DU CALCUL DES RACINES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQLTBS
Recherche des racines commensurables des équations à coefficients rationnels.
148. Le calcul des racines d'une équation numérique offre d'autant plus de difficultés que le degré de l'équation est plus élevé. Aussi, lorsqu'une équation donnée n'est pas irréductible et que l'on sait effectuer la décomposition de son premier membre en plusieurs facteurs, il faut commencer par opérer cette réduction. En particulier, toute équation qui a des racines multiples devra être remplacée par une ou plusieurs autres qui n'aient que des racines simples ; cette suppression des racines égales n'es tpas seulement utile, elle est souventindispensable, ainsi qu'on a pu s'en convaincre en étudiant les théories que nous avons développées dans le précédent Chapitre.
Lorsqu'il s'agit d'une équation dans laquelle les coefficients sont des nombres rationnels et que cette équation a des racines commensurables, on peut les obtenir par une méthode très^simple que nous allons exposer. Les racines commensurables étant connues, si leur nombre est égal au degré de l'équation, celle-ci sera résolue ; dans le cas contraire, on pourra les supprimer par le moyen de la division, et l'on sera ramené à une équation plus simple. Cette détermination des racines commensurables doit, comme on le voit, précéder toute autre recherche.
149. Lorsque les coefficients d'une équation sont rationnels, on peut chasser les dénominateurs qu'ils peuvent contenir ; ces coefficients deviennent alors des nombres entiers. Cela posé, la recherche de toutes les racines commensurables se ramène à celle des racines entières, au moyen de la proposition suivante :
Théorème. — Lorsque le premier terme d'une équation a pour coefficient l^ unité et que les autres coefficients sont des nombres entiers y V équation ne peut ai^oir pour racines commensurables que des nombres entiers.
En efiet, soit l'équation
dans laquelle les coefficients A| , . . . , A;,, sont des entiers. Substituons à x une fraction irréductible quelconque -9 on aura
^'"-*/f ^] = p -h A, fl*"-» -t- A, 6/i'»-« H- . . . H- A^ ô'»-* ;
or, pour que - fût racine de réquationy*(^) = o, il faudrait que l'on eût
ce qui est impossible, puisque le second membre est un nombre entier, tandis que le premier membre est une fraction irréductible ; donc l'équation proposée ne peut avoir une racine fractionnaire.
D'après cette proposition, pour avoir toutes les racines rationnelles d'une équation à coefficients entiers, il suffira de transformer l'équation proposée en une autre ( n® 58 ) dans laquelle le coefficient du premier terme soitl'unité.
3aa COURS d'algèbre supérieure.
les autres coefficients, étant entiers, et de déterminer les racines entières de la transformée.
Soit
Ao^'" H- Aj jc'«-* -+-... -4- A;„»i J? -h A,„ — o
Téquation proposée ; on poseraa:= - (n°58), et la transformée sera
z'^ -H -,- 5'"-» -h --- z«-» -♦-... -h --' — = o, Ao Ao Aq
le nombre entier « devant être choisi de manière que les
expressions
Al a Ajtt* A^a*"
Ao Ao Ao
se réduisent à des nombres entiers. 11 est évident qu'on satisfera à cette condition en prenant a = Aq, mais on remplira souvent l'objet demandé en donnant à a une valeur inférieure à Aq. Quand les racines entières de la transformée en z auront été obtenues, en les divisant para, on aura les racines commensurables de la proposée.
150. Il nous reste à indiquer comment on délcrminera les racines entières d'une équation
(l) /(.r) = AoX'« -f- AiX"»-*-h. . . 4-A,„,x + A;„=r o,
dans laquelle les coefficients Ao, A,, . . ., Km sont des nombres entiers sans diviseur commun.
