Considérons Féquation du troisième degré

X»— 7ar-h7=:o{>);

les théories exposées dans le Chapitre précédent indiquent que cette équation a trois racines réelles, Tune négative supérieure à — 4? ^^ les deux autres positives comprises entre i et 2 ; on arrive facilement aux mêmes résultats dans le cas dont il s'agit, par le moyen des substitutions. Substituons d'abord des nombres entiers; les trois nombres

donnent les résultats

d'où Ton tire les différences premières

et la différence deuxième

la différence troisième étant constante et égale à tf, nou» formerons avec les résultats qui précèdent le tableau suivant :

(^) Cette équation est l'une de celles que Lagrange a choisies pourexemples dans la Résolution des équations numériques ; elle se déduit de Téquation z'-t-s' — 3z — 1 = 0 que nous ayons considérée au n* 101,.

an moyen de la transformation » =e •

SECTION I. GHAPITHE VII.

Les valeurs de a, Ùlu^ . . . , quî répondent à a: = t , sont positives ; donc i -h 2 ou 3 est une limite supérieure des racines ; pareillement les valeurs de m, Au, . . . , qui répondent à a: = — 4> sont alternativement positives et négatives; donc — 4 est une limite inférieure des racines. L'inspection du tableau montre que la racine négative est comprise entre —4 et — 3, mais elle ne fait rien connaître à l'égard des deux autres racines ; remarquons cependant que si nous n'avions aucun renseignement sur la nature de ces racines, les résultats précédents nous porteraient à penser qu'elles doivent être comprises, si elles sont réelles, entre 1 et 2, et nous serions ainsi conduits à opérer de nouvelles substitutions dans l'intervalle de ces deux limites, comme la méthode de Sturm ou celle de Fourier en démontre la nécessité.

Nous substituerons donc en deuxième lieu des nombres croissants par dixième entre 1 et 2. Les formules du n" 158 donnent

^.Vo ^ 0,1 A«o —0,045 A* £/o -h 0,0285 A' tto> ^Î£/o =rr 0,01 A' Wo — OiOOgA'tto»

^'tfg= 0,00lA'l/(y.

34o COURS d'axGÈBRE SUPÉRIEUaB.

Si donc on prend Xo= i, on aura, d'après le tableau qui précède,

Uq=-\-i, Atto -.- o, a* Il 0 = ^- 1 a. A» If 0 " - :- 6,

d'où

^l/ç=r — 0,369, ^«0 = -'- 0.066, ^*Wo = -'- 0,006.

Nous remettons la caractéristique A au lieu de î, et nous construisons le tableau qui suit, en partant des données

JT = 1 , 0, Il =r= -I- 1 , 000, An = — 0,369, A*ii = -h 0,066, A' /i = H- 0,006.

ii9 2,0

— 0,104 -h o,oi3 ■+■ 0,282 ■+- 0,559

A*tf

0,066 0,072 0,078 0,084 0,090 0,096 0,102 0,108 o,ii4

■ o»oo6

On voit que lYquation proposée a deux racines positives, Tune entre i,3 et 1,4, l'autre entre 1,6 et 1,7.

Si l'on veut resserrer les limites de chaque racine, il faudra substituer des nombres croissant par centième. En prenant j:o= i,3 on a, d'après le tableau précédent,

— o, i53, A'uq -^-h 0,084, A*i/o = + "'^"^

Ko =-1-0,097, An,

et l'on en conclut

^iio=— 0,018909, ^2|io==: -4-0,000786,

*llorr:z-hO,OOOCo6;

prenant, en second lieu, j:o== i>6, on a -G, io4, ai/q =-^-h o, 117, A'i/Q = -f-o, 102, A^iip = -+- o, 006, ce qui donne

^//oi= -h 0,007081, ^l/or=r -h 0,000966, ^'«0=+ 0,000006.

Au moyen de ces résultats, on peut construire les deux nouveaux tableaux qui suivent, dans lesquels on a rétabli la caractéristique A au lieu de â.

-+-0,097000 -^0,078091 -+-0,059968 -T-o, 042637 -ho, 026 104 -+-0,010375 —0,004544

-+-0,000786 -ho, 000792 -1-0,000798