et cette racine sera séparée.
S'il y a deux variations perdues en passant dex = oL àx = 6, il peut arriver que réquationy(x) = o ait deux racines entre a et 6 ou qu'elle n'en ait aucune ; on a vu que, si le dernier cas a lieu, l'équation a nécessairement deux racines imaginaires. Nous allons indiquer comment on peut distinguer ces deux cas l'un de l'aurre, lorsque la perte de deux variations se manifeste dans la portion de la suite (i) qui est formée par les trois premières fonctions
Comme le théorème de Budap s'applique à l'une quelconque des fonctions de la suite (i), il résulte de notre hypothèse que l'équation f"{x) = o n'a aucune racine comprise entre a et 6. Si donc on a
on sera certain, d'après le lemme du n*'143 (corollaire I), queréquationy(a:)= o ne peut pas avoir deux racines réelles entre a et 6. Lorsque l'inégalité précédente n'est pointsatisfaite, il faut substituer dans /(x) elf\x) un nombre a compris entre a et 6; si f{a) est de signe
3io COURS d'algèbre supérieure.
contraire à y( a) el/{S), il y aura deux racines réelles comprises l'une entre a et a, Taulre entre a et S ; mais, si/ (a) est de même signe quey( a) ety*( 6), on connaîtra, parles substitutions faites dans la suite (2), quel est celui des deux intervalles de a à a ou de a à 6 dans lequel il peut exister deux racines. On appliquera alors à ce nouvel intervalle ce qui a été dit du premier, et, après quelques essais du même genre, on arrivera généralement à connaître la nature des deux racines ; cela suppose, bien entendu, quç l'équation proposée n'a pas de racines égales.
145. Considérons maintenant le cas général, et désignons par ^n le nombre des variations perdues par la suite
dans le passage de x = a à x= 6. Ce nombre A„ est ce que Fourier nomme Vindice relatif à y" (a:); l'indice relatif ày(a:) sera donc représenté par Ao, et celui qui se rapporte à la dernière fonction y*" (x) sera zéro, en sorte que la série
(3) Ao, A,, A„ . .., A^,, o
comprendra les indices des m + i fonctions (i); il esl évident que, dans cette suite, deux termes consécutifs sont égaux entre eux ou ne diffèrent que d'une unité; ainsi l'on a
A/ = A/4.i — I, ou =A/+i ou A/+,-hi.
Nous avons examiné plus haut le cas de ûo == o et celui de Ao=i; dans le premier cas, réquationy(a:) = o n'a aucune racine entre a et 6 ; dans le second cas, l'équation a une seule racine entre les mêmes limites. Il importe de remarquer que, si l'on a Aq^i, on peut, en
SEGTIOIV I. CHAPITRE VI. 3ll
diminuant l'intervalle de a à 6, faire en sorte que A| = o ; en effet, /( jr) = o n*a qu'une seule racine od entre a et 6, et, par suite, elle ne peut avoir, avec sa dérivée, aucune racine commune comprise entre a et 6 ; donc, en remplaçant les limites a et |3 par deux autres suffisamment rapprochées, on pourra toujours faire en sorte que i'équationy'(a:) = o n'ait aucune racine dans le nouvel intervalle; alors, la suite (i) ne perdant qu'une seule variation, on aura A| = o.
Supposons actuellement que Ao= 2 ou Ao]>2. Parcourons la suite (3) en partant de la gauche, jusijii'à ce que nous trouvions un indice égal à i : soit A„ ce premier indice égal à l'unité ; la méthode que nous allons développer a pour objet de reculer successivement l'indice A„ vers la gauche de la suite (3), ou, ce qui revient au même, de diminuer le nombre n qui marque le rang de l'indice. L'indice ù^n^K qui précède A/j ne peut être égal à I , par hypothèse ; donc il est o ou 2 ; mais, si l'on avait A;,„i = o, comme Ao est au moins égal à 2, en remontant la suite ( 3 ) à partir de A^.i , on rencontrerait nécessairement un indice égal à i , ce qui est contraire à l'hypothèse; ainsi l'on a A;,| == 2, en sorte que le premier indice A/j égal à i est nécessairement précédé d'un indice égal à 2. Or, si ce même indice n'est pas suivi d'un indice A;,^| égal à zéro, on pourra toujours, comme on l'a vu plus haut, trouver deux limites a', 6' comprises entre a et 6 et qui ne comprennent aucune racine de réquation/'''"*"*(j;) =: o; Tintervalle de a à 6 sera alors partagé en trois autres, savoir celui de a à «^ celui de a à 6' et celui de 6' à 6. L'équation /«(j:)=:o n'a aucune racine dans le premier et dans le troisième intervalle ; donc, pour chacun de ceux-ci, l'indice A„ est zéro, et, en conséquence, le premier indice égal à i est reculé vers la gauche de la suite (3). A l'égard de l'intervalle
3ia coTjRs d'algèbre supérieure.'