Dire que a est une racine de cette équation, c'est dire que le premier membre y(a:) est exactement divisibb* parx — a; représentons le quotient de la division par
on aura
et, si a est un nombre entier, il est évident que les coefficients du polynôme ç(x) seront aussi des nombres entiers. En efTectuantle produit indiqué dans le second membre de la précédente égalité, et en écrivant que les coefficients des mêmes puissances de o: dans les deux. membres sont égaux entre eux, on trouve
A« =aB^-t,
Am-i = ûB^-, — B;„^i,
Am-t= 0,^m—% — ^m-'\^
d'où
A, =aB,-B„
Bo
Ao =— . Bo}
= Ao-f-Bo,
et réciproquement, si les relations précédentes sont satisfaites, la formule (2) aura lieu identiquement; donc, pour que le nombre entier a soit une racine de l'équation j>roposée, il faut et il suffit que les valeurs précédentes de B/n-o B;„2, ..., Bo soient des nombres entiers, et que le dernier de ces nombres soit égal à — Ao. Ainsi les conditions auxquelles on reconnaîtra qu'un nombre entier positif ou négatif est racine d'une équation sont les suivantes :
H faut et il suffit qiCil disfise exactement le dernier terme de V équation; quil di\fise la somme obtenue en ajoutant le quotient de cette dii^ision avec le coefficient de la première puissance de V inconnue, qui! il divise la somme obtenue en ajoutant le quotient de cette deuxième division avec le coefficient de la deuxième puissance de V inconnue; et ainsi de suite, jusqiià ce quon arrive à
ai.
ajouter un dernier quotient ax^ec le coefficient du pre^ mier ternie de l'équation, ce qui dévora donner unr somme égale à zéro.
On peut disposer de la manière suivante ropération qu'on exécute pour essayer un nombre a :
Al
Les coefficients de l'équation ayant été écrits sur une première ligne horizontale, on divise le dernier coefficient Am paraetl'on écrit au-dessous de ce coefficient le quotient obtenu — B;n„i changé de signe. On divise ensuite par a le coefficient* A;»i augmenté du premier quotient B;„, et Ton écrit au-dessous de A;„i le deuxième quotient obtenu — Bto-2 changé de signe. On continue de la même manière jusqu'à ce que l'on ait écrit au-dessous du coefficient A, le quotient changé de signe — Bo obtenu en divisant par a la somme A, -h B| . Si Tune des divisions ne se fait pas exactement, ou si la somme Ao -4- Bq n'est pas nulle, le nombre essayé a n'est pas racine. Dans le cas contraire, le calcul qu'on vient d'exécuter fournit les coefficients du
quotient - ; et, pour trouver les autres racines entières, il suffît d'appliquer la même règle à ce quotient, et ainsi de suite.
Les nombres qu'il faut ainsi essayer sont les diviseurs du dernier terme de l'équation pris avec les signes -f- et — ; toutefois on devra rejeter ceux des nombres ainsi obtenus qui tomberaient en dehors des limites des racines et ceux qu'on peut avoir reconnus comme n'étant pas des racines. Par exemple, si a est une racine entière, l'identité (a), savoir :
donnera
SECTIOIf I. CHAPITRE VII.
fli' =-.(*.).
d'ailleurs les coefficients de 9 (x) étant entiers, (p(± i) est un nombre entier. Donc : le nombre entier a ne peut être une racine de V équation f [x) = o sif[± i) n'est pas dis^isible par a rp i .
Quant aux résultatsy(zt i) de la substitution de ± i àx, ils s'obtiennent par de simples additions ou soustractions entre les coefficients de/(a:); on peut donc reconnaître immédiatement si l'équation proposée admet les racines -+- i et — i .
Exemple. — Soit Téquation
f[x) z=:d:»— 34^' 4- 29 -r* -h 2120? — 3oO =rO,
on a
en conséquence -♦- i et — i ne sont pas racines. On reconnaît immédiatement que toutes les racines réelles sont comprises entre — 6 et -♦- 6 ; les seuls diviseurs de 3oo qu'il y ait lieu d'essayer sont donc ±:a,dz3,±4> =t5; mais il faut rejeter -h 3, parce quey( — i) n'est pas divisible par 4> ainsi que — 2, ±^el — 5, parce que ces nombres diminués de i ne sont pas des diviseurs de /( -+- I ) ; on devra donc se borner à l'essai des nombres -1-2, — 3, -h 5 et l'on disposera le calcul comme il suit :
— 3oo
-hi5o
L'essai du diviseur 2 ayant réussi, on doit renouveler cet essai qui réussit encore ; la troisième ligne du tableau qui
3a6 COURS d'algèbke supérieure.
précède renferme les coefficients du.quotient — ^- — ^> et,
comme le dernier de ces coefficients n'est pas divisible par 2, on passe au diviseur — 3, qui est racine; enfin Fessai du diviseur 5 ne réussit pas, et il en résulte que Féquation proposée n'a que trois racines commensurabies, savoir deux racines égales à -f- a et une racine égale à — 3. La dernière ligne du tableau donne les coefficients du
/far)
quotient ^— .[. ' ^. j lequel est ainsi x^-hx — a5,
et la résolution de la proposée est ramenée à celle de l'équation du deuxième degré x^-hx — aS = o.
