Expression du terme général d'une suite en
fonction du premier terme et de ses différences.
On a, d'abord,
(9) n, = I/o H- Atto,
puis
Aa, = A&o -h A^Kq,
330 COUBS d'algèbre SUPÉRIEUIIE.
et, en ajoutant cette égalité à Tégalité (9), il vient
(10) w, =r Wo"+-^A"o H- '^'«o;
on peut appliquer à la suite (a) des différences premières la proposition exprimée par la formule précédente, ce qui donne
Attj = Amq -4- 2A*tto -4- A'ttoî
cette formule étant ajoutée à la formule (10), il vient
(1 ï) II, = I/o -h 3 Atto -+- 3A«tto ■+■ A'iio-
Ces résultats nous permettent d^écrire immédiatement la formule générale suivante :
(12) ii„ = ttoH-- Ai/o-f--^^ ^A*iio -+-... -h -A»->tfo-f-A%,
dans laquelle les coefficients numériques sont ceux da développement de la w**"** puissance d'un binôme. Cette formule est vérifiée dans le cas de 71 = i , et, pour en démontrer la généralité, il suffira d'établir que, si elle a lieu pour une valeur quelconque fx de n^ elle subsiste pour 71 = [i-^i.
La formule (12) ayant lieu par hypothèse pour n = a, nous pouvons l'appliquer non-seulement à la suite (i , mais aussi à la suite (2) que forment les différences premières; on a donc
ii„ = «0 H- ^ Ai/o -h ^ A*ttoH-. . . -f-- A«*~*tto-4- à^Uo^
Att„ = Atto H- - A*iio -+-. ^-^-^—i- A' «0 H- ...-+- - A«^tto-+- A'*'*'»»»; ^ I 1.2 I
ajoutant ces égalités et ayant égard à la formule (8), il vient
«^, = «0 -4- f^^ Ai/o -h ^^"^ ')-? A«i/o -+-... -4- Aï'+ïtto,
SECTION I. CHAPITAE VII. 33 1
ce qui est le résultat que doûne la formule (12) quand on y fait « = (x 4- i .
1S4. Différences des fonctions entières. — Soit
une fonction entière de x. Donnons à x les valeurs successives
. . . jtq — h, arg, jTj, ^ A, oTo -h 2 A, . . . , xo 4- «/i, . . . ,
qui forment une progression arithmétique dans laquelle la différence constante est égale à A, et désignons par
les valeurs correspondantes de u. Ces valeurs, ainsi que leurs différences du premier, du deuxième, etc., ordre, seront données par les formules
{s}u=f[x -+- Hh) — if[x -I- h) -h/W,
OÙ il suffira de substituer successivement à x les valeurs ,..{xq — A), ;to, (aro-f-A), — Les quantités Au, A^m, .:. seront dites les différences première, deuxième, etc., de la fonction. u.
Théorème. — La différence m}^^^ d' une fonction entière de Xj du degré m, est constante.
Soit
u =/(a:) = A»^'» -t- A, ^'«-* + . . . -4-A;„-iX -h A^
une fonction entière du degré m; on aura
332 COURS d'algèbre supérieurs.
le second membre de cette formule est une fonction entière de X du degré m — ; , dans laquelle le coefficient de x'""* est évidemment mAo A; on a donc
ce qui montre que la différence Au d'une fonction entière u du degré m est une fonction entière du degré m — i et que le premier terme de Au s'obtient en multipliant par h la dérivée du premier terme de u. Celte proposition nous donne immédiatement les résultats suivants :
A* u = m{m — i) Ao A*jr'"-*-+-. . .,
A* tt=r/7î(m — i) (m — 2)AoA»jî'»-*-l-. . .,
on voit que la différence /n**"*A'"M est indépendante de X, et qu'elle s'obtient en multipliant par A"* la m'*"* dérivée de m, ce qui démontre le théorème énoncé.
Il résulte de là que les différences de u des ordres supérieurs à m sont nulles.
155. Substitution de nombres équidistants dans une FONCTION ENTIÈRE. — La propositiou que nous venons d'établir conduit à une conséquence très-importante qui remplit l'objet principal que nous avions en vue, et que l'on peut énoncer comme il suit :
Si l'on doit substituer à x une suite de nombres équi" distants
. . . xç — 2h, jTo — A, oTo^ jco H- A, xo -4- 2A, . . .
dans une fonction entière u =f[x) du degré m, il suffira de calculer directement les résultats de la substitution de m termes consécutifs de la suite, après quoi on obtiendra les résultats de la substitution de tous les au* très nombres par de simples additions.
SECTIOIT I. — CHAPITHE VII.
En effet, considérons le tableau suivant dans lequel on trouve la série des valeurs que prennent la fonction u et toutes ses différences jusqu'à celle de Tordre m, quand on donne à x toute la série des valeurs . . . x© — /«, Xq, a:o-hhj ....
A-'tt
A^-'tt., A"-'*/.
Pour construire ce tableau, nous calculons directement les m valeurs de u qui répondent à m valeurs consécutives de X, et nous les inscrivons en regard de ces valeurs dans la colonne qui est intitulée u. Nous formons ensuite les différences successives de cette suite de m termes, jusqu'à Tordre m — i , et nous écrivons les résultats dans les cplonnes respectives intitulées ûa, A^m, ..., A'"~*u; nous avons ainsi m — i termes dans la colonne Au, m — 1 dans la colonne A*u, . . . , i terme seulement dans la colonne A'""* u. Mais la différence A'^u est constante et sa valeur est connue d'avance; on peut donc former la dernière colonne du tableau et la prolonger indéfiniment en haut et en bas. Cela fait, on a tout ce qu'il faut pour prolonger les diverses colonnes du tableau aussi loin que Ton voudra, soit en haut, soit en bas. En effet, chaque terme de Tune des colonnes marquées u, Au, ... est égal à celui qui est au-dessus de lui, augmenté du terme qui correspond à ce dernier dans la colonne suivante, ou égal à celui qui est au-dessous de lui
dans la même colonne, diminué du terme qui lui correspond dans la colonne suivante. Il résulte évidemment de là que, si Ton a inscrit h termes dans l'une quelconque des colonnes, il suffira de connaître un seul terme de la colonne précédente, pour pouvoir inscrire dans celles-ci k nouveaux termes.