dont fl/ et 6' sont les limites, il peut arriver que A„ ne soit plus le premier indice égal à i ; dans ce cas, ce premier indice se trouvera reculé vers la gauche. Mais il peut arriver aussi que A;, demeure le premier indice égal à ly et alors on a simultanément
Tant que ce dernier cas ne se présentera pas, on pourra reculer le premier indice i vers la gauche de la suite (3)^ jusqu'à ce que cet indice y occupe le premier rang, et Ton se trouvera dès lors dans le cas de A© = i qui est celui d'une seule racine comprise dans l'intervalle dont on s'occupe.
Ainsi nous n'avons plus à considérer que le cas où le premier indice A;, égal à i est précédé d'un indice égal à 2, et suivi d'un indice égal à o. L'équation^"-* (j:) = o peut alors avoir deux racines réelles entre a et 6, mais elle peut aussi n'en avoir aucune; on distinguera ces deux cas l'un de l'autre, au moyen de la règle exposée au n** 144. En même temps cette règle donnera le moyen de séparer les racines, si elles sont réelles et inégales; l'une d'elles sera comprise entre a et un certain nombre a^ la seconde entre a et 6 ; à chacun de ces nouveaux inter\'alles répondra une série d'indices dans laquelle le premier terme égal à i se trouvera reculé vers la gauche au delà de A^. Si l'équation y ''~*(x) = o n'a aucune racine réelle entre a et o, on reconnaît, en se reportant à la démonstration du théorème de Budan, que chacune des équations
a deux racines imaginaires. En efiet, il résulte de nos
SECTION I. CHAPITRE VT. 3l3
hypothèses que Véq\idLÛonf''[x) = o a une racine entre a. et 6, laquelle, substituée clansy*«~*(x) et cIans/«+*(x), donne des résultats de même signe ; donc la suite des trois fonctions
perd deux variations dans le passage dex=zakx=S. En conséquence, cette circonstance introduit dans les indices
une partie égale à a que l'on peut supprimer, car chaque indice n'exprime autre chose, dans cette théorie, qu'une limite supérieure du nombre de racines réelles que peut avoir l'équation correspondante, dans l'intervalle considéré. Alors on aura, après cette suppression de deux unités,
en sorte que le premier indice égal à i se trouvera reculé vers la gauche.
Il peut arriver que l'équation y'*~*(x) = o ait deux racines égales comprises entre a et 6; il est facile de voir que la conclusion est la même que dans le cas de deux racines imaginaires, à moins que l'équation proposée n'ait des racines égales. Si la racine double dont nous nous occupons appartient à chacune des équations (4), la proposée aura n-i- i racines égales à cette racine.
1 46. Exemple I. — Je choisirai pour premier exemple Téquation
3i4 COURS d'algèbre supérieure.
déjà considérée au n^ 142. On a
/(x) =: j:* -h .r» — ar* — ac^ -^ x^ — x -h I,
= 1 5 j:* -+- 1 0 jr» -- 6aî*— 3 j: -h I , = 10x^-\- IO.r' — 4-^ — '»
= l5x'-f- 5jr — I,
Les racines réelles de l'équation y(x) = o sont comprises entre — i et -H i ; substituons les nombres
dans la suite
on obtiendra les résultats suivants :
JT
rw
rw
SECTION I. CHAPITRE VI. 3l5
Il y a deux variations perdues de — i à 9 deux autres
de o à -» deux enfin de - à- 1 .
On reconnaît immédiatement qu'il n'y a point de racines réelles entre - et i , parce que l'on a
ce qui donne
Pour l'intervalle de o à -9 la série des indices est
le premier indice i étant suivi d'un autre indice égal à i y
il nous faut 'resserrer nos limites. La substitution de -?
donne les résultats
d'où il suit qu'il n'y a aucune variation perdue de o à -^ ;
il suffit de considérer l'intervalle de -7 à -; la série des
4 ^ indices qui répondent à cet intervalle est
3>6 COURS d'algèbre SUPÉRtEtTRC.
comme on a
d'où
on conclut que l'équation f"{x) = o n'a pas de racine entre 7 et - : donc la proposée elle-même n'en a pas dans
cet intervalle (n° 145).
