HO,OI2I

-HO,OOlOl4

34 ^ COUIS D*ALGBBRE SUPÉRIEURE.

On voit que la première racine est comprise entre i ,35 et 1,36, la seconde entre 1,69 et 1,70; il est évident qu'en poursuivant la même marche on pourrait calculer chacune de ces racines avec une approximation aussi grande que Ton voudrait.

Méthode d^ approximation de Newton.

160. Lorsqu'une racine d'une équation est séparée, on peut resserrer indéfiniment, comme on vient de le voir, les limites qui la comprennent, ce qui permet d'ohtenir la racine avec l'approximation dont on a besoin. Mais le calcul devient de plus en plus laborieux ; aussi n'emploiet*on habituellement la voie des substitutions que pour déterminer les deux ou trois premiers chiffres, après quoi l'on a recours, pour achever le calcul, à des méthodes plus expéditives. Parmi ces méthodes, on doit remarquer surtout celle qui est due à Newton et que nous allons exposer.

Soit l'équation du degré m

et supposons que l'on connaisse une première valeur approchées de l'une des racines ; si l'on désigne par «-+-« la valeur exacte de cette racine, on aura

/(â4-«) = o ou

d'où l'on tire

'Si Ton néglige les puissances de u qui figurent dans le second membre de cette formule^ on aura, avec une approximation d'autant plus grande que u sera plus petit,

«t si Ton fait

b sera une nouvelle valeur approchée de la racine. On peut appliquer le même procédé en partant de cette valeur &, et Ton en conclura une troisième valeur approchée

et ainsi de suite.

Telle est la méthode de Newton ; elle permet, en général, d'obtenir promptement une très-grande approximation, et il est aisé d'apprécier, dans chaque cas, le degré de rapidité avec lequel cette approximation augmente, en estimant la grandeur des termes négligés dans le passage des équations rigoureuses, telles que (i), aux égalités approchées dont on fait usage.

Hy\ . Exemple. — Soit l'équation x^ — yx •+• y = o déjà considérée au n° 159. Nous ayons vu que l'une des racines est comprise entre i,35 et i,36; appliquons la méthode de Newton au calcul de cette racine, en partant de la valeur approchée a = i,35; l'équation (i) devient ici

344 COURS d'ai.gèbrb sdpéeiettrb.

et Ton a

/(x)=j:»-- 7.ir-4-7, /(a) = -+-0,010375,

comme u est <[ 0,01, il est facile de voir que, dans la précédente expression de a, la somme des termes enu^ et en u^ est positive et inférieure à o,ooo3 ; si donc on pose

Terreur commise sera moindre que cette limite. Nous prendrons pour deuxième valeur approchée

et Ton aura

on voit, à la simple inspection de ces formules, quey*(x) devient négative pour x =ib -f- 0,0001, d'où il résulte que la racine dont noiis nous occupons est comprise entre 1,3568 et 1,3569. Si Ton désigne cette racine par t-h«, on aura

la somme des deux derniers termes du second membre est

SEGTIOIf I. CHAPITRE Vil. 345

positive et inférieure à o,ooooooo3 ; donc la formule

fih] OfOOOli (586432 t'a/

donnera la valeur de u à trois unités près du huitième ordre décimal, en sorte que la racine demandée a pour valeur

avec sept décimales exactes.

Complément de la méthode de Newton.

162. La méthode de Newton ne laisse rien à désirer sous le rapport de la simplicité, mais elle exige que Ton discute dans chaque cas le degré d'exactitude des résultats qu'elle fournit, et ainsi elle ne remplit pas la condition qu'on doit imposer à toute méthode d'approximation, savoir, de donner simultanément une limite inférieure et une limite supérieure de la quantité qu'on veut évaluer. Mais il est facile, comme on va le voir, de combler cette laôune sans altérer l'essence de la méthode.

Soient a et 6 [^ a deux nombres qui comprennent une seule racine Xo de l'équation

Comme nous supposons que cette équation n'a pas de racines égales, on peut admettre que les équations f^{x) = 0, /" [x) = o n'ont aucune racine comprise entre a et 6 ; s'il en était autrement, il faudrait resserrer les limites qui comprennent la racine Xq, Lorsqu'on applique la méthode de Fourier à la détermination de ces limites, on est assuré que notre condition se trouve remplie, quand la suite des indices que l'on iforme, confor-

34^ couns d'algèbue supérieure.

mément à cette méthode, commence par les nombres i,o, o.

D'après notre hypothèse, f{x) change une fois de signe quand x croît de a à 6, mais f\x) et f"{x) conservent le même signe. Considérons la fonction

dont nous nous sommes déjà occupé au n** 143 et qui est croissante ou décroissante suivant que f{oc) et f"[x) sont de même signe ou de signes contraires.