Tliéorie des différences.
1 51 . Lorsqu'on veut eflectuer la séparation des racines réelles d'une équation, ou que l'on se propose de resserrer les limites entre lesquelles se trouve comprise une racine déjà séparée, on est conduit à calculer les résultats de la substitution de divers nombres à l'inconnue, dans certaines fonctions entières de cette inconnue. Dès que le nombre de ces substitutions devient un peu considérable, il est indispensable de diriger le calcul d'une manière régulière et méthodique, ce à quoi l'on parvient par le moyen de V algorithme des différences que nous allons exposer ici.
Soit
une suite limitée ou illimitée de quantités assujetties à une loi quelconque. Si l'on retranche chacune de ces quantités de celle qui la suit immédiatement, on formera une nouvelle suite que nous représenterons par
(2) Atfo, Atti, Ai/„ ,,., Att;^, ....
SECTION !• — CHÀPITKE VIl^ 827
Les quantités ( a ) sont dites les différences premières ou les différences du premier ordre des quantités (i), et Ton a, pour toutes les valeurs de l'entier jui,
Si l'on opère sur la suite (2), comme nous venons de le faire sur la suite (i), on formera une troisième suite que nous représeiiterons par
(3) A*ttoi ^*"i» ^*«j» •••» ^*«ii» ••••
Ces quantités (3) sont les différences premières des quantités ( 2) ; elles sont dites aussi différences deuxièmes ou différences du deuxième ordre des quantités (1), et l'on a, quel que soit |ui,
A*w^ = Amjh.1 — Lu^.
Si la suite (i) renferme un nombre illimité de termes, on pourra poursuivre indéfiniment la même série d'opérations et l'on formera de cette manière une infinité de suites nouvelles qui comprendront les différences troisièmes ou du troisième ordre des quantités (i), celles du quatrième ordre, et ainsi de suite ; on aura généralement, quel que soit /i,
A"-*-* u^ = A'»tt,»+i — A» 11^.
Mais, si la suite (i) ne renferme qu'un nombre limité, m -f- I de quantités, il est évident qu'il n'y aura que m différences premières, m — i différences deuxièmes, et généralement m — n -f- i différences du /i»*°»« ordre ; ainsi, dans l'ordre m, il n'y aura plus qu'une seule différence. On peut avoir à considérer des suites de quantités illimitées dans les deux sens, telles que
...i/8, w„ «i, I/o, Wi, tfj; »8
Nos définitions n'exigent, pour ce cas, aucune modifica*
328 •cocus d'algèbre STJPÉRIEUllE.
tion, et Ton aura toujours
pour toutes les valeurs positives, nulles ou négatives de l'indice /m.
152. Expression générale des différences d'un ordre QUELCONQUE. — Nous Dous proposoDS de donner ici Texpression générale de A^uq en fonctions des quantités (i). On a d'abord
(4) Atto = "i — «0»
puis
et, en retranchant l'égalité (4) de la précédente, il viendra
(5) A'tfo = ttj — 2Ui -f- Wo>
Comme Uo, Ui, u^ peuvent être considérés comme trois termes consécutifs quelconques de la suite proposée, il est évident que l'on aura aussi
et, en retranchant l'égalité (5) de la précédente, on obtiendra
(6) A' I/o = II, — 3iij -f-3wt — «0.
On aperçoit aisément, sans qu'il soit nécessaire de poursuivre ces opérations, que l'on doit avoir, quel que soit /i,
(7) A»l/o=^n— Y"n-i+ \^ ' iin^t (- 0" 7 «1 ■+■ (- '^ «
les coefficients numériques du second membre de cette
8ECTI0W I. CHAPITRE VII. 32p
expression n'étant autre chose que ceux de la puissance ^icine j»m^ binôme pris alternativement avec les signes -fet — . La formule (7) étant vérifiée dans le cas de n = i, il suffit, pour en démontrer Texactitude, d'établir que, si . elle a lieu pour une valeur quelconque de n, elle subsiste pour la même valeur augmentée d'une unité. Supposons donc que la formule (7) ait lieu pour n=: [x; en l'appliquant aux a -+- I premiers termes de la suite proposée, puis auxfji-l-i termes qui suivent le premier Uoy on aura
si l'on retranche la première de ces égalités de la seconde, et que l'on ait égard à l'identité
(8) { ' "'••"' ......(/-ij
il viendra
ce qui est précisément le résultat fourni par la formule ( 7 ), quand on fait dans celle-ci « = fji -f- i .