Enfin la série des indices pour l'intervalle de — i
à est encore
ce qui montre que l'équation y^'(a:)=(> n*a pas de racine entre et — i ; la proposée elle-même n'en a donc
aucune dans cet intervalle.
Ainsi les six racines de notre équation sont imaginaires, comme nous l'avons déjà reconnu à l'aide du théorème de Sturm.
on a
d'où
SECTION 1. CHAPITRE VI. il y
Exemple II. — Je considérerai encore Téquation
jr* — 1 2 jr« -H 6oar* H- 1 23x* -h 4^67 .r — 89O 12 = 0,
traitée par Fourîer. On a ici
/[x] =:x^ — l2jr*-+-6oj:*-+-i23a:'-f-4567x— 8901a. •^-^ — = 6.r» — 6o.r* -f- 240^' -H 246a: -I- 4567,
= l5.r*— 120a:* -h 36oj:*-f- 123, 20 jr* — I20Jr'-|- 24OX,
=r l5x* — 6ox-i-6o,
6jr — 12,
Soit e une quantité positive aussi petite que Ton voudra. En substituant les nombres
... — 10, —I, — «, -i-f, on obtient les résultats suivants :
JT
rw
-f-IO
Comme il y a six variations perdues dans le passage
3i8 COURS d'algèbre supérieure.
de — lo à -l-io, les racines réelles sont toutes comprises entre ces limites.
De — loà — I, il y a une variation perdue; il y a donc, entre ces limites une racine unique qui est ainsi séparée.
De — fi à-|-« ilya deux variations perdues, ce qui indique deux racines imaginaires. Enfin, de H-i à H-io il y a trois variations perdues, donc il y a entre ces limites une ou trois racines réelles.
La série des indices relatifs à l'intervalle de i à lo est
Of 2j 2f 2, 2, If Of
OD a ici
/"(lo) /"fi)^ , » ^^.
ce résultat montre que Tintervalle de i à i o est trop considérable pour qu'on puisse reconnaître la nature des racines par une seule opération. Mais, avant de diminuer cet intervalle, il convient d'examiner si l'équation y"''[x) = o n'aurait pas deux racines égales comprises entre i et lo. On reconnaît effectivement que x — 2 est un diviseur def^''{a:) et def^{x); d'ailleurs ce binôme ne divise pas toutes les fonctions /""(x),. . .,f{x) qui précèdent^ ''(x) ; donc on pourra retrancher 2 des cinq premiers indices. On obtiendra ainsi la nouvelle série
qui montre que la séparation des racines est terminée. Ainsi l'équation proposée n'a que deux racines réelles, l'une entre — 1 et — 10, l'autre entre -|-i et -+-10.
Séparation des racines imaginaires.
147. Si f{z) désigne une fonction entière de la variable imaginaire ^ = x -h r^, dans laquelle les coeffi-
cients soient des quantités données réelles ou imaginaires, on pourra effectuer la séparation des racines de l'équation y(z)=o, en faisant usage de la proposition que nous avons établie au n° 137.
Effectivement, si Ton trace deux axes de coordonnées rectangulaires ox et oj, puis qu'on mène à Tun des axes, celui des y par exemple, des parallèles qui répondent aux abscisses
on pourra déterminer, par le théorème du n** 137, le nombre des racines comprises entre deux parallèles consécutives. S'il n'y a qu'une seule i'acine dans l'un des espaces ainsi déterminés, cette racine sera séparée, conformément à la définition du n° lH ; s'il y a plusieurs racines comprises entre deux parallèles consécutives, on pourra achever la séparation par le moyen de parallèles intermédiaires, à moins que plusieurs racines n'aient la même partie réelle.
On connaîtra ainsi deux racines aussi rapprochées Tune de l'autre que l'on voudra, entre lesquelles sera comprise la partie réelle x de chaque racine. Si l'on veut avoir en même temps des limites de la valeur correspondante ou des valeurs correspondantes de j^, on y parviendra en menant des parallèles à l'axe des x\ celles-ci, avec les deux parallèles à l'axe des j qui comprennent les points racines que l'on considère, détermineront divers rectangles, et le théorème du n°136 fera connaître quels sont ceux de ces rectangles qui renferment les racines dont on s'occupe.
3ao COURS d'algèbre supÉRnstniE.