156. Détermination d'une fonction entière du degré m AU moyen des valeurs de cette fonction qui répondent A W 4- l VALEURS ÉQUIDISTANTES DE LA VARIABLE.
Soit u =/[x) une fonction entière du degré m, et désignons par
ITO, «1, «„ ..., u^
les valeurs que prend cette fonction quand on donne à x les /w -h I valeurs
On a, pour toutes les valeurs i, 2, . . . , m de tz,
n n(n — 1). n , . An — ^"-f-i), «^=tfo-+--^«o-i--^ A*ttoH 1 ^ -. ^A*tfo+...,
tous les termes du second membre de cette formule, à partir du deuxième, s'obtiennent en donnant à k les valeurs I, 2, 3, . . . , 71 dans l'expression
maïs, comme cette expression se réduit évidemment à zéro, pour les valeurs w + i, n-f- 2, . . ., m de A*, on peut écrire
Si Ton remplace, dans le second membre de cette formule, npar- — -^y on formera la fonction suivante :
qui se réduit évidemment à Un pour x = Xo-i- nh, et, en la retranchant Aq f[x), on obtiendra une fonction entière du degré m qui sera nulle pour les m -H i valeurs Xqj Xo-hfi, . . . , Xo-i- mh de x : or cela ne peut avoir lieu que si la fonction dont il s'agit est identiquement nulle; on a donc
'I ^(.r— j-o)(-r— .ro-~//)...(.r— .ro— m— i/2)A'"tto
Cette formule subsiste quel que soit h ; si Ton fait tendre h
vers zéro et que Ton représente par u}^"* la limite de ^
pour h = o, on aura
d*où il résulte que wj,*^ est la valeur de la A**™* dérivée de f[jc) pourx = Xo, en sorte que Ton a
/*(.r)=liin — '^ j pour A = 0.
157. Limites des racines réelles d'une équation. — Lorsqu'on substitue des nombres équidistants dans le premier membre d'une équationy(x) = o, en suivant la
marche indiquée au n° 155, les résultats obtenus sufBsent pour faire connaître deux limites entre lesquelles sont comprises toutes les racines réelles.
En effet, soient
«0» J^o -+- ^> • • • » xo^(^ — 0 ^
m -+- I termes consécutifs quelconques de la série des valeurs substituées, et supposons h positive. Si les quantités uo, Auo, . • . , A^uq qui répondent à Xo sont toutes positives, la lorimilr (i3) montre que Ton a/(j;)^o pour toutes les valeurs de x égales ou supérieures à XQ-\-{m — i)A; celte quantité est donc une limite supérieure des racines. Pareillement, si les quantités Uo, A«^, A^uoy • • • » ^'""o sont alternativement positives et négatives, on aura constammenty(x) >• o, ou constamment /(a)<[o, pour les valeurs de x égales ou inférieures à Xq ; donc, dans ce cas, Xq est une limite inférieure des racines.
158. Substitution de noiibres intermédiaires. — Quand on a calculé les résultats de la substitution des termes de la progression par différence
. . .jTo — A, .tq, «q -h a, ...
dans une fonction entière de x, si Ton veut avoir les résultats de la substitution des termes d'une nouvelle progression, telle que
. . .Xq h\ Xq, Xq •+• h', Xq -f- 2.h\ . . . ,
om peut y parvenir en profitant des calculs déjà exécutés.
Supposons, par exemple, A' = — et posons j:=j:oH >
la formule (i 3) du n*» 156 donnera
/(.ro-i- ^j =tto^-NOUtto^-N(«)A«tto-^...-f-NC'»)A'"Uo,
SECTION I- CHAPITRE VU. SSy
en faisant, pour abréger,
^^/.^ n [n — To) [n — 9.n] . , .[/? — lO (^ — i]]
Nous emploierons la caractérislique $ pour représenter les diflerences d'une fonction quelconque de la variable /i, relatives à un accroissement de n égal à I. Alors JN^*^ étant uiie fonction entière de n du degré k^ sa diflerence A^^^"® sera constante^ on aura ainsi
Si Ton fait n=o et que Ton désigne par J^iNo* ce que devient alors J^N'**^, la formule précédente donnera
Au moyen de cette dernière formule on peut calculer iuo, (î^uo, . . . , S^uo, et avec ces valeurs on construira le tableau relatif aux substitutions nouvelles. On obtient ainsi les résultats suivants :
êUf^ =zO, I Atfo, — 0,045 A* Mo "^- O > 0^85 A' «0 — 0,0206625 A^tfo
-f- 0,0161 1675 a'mq —. . m
q^Uq z= o,oia'iio — 0,009A'tto
H- o,oo7725A*tto — o,oo66975A*tto -^ . • .,
S^Uq rTr:0,OOlA'£/o — 0,00135A*Mo "^ O,O0 I ^G2Î) A^tt^ — . .. , ^*tt^ z=r 0,0001 A*ttQ — 0,00018 A'Wo -f- . . . f ©•«0 = 0,00001 A'tto — • • • »
qui suffisent jusqu'au cinquième degré inclusivement. S. — Alg. svp., I. aa
Application à un exemple.