S\f[x) eif"[x) sont de même signe pour x = a, la fonction ^[x) sera croissante Ae x =^ a k x ^= Xq et elle sera décroissante de a: = x© à x = S ; le maximum de (f{x) est donc 9(xo) oux©, et Ton a

Xo>(j>(a) et *o>?(6), ou

,.>«-5^. et .,>6-^(«'

Si, au contraire, f(x) e\,f"[x) sont de signes contraires pour x = a, la fonction cp(x) décroîtra de x = a à X = Xo et elle croîtra de x = x© à x = 6, en sorte que cp(Xo) ou Xo sera alors un minimum; on aura donc

Il résulte de là qu'en appliquant la méthode de Newton à Tune ou à l'autre des deux limites a et 6, on obtient dans tous les cas des résultats qui sont tous deux en deçà ou au delà de la racine et qui, en conséquence, ne peuvent fournir qu'une limite unique.

Pour avoir une seconde limite, je considérerai la fonction

{3) • 4,(x)=^(:r)-M(x-Xo)«,

SECTION 1. — CHAPITKE VII. 347

OÙ M désigne une constanle de même signe que le rapport

-^ — -et dont la valeur absolue soit au moins égale à la

moitié de la plus grande des valeurs absolues que prend le même rapport, quand x croît de a à 6 ; d'après cela on pourra écrire

0 étant une fonction de x dont la valeur reste comprise entre o et I , pour les valeurs de x comprises entre a et S ; je poserai en outre

Nous avons vu (n° 443) que Ton a

e étant une quantité qui s'annule avec A ; il en résulte que si l'on fait, pour abréger l'écriture,

la formule (3) donnera

r désignant une quantité qui s'évanouit avec h.

En vertu des formules (4) et (5), la valeur de ^'(x) peut s'écrire comme il suit :

(G) * f(.:r)r=-2M(l-A0)(^-:ro);

et il est évident que la fonction ^(x) est croissante ou décroissante çntre les limites x = a, x = S, suivant que '|''(x) est positive ou négative.

348 COURS d'algèbre SUPéRIEUKE.

Cela posé, siy( x) elf"[x) sont de même signe pour j: = a, on a, comme on Ta vu plus haut, y (x) <^ Xo pour les valeurs de x comprises entre a et x^ ; cette inégalité équivaut à A <[ i ; d'ailleurs, dans le cas que nous examinons, M est négatif, cdx f{x) el^^x) sont de signes contraires poura: = a; donc l'expression (6) de^'[x) est négative, et t|/ (x) décroît quand x croît de a à Xo; on a, par suite, ^{jOo)<C^{o^) ou

M étant <^ o, si l'on remplace Xq par 6 dans le second membre de cette inégalité, on aura à plus forte raison

a^.<a-jf^[^-M(6-a)».

Siy(a:) eif^\x) sont de signes contraires pour x = «, ces fonctions seront de môme signe pour x = 6 ; dans ce cas, on a, pour les valeurs de x comprises entre Xq et S, (p(x)]>>j:o, ce qui équivaut à A<]i. Mais ici M est positif; par conséquent ^{x) est négative et ^{x) est une fonction décroissante. On a a donc ^[x^)^^{&) ou

en remplaçant Xo par a dans ^{^)y on aura, à plus forte raison,

Ce qui précède conduit a la règle suivante ;

. Soient a et S'^a deux nombres qui comprenneiU une seule racine Xq de l'équation f(x)=:oet gui ne comprennent aucune racine des équations f\x) = o^ y*"(x) = o ; 3 M un nombre qui ait le signe du rapport

-FiY's ^^ dont le module soit égal ou supérieur au plus

grand des modules que prend le même rapport quand x 'varie entre a et S. Si l'on désigne par a celle des deux limites a, 6 pour laquelle les fonctions f[x), f"(x) sont de même signe, et par b celle pour laquelle les inémes fonctions sont de signes contraires, on aura ces nouvelles limites de la racine x©,

dont la première est précisément celle dé Newton, Si la fonction f\x) varie dans le même sens, entre les limites a et b, auquel cas f"'{x) conserve le mêm^ signe, on pourra former le nombre M en divisant celle des

deux quantités - f^' (a), - f^\b) qui a la plus grande

valeur absolue, par celle des deux f'[a)j f\b) qui a la plus petite valeur absolue.

Le nombre M étant calculé comme nous venons de l'indiquer, il est nécessaire, pour notre objet, que la valeur absolue du produit M {a — A)*soit inférieure à l'unité ; si le contraire avait lieu, il serait indispensable de resserrer les limites de la racine, avant d'appliquer la méthode. Supposons que la valeur absolue de M soit comprise

entre — j^ et — ^> h étant un entier positif, nul ou négatif, et que — - soit la différence des limites primitives a

et 6 ou a et &. Au moyen de ces limites a et & on calculera, comme on vient de le dire, les nouvelles limites a^, &i, puis de celles-ci on en conclura deux autres a^, b^j et ainsi de suite ; si l'on pose généralement

CQ sorte que s^ représente la valeur absolue de la diffé-

35o COURS D'ALGÈBmE SUPÉRIBtmB.

rence des limites a^y b^y on aura

formules qui mettent en évidence la loi des approximations successives.